V ( S , T ) 1 r 0 T ， S a S S b 如 果 黄 金 价 格 从 初 始 时 刻 开 始 ， 直 到 t时 刻 为 止 ， 第 一 次 触 及 区 间 的 端 点 Sa或 Sb， 此 时 投 资 者 的 收 益 利 率 为 r1， 由 于 本 金 及 利 息 都 必 须 等 到 到 期 日 才 结 算 ， 计 算 t时 刻 的 收 益 应 把 到 期 日 T的 收 益 贴 现 到 当 前 时 刻 ， 从 而 得 边 界 条 件 ：
从而问题的求解区域为
(S ,t)S a S S b ,0 t T
h
7
• 综合以上的分析，我们得到单位存款理财 产品价值 满足以下偏微分方程的定解问题：
V V (tS a,t1 2 ) 2 V S(2S b S 2 ,V t2 ) r (1 S V r S 1 t) e rr V (T t)， 0 ，
x l n S , T t S a
h
9
U 1222xU 2 r122U xrUr1er,
U(0,)U(lnSb,)0,
Sa
0xlnSb,0T
Sa
0T
U(x,0)r0r1.
0xlnSb Sa
h
10
再 作 函 数 变 换 U W e x ， 并 选 取 适 当 的 常 数 α ， β 使 得 问 题 ( 6 ) 中 的 方 程 化 为 标 准 的 热
投资金额 4% D/N
其中D为在观察期内从初始日至首次穿破日（但不包括穿 破日）在内之总日数，N为观察期之总日数（实际为黄金 交易日的总天数）。设定的区间以黄金初始价格＋70美元 和黄金初始价格－70美元分别为区间的上下限。
h
3
模型的建立
(a) 黄 金 价 格 S t 服 从 几 何 B row n 运 动 ：
0 x ln Sb , 0 T
Sa
0 T
0 x ln Sb Sa
h
12
记 l ln S b 0 ， 将 上 面 问 题 的 解 展 开 成 正 弦 级 数 ： S a
W (x ,) n 1 T n ()s in n lx
同时将问题（7）中方程的右端项、初值函数也作正弦函数展开，比较系数并求 解相应的常微分方程初值问题得
h
4
(g) 不 考 虑 黄 金 的 存 储 、 交 易 费 用 及 税 收 。
设单位美元存款理财产品的价值为V，它显然依赖于黄金价格S和时间t。下面利用-
对冲技巧，给出产品定价的数学模型
V12S2 2VrSVrV0
t 2 S2 S
即是标准的Black-Scholes方程。
h
5
V
如 果 黄 金 价 格 在 整 个 观 察 期 [0,T]内 不 触 及 区 间 [Sa,Sb]， 则 投 资 者 得 最 高 收 益 利 率 r0， 即 得 终 值 条 件 ：
理财产品
与黄金价格挂钩的存款理财产品
h
1
问题的提出
• 与黄金价格挂钩的结构性存款理财产品， 其收益除了与黄金价格的某个指标的累计 数相关以外，还可以与黄金价格的某种触 发指标有关。
h
2
• 例如：东亚银行2006年发行的区间触发型存款理财产品可 归结为一种双障碍期权。
2006年2月20日，东亚银行在广州推出了两款与黄金价格 挂钩的保本型美元存款理财产品，期限为一年。最低申购 额为5000美元，分别对应看“涨”和看“温和盘整”的不 同市场预期，产品可能的最高收益率高达8%。若黄金价 格（以美元/盎司为单位）于1年内均处于一个事先指定的 区间长度为140美元的范围内，则投资者一年后便得到最 高的8%投资收益。即使黄金价格于该1年内的某些时刻超 出限定区间范围，投资者仍然可以根据黄金价格第一次超 出限定范围前的总日数，于到期日获取收益：
(e) 银 行 只 有 在 产 品 到 期 t T 时 刻 才 付 给 客 户 收 益 。 在 整 个 产 品 期 间 ， 无 论 是 银 行 方 还 是
客 户 方 均 无 权 提 前 结 束 合 约 （ 即 不 考 虑 违 约 情 形 ）。
(f) 交 易 是 在 时 间 区 间 [0,T ] 连 续 进 行 的 。
传 导 方 程 。
为 此 令
1 2(r 2 2 )， 2 1 2 r 2 2 2 r
h
11
• 则上述定界问题变为标准的热传导方程混合问 题：
W
2
2
2W x2
r1e x( r)，
W (0, ) W (ln Sb , ) 0，
Sa
W (x, 0) (r0 r1)ex，
(c) 美 元 的 市 场 的 无 风 险 利 率 为 常 数 r 0 。 黄 金 价 格 不 触 及 限 定 区 间 [S a , S b ] 时 的 利 率 为
r0 ， 触 及 限 定 区 间 是 的 利 率 为 r1 （ 一 般 可 假 设 r1 < r < r0 ）。
(d) 市 场 是 无 套 利 的 。
dSt St
dt
ห้องสมุดไป่ตู้
dW t
（ 1）
其 中 为 期 望 回 报 率 ， 为 波 动 率 ， 和 均 为 大 于 零 的 常 数 。 W t 为 标 准 的 Brown 运 动 ，
即 dW t 0,Var dW t dt 。
(b) 黄 金 价 格 的 限 定 区 间 为 [Sa, Sb] ， 初 始 时 刻 的 价 格 为 S0 ， 且 满 足 ： Sa S0 Sb 。
V (Sa , t) V (Sb , t) (1 r1t)er(T t) , 0 t T
h
6
• 一旦黄金价格超过价格上限（或低于价格 下限），根据产品的合约规定就不再计算 利息，期权就终止了，即使黄金价格再次 回到限定范围内，也不再重新计息。因此 满足向上敲出-向下敲入的双障碍期权的特 征。
V (S,T ) 1r0T ，
(S,t) 0tT SaSSb
这是一个线性偏微分方程的初边值问题。下面将求出它的级数解
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模型的求解
• 对于双障碍期权问题，我们将用Fourier 展 开方法求解
• 作函数及自变量变换，双障碍期权问题变 成常系数抛物型方程的齐次边值问题
U V ( 1 r 1 t ) e r ( T t ) ,