第二章 圆锥曲线与方程§2.1椭圆:知识梳理1、椭圆及其标准方程（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .（2）.椭圆的标准方程：12222=+b y a x 12222=+bx a y （a ＞b ＞0）（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上. 2、椭圆的简单几何性质（a ＞b ＞0）.（1）．椭圆的几何性质：设椭圆方程12222=+by a x , 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，(2).离心率： a c e =221b a=- 0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.(3)椭圆的焦半径： ex a MF +=1，ex a MF -=2.2a =2b +2c典例剖析(4).椭圆的的外部点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的部2200221x y a b⇔+<(5).焦点三角形21F PF ∆经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠结合起来，建立12PF PF +、12PF PF ⋅等关系．§2.1.1椭圆及其标准方程:典例剖析题型一 椭圆的定义应用例1题型二 椭圆标准方程的求法例2 已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点53(,)22-，求椭圆的标准方程§2.1.2椭圆的简单的几何性质 典例剖析题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等． 例 1 已知椭圆22(3)(0)x m y m m ++=>的离心率32e =，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．例2 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ) A ．22B ．212-C ．22-D ．21-例3 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．§2.2双曲线:知识梳理1、双曲线及其标准方程（1）双曲线的定义：平面与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.（2）.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 2、双曲线的简单几何性质（1）.双曲线12222=-b y a x 实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e ==e 越大，开口越大.（2）.双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a by ±=或表示为02222=-by a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.双曲线焦半径应用举例双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。

已知点P(x 0，y 0)在双曲线22a x －22by = 1 (a ＞0，b ＞0)上，F 1， F 2分别为双曲线的左、右焦点。

若点P 在右半支上，则| PF 1| =e x 0+ a ，| PF 2| =e x 0－a ；若点P 在左半支上，则| PF 1| =－(e x 0+ a) ，| PF 2| =－(e x 0－a)．利用焦半径公式解题，可使解题过程简单明了，下面列举几例，供参考。

一、求双曲线的标准方程例1、 设F 1、F 2是双曲线22a x －22by = 1 (a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，l 为左准线，离心率e=23，P(－328,m)是左支上一点，P 到l 的距离为d ，且d ，| PF 1|，| PF 2|成等差数列，求此双曲线方程。

分析；利用焦半径，结合双曲线的第二定义列出等式，求出待定系数.解：由双曲线的第二定义知：d =32| PF 1|，又| PF 1| =－(e x 0+ a) = 14－a, | PF 2| =－(e x 0－a) = 14＋a,由已知得：d ＋| PF 2| = 2| PF 1|，即32(14－a)＋(14＋a)=28－2a 得：a = 2， c =3， b =5，故双曲线的方程为42x －52y =1。

评注：利用焦半径公式，可使运算过程简便易行。

二、求值例2 双曲线92x －162y =1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若P F 1⊥P F 2，则点P 到x 轴的距离为_____________.分析；利用焦半径及勾股定理，列出等式，求出P 点纵坐标即可。

解：不妨设P 在双曲线上右支上，设P(x 0，y 0)，则| PF 1| =e x 0+ a = 3＋35x 0，| PF 2| =e x 0－a =35x 0－3， 则| PF 1|2＋| PF 2|2= |F 1F 2|2，即：(3＋35x 0)2＋(35x 0－3) 2=100，所以20x=25369，又920x －1620y =1，所以20y =25256，所以点P 到x 轴的距离为516。

评注：利用双曲线的定义和焦半径公式，简单明了。

三、求围例3 如图，已知梯形ABCD 中，|AB| = 2|CD|，点E 分有向线段−→−AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当32≤λ≤43时，求双曲线离心率e 的取值围． 解：以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则CD ⊥y 轴，因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性可知，C 、D 关于y 轴对称．设双曲线的焦距为2c ，则A 、B 、C 三点的横坐标分别为－c 、c 、2c，则点E 的横坐标为x E =λλ++-12cc ．根据双曲线焦半径公式，有：|AE| =－(e x E ＋a ) =λ+1ec －)1(2λλ+ec －a ，|BC| =e x c －a =2ec－a ，而AC 与AE 同号，从而||||AE AC =AE AC =λλ+1． ∴|AC| =λλ+1·|AE| =λλ+1·[λ+1ec －)1(2λλ+ec －a] =λec －2ec －λλ+1a ， 由双曲线的定义有|AC|－|BC| = 2a ，即(λec－2ec －λλ+1a)－(2ec －a) = 2a ， 两边同除以a ，并化简整理，得(λ1－1) e 2= 2＋λ1，∴e 2=λλ-+112=－2＋λ-13．由32≤λ≤43，得3≤λ-11≤4，解得7≤e 2≤10．∴7≤e ≤10，故所求双曲线离心率e 的取值围是[7，10]．评注：凡是遇到双曲线上的点到双曲线焦点距离的问题，均可考虑使用焦半径公式． 四、其他问题例4 在双曲线122y －132x =1的上支上有三点A(x 1，y 1),B(26,6),C(x 3,y 3)与F(0，5)的距离成等差数列。

求证：AC 的垂直平分线经过某一定点。

分析；利用焦半径及等差数列概念，列出等式，可解此题。

证明：|AF| =ey 1－a ，|BF|=6e －a ，|CF|= ey 3－a ，由已知得：2|BF|=|AF|＋|CF|，得：y 1＋ y 3=2×6 = 12。

设AC 的中点M(x 0，6)，其中x 0=231x x +，又A ，C 在双曲线上，于是⎪⎩⎪⎨⎧⨯=-⨯=-13121213*********3232121x y x y ，两式相减得：13(y 3－y 1)(y 3＋y 1)－12(x 3－x 1)(x 3＋x 1)= 0，得：13(y 3＋y 1)·1313x x y y --－12（x 3＋x 1）=0，得：AC k =1320x ，所以AC 的垂直平分线方程为：y －6=－0213x (x －x 0)，即13x ＋x 0(2y －25)=0，故经过定点(0，225)。

评注：点差法是求解双曲线问题的一种常用方法。

例5 已知双曲线252x －1442y = 1的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ．能否在双曲线的左支上找到一点P ，使| PF 1|是P 到l 的距离与| PF 2|的等比中项？若能，试求出P 点坐标；若不能，请说明理由．分析；此题为探索题目，一般可设存在点P ，再利用焦半径及等比数列概念列等式可求解。

解：由a = 5，c =13，知 e =513，c a 2=1325．设P(x 0，y 0)，P 到l 的距离为d ，则| PF 1| =－a －e x 0=－5－513x 0，| PF 2|= a －e x 0= 5－513x 0，d =－c a 2－x 0=－1325－x 0．令| PF 1|2= d ·| PF 2|，即(－5－513x 0)2= (－1325－x 0)(5－513x 0)，解得：x 0=－1325或x 0=－32225．① 另一方面，因为P 在左支上，所以x 0≤－5．② ① 与②矛盾．故符合条件的P 点不存在．评注： 一般的，211+≤<e 是双曲线22a x －22by = 1左支上存在P 点，使| PF 1|2=d ·| PF 2|成立的充要条件。

本题中双曲线离心率e =51321+>，故符合条件的P 点不存在． 例如双曲线202x －252y = 1的离心率2123+<=e ，则这样的P 点一定存在。

类似的可得：32+≥e 是双曲线22a x －22by = 1左支上存在P 点，使2| PF 1|= d +| PF 2|成立的充要条件。