高考小题标准练(三)
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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知复数z=的实部与虚部之和为4，则复数在复平面上对应的点在
( ) A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.z=(2-ai)(1+2i)=2+2a+(4-a)i的实部与虚部之和为4，所以a=-2，则z=-2+6i.在复平面内，对应的点(-2，6)在第二象限.
2.已知集合Α=，Β={x|≤2，x∈Ζ}，则Α∩Β=( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.A=，B=，所以A∩B=.
3.已知α，β是不同的两个平面，m，n是不同的两条直线，则下列命题中不正确的是( )
A.若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C.若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
D.若m∥α，α∩β=n，则m∥n
【解析】选D.对于A，如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面，故选项A正确；对于B，如果一条直线同时垂直于两个平面，那么这两个平面相互平行，故选项B正确；对于C，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直，故选项C正确；对于D，注意到直线m与直线n可能异面，因此选项D不正确.
4.已知等差数列{a n}的公差为d(d>0)，a1=1，S5=35，则d的值为( )
A.3
B.-3
C.2
D.4
【解析】选A.利用等差数列的求和公式、性质求解.
因为{a n}是等差数列，所以S5=5a1+d=5+10d=35，解得d=3.
5.若函数y=2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A.2
B.
C.1
D.
【解析】选C.作出不等式组所表示的平面区域(即△ABC的边及其内部区域)如图中阴影部分所示.
点M为函数y=2x与边界直线x+y-3=0的交点，
由解得即M(1，2).
若函数y=2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，
则函数y=2x的图象上存在点在阴影部分内部，
则必有m≤1，即实数m的最大值为1.
6.某电视台举办青年歌手大奖赛，有七位评委打分.已知甲、乙两名选手演唱后的打分情况如茎叶图所示(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，，方差为，，则一定有( )
A.>，<
B.>，<
C.>，>
D.>，>
【解析】选 D.由题意去掉一个最高分和一个最低分后，两数据都有五个数据，代入数据可
以求得甲和乙的平均分：=80+=84，=80+=85，故有>.
==2.4，
==1.6，
故>.
7.在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是( )
A.(4，10]
B.(2，+∞)
C.(2，4]
D.(4，+∞)
【解析】选A.设输入x=a，
第一次执行循环体后，x=3a-2，i=1，不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后，x=9a-8，i=2，不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，x=27a-26，i=3，满足退出循环的条件；
故9a-8≤82，且27a-26>82，解得a∈(4，10].
8.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=( )
A.3
B.6
C.9
D.12
【解析】选B.抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，
所以椭圆中c=2，又=，
所以a=4，b2=a2-c2=12，
从而椭圆方程为+=1.
因为抛物线y2=8x的准线为x=-2，
所以x A=x B=-2，
将x A=-2代入椭圆方程可得|y A|=3，
可知|AB|=2|y A|=6.
9.设P为双曲线-=1右支上一点，O是坐标原点，以OP为直径的
圆与直线y=x的一个交点始终在第一象限，则双曲线离心率e的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.设P，交点A，
则l PA：y-y0=-，与y=x联立，
得A，若要点A始终在第一象限，需要ax0+by0>0即要x0>-y0恒成立，若点P在第一象限，此不等式显然成立；只需要若点P在第四象限或坐标轴上此不等式也成立.此时y0≤0，所以>，而=b2，故>-b2恒成立，只需-≥0，即a≥b，所以1<e≤.
10.定义在上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)<f′(x)tanx成立，则( )
A.f>f
B.f>f
C.f(1)<2f sin1
D.f<f
【解析】选D.记g(x)=，则当x∈时，sinx>0，cosx>0.
由f(x)-f′(x)tanx<0知g′(x)=
=>0，g(x)是增函数.
又0<<<，因此有g<g，
即2f<f，f<f.
11.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g(x)的图象.关于函
数g(x)，下列说法正确的是( )
A.在上是增函数
B.其图象关于直线x=-对称
C.函数g(x)是奇函数
D.当x∈时，函数g(x)的值域是[-2，1]
【解析】选D.f(x)=sinωx+cosωx
=2sin，
由题知=，所以T=π，ω==2，
所以f(x)=2sin.
把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到g(x)=2sin=2sin=2cos2x的图象，g(x)是偶函数且在上是减函数，其图象关于直线x=-不对称，所以A，B，C错误.当x∈时，2x∈，
则g(x)min=2cosπ=-2，g(x)max=2cos=1，即函数g(x)的值域是[-2，1].
12.如图，M(x M，y M)，N(x N，y N)分别是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象与两条直线l1：y=m(A≥m≥0)，l2：y=-m的交点，记S(m)=|x N-x M|，则S(m)的大致图象是( )
【解析】选C.如图所示，作曲线y=f(x)的对称轴x=x1，x=x2，点M与点D关于直线x=x1对称，点N与点C关于直线x=x2对称，
所以x M+x D=2x1，x C+x N=2x2，
所以x D=2x1-x M，x C=2x2-x N.
又点M与点C，点D与点N都关于点B对称，
所以x M+x C=2x B，x D+x N=2x B，
所以x M+2x2-x N=2x B，2x1-x M+x N=2x B，
得x M-x N=2(x B-x2)=-，x N-x M=2(x B-x1)=，
所以|x M-x N|==(常数).
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.已知向量p=(2，-1)，q=(x，2)，且p⊥q，则|p+λq |的最小值为________.
【解析】因为p·q =2x-2=0，所以x=1，
所以p+λq =(2+λ，2λ-1)，
所以|p+λq|=
=≥.
答案：
14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.
【解析】根据三视图，可知原几何体是一个棱长分别为2，2，1的长方体和一个横放的直三棱柱的组合体，三棱柱底面是一个直角边分别为1，1的直角三角形，高是2，所以几何体体积易求得是V=2×2×1+×1×1×2=5.
答案：5
15.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，a3=5，S k+2-S k=36，则k的值为________. 【解析】设等差数列的公差为d，
由等差数列的性质可得2d=a3-a1=4，得d=2，
所以a n=1+2(n-1)=2n-1.
S k+2-S k=a k+2+a k+1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=4k+4=36，
解得k=8.
答案：8
16.已知函数f(x)=(2x+a)ln(x+a+2)在定义域(-a-2，+∞)内，恒有f(x)≥0，则实数a的值为__________.
【解析】由已知得y=2x+a和y=ln(x+a+2)在内都是增函数，且都有且只
有一个零点，若f(x)≥0恒成立，则在相同区间内的函数值的符号相同，所以，两函数有相同的零点，则-=-a-1，解得a=-2.
答案：-2。