轴y1、z2分别为CBD和BDA的对称轴，故
，
则
I y0 z0
=
I y1z1
− abA =
h× 6
h × bh 62
=
b2h2 72
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最大弯矩发生在悬臂梁根部截面上 M z = Fl
A点的坐标为
yOA
=
−
2 3
h
zOA
=
−
b 3
( ) Iz = Iz1 + Iz2
=1 12
δ1b13 + δ2b23
翼缘①内的切应力
τ1
=
FS S z*
δ Iz
=
F S y δ 1ξ
⎛ ⎜⎝
b1 2
σ 1Iz
−
ξ
2
⎞ ⎟⎠
(0
≤
ξ
≤ b1 )
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∫ ∫ ∫ ( ) ( ) FS1 = τ1dA = A
( ) σ B = M x
I z yO zO OC − I yO yOC
I I − I yO zO
2 yO zO
=
Fl
⎡ b2h2 ⎢⎣ 72
⎛ ⎜⎝
−
hb3 ⎛ h3b
36
⎜ ⎝
36
b 3
⎞ ⎟⎠
−
hb3 36
⎛ ⎜⎝
h 3
⎞ ⎟ ⎠
−
⎛ ⎜ ⎝
b2h2 72
⎞2 ⎟ ⎠
⎞⎤ ⎟⎠ ⎥⎦
=
−
24 bh2
Fl
=
−107MPa(压 )
C点的坐标为
yOC
=
h 3
zOC
=
2b 3
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带入广义弯曲应力公式，得
( ) σ C = M z
I z yO zO OC − I yO yOC
I I − I yO zO
2 yO zO
=
Fl
⎡ ⎢⎣
b2h2 72
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课后作业答案讲解
Chapter 12
弯曲的几个补充问题
Chapter 13
能量方法
Chapter 14
超静定结构
Chapter 15
平面曲杆
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Chapter 12
M1 EI
w4
− 2w3
−
w2
=
⎛ ⎜⎝
l ⎞2 6 ⎟⎠
M3 2EI
M3
=
Fl 4
E3I3 = 2EI
h= l 6
w3
−
2w2
−
w1
=
⎛ ⎜⎝
l 6
⎞2 ⎟⎠
M2 2EI
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补充条件： w0 = 0 w1 = w5 w2 = w4
b1 0
τ1δ1dξ
=
ξ F b1 Sy b1 −ξ
0
2Iz
δ1dξ
= FSyb13δ1
12Iz
根据合力矩定理，合力对一点之矩，等于其分力对同一点之
矩的代数和，可以证明
为 和 F S y
F S1
F S2
的合力。如
对B点取矩，水平方向剪应力的合力和剪力对B点之矩为零，
故有
FS y e = FS1 h
从上上式求得弯曲中心位置
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AC断任一截面上的弯矩方程为
M ( x1 )
=
FRA x1
−
1 2
qx12
−
M
A
CB断任一截面上的弯矩方程为
M (x2 ) = − F0 x2
由平衡条件可计算出
FRA = F0 + aq
M
A
=
F0l
+
1 2
qa2
应用卡氏定理，B截面的挠度
⎤ ⎥ ⎦
=
24 bh2
Fl
=
24 × 6 × 103 × 1.25 75 × 10 −3 × 150 2 × 10 −6
Pa
= 107 M P a (拉 )
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B点的坐标为
yOB
=
h 3
zOB
=
−
b 3
带入广义弯曲应力公式，得
——弯曲的几个补充问题
12--3 12--6
12--7 12--8
12--16 12--17
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12.3作用于图示悬臂梁上的载荷为：在水平平面内F1=800N， 在垂直平面内，F2=1650N。木材的许用应力 [σ] =10 MPa 。若矩 形截面 h = 2 ，试确定其尺寸。
带入广义弯曲应力公式，得
( ) σ A
=
Mz
I yO zO zOA − I yO yOA
I I − I yO zO
2 yO xO
=
Fl
⎡ b2h2
⎢ ⎣
72
⎛ ⎜⎝
−
b 3
⎞ ⎟⎠
−
hb3 36
⎛ ⎜⎝
−
2 3
hb3 36
⎛ ⎜ ⎝
h 3b 36
⎞ ⎟ ⎠
−
⎛ ⎜ ⎝
b2h2 72
⎞2 ⎟ ⎠
h
⎞ ⎟⎠
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解: 直角三角形截面的形心为截面对形心轴的惯性矩和
惯性积
I z0
=
Iz
− a2A
=
1 bh3 12
−
⎛ ⎜⎝
h 3
⎞2 ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
bh 2
⎞ ⎟⎠
=
bh3 36
同理
Iy 0
=
hb3 36
取斜边中点D建立y1、z2坐标系，如图12.6（b）所示。
解: 将简支梁分成六个相等的间隔，在梁上确定0、1、2、 3、4、5、6点，由题12.17图可得
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M1
=
Fl 12
E1I1 = EI
M2
=
Fl 6
E2 I2 = 2EI
带入差分方程
w2
−
2w1
−
w0
=
⎛ ⎜⎝
l 6
⎞2 ⎟⎠
Wy
Wz
bh 2
hb 2
将 h b = 2 带入上式得
h
≥
σ ]
z
=
3
1
2
×
1.65
×
103 + 24 10 ×106
×
1
.6
×
103
m
= 180mm
截面尺寸为 b=90mm, h=180mm
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12.6悬臂梁的横截面为直角三角形，h=150mm,b=75mm。自 有端的集中力F=6kN，且通过截面形心并平行于三角形的竖 直边。若不计杆件的扭转变形，试求固定端A，B，C应力。 设跨度 l = 1.25m
×
Fl2 16EI
=
F Δc
由上式得
Δc = M cl2 16EI
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13.7（a）试用图示各粱的截面B的挠度和转角。EI为常数。 解：如题图13.7（a）所示。因B点无集中应力作用，故欲 求该处挠度须在B点加一虚力F0=0，如图13.7（a）所示。
=
1 2
FRA x 2
−
M
Ax
−
q 6
⎛ ⎜⎝
x
−
l 4
⎞3 ⎟⎠
+
C
③
EIω
=
1 6
FRA x3
−
1 2
M
Ax2
−
q 24
⎛ ⎜⎝
x
−
l 4
⎞4 ⎟⎠
+
Cx
+
D
④
利用便捷条件确定积分常数
初始条件：
w = 0 w' = 0 w = 0
x=0
x=0
x=l
⑤
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⎛ ⎜⎝
2b 3
⎞ ⎟⎠
−
hb3 36
⎛ ⎜⎝
h 3
hb3 36
⎛ ⎜ ⎝
h3b 36
⎞ ⎟ ⎠
−
⎛ ⎜ ⎝
b2h2 72
⎞2 ⎟ ⎠
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
=
0
因O点、C点应力为零，所以OC连线为中性轴。
材料力学（II ）Mechanics of Materials 上海电力学院 12.7试确定图示薄壁截面的弯曲中心A的位置。
显然，B’C’段内的切应力分布和BC段的切应力分布相对于z 轴对称，方向相同，因此切应力的合力必大小相等，方向 相同，（题12.8图（c））
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