y=k(x-1),
由
x2 y2 1
整理，得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0 .
43
Δ=144k2+144>0恒成立.
∴x1+x2=
8k 2 4k 2
3
,x1x2=
4k 2 12 4k 2 3 .
∴ AP • AQ =（x1+2,y1）·（x2+2,y2）
=(x1+2)(x2+2)+y1y2
=x1x2+2(x1+x2)+4+k2(x1x2-x1-x2+1)=
27
=
4

3 k2
∵k2>0,
27k 2 4k 2 3
∴
0﹤
AP
•
AQ
﹤
27 4
.
综上，0 AP • AQ 27 . 4
二、圆锥曲线中的定值与最值
例2 已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4
上，对角线BD所在直线的斜率为1.
（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；
（2）当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.
思维启迪（1）根据菱形的性质及条件求解.
（2）由题意表示出菱形的面积，然后利用函数或不
等式知识求解.
解（1）由题意得直线BD的方程为y=x+1.
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
于是可设直线AC的方程为y=-x+n.
法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：
①利用函数，尤其是二次函数求最值；
②利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；
③利用不等式，尤其是均值不等式求最值；
④利用判别式求最值；
⑤利用数形结合，尤其是切线的性质求最值.
变式训练2（2009·银川模拟） 已知椭圆 x2 y2 1(a b 0)
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 定义
标准 方程
椭圆
双曲线
抛物线
|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|)
||PF1|-|PF2|︱ =2a(2a<|F1F2︱)
|PF|= PM 点F 不在直线l上，
PM⊥l于M
x2 y2 1
a2 b2
x2 y2 1 a2 b2
.
5
5 25
1
4 3c2
S PF2 Q
• 2c • 2
y1 y2

5
20
因此a2=50,b2=25,所以椭圆方程为
3, c2 25
x2 y2 1.
50 25
探究提高（1）求离心率，结合已知条件找到a,b,c的关系式；
（2）C为椭圆上的任意一点，F1，F2为左、右焦点，当C点是
一、圆锥曲线的定义、几何性质、标准方程
例1 如图所示，椭圆 x2 y2 1上的点M与椭 圆右焦点F1的连线MF1与xa轴2 垂b2
直，且OM（O是坐标原点）与椭 圆长轴和短轴端点的连线AB平行. （1）求椭圆的离心率；
（（∠23）F）1CF过2F是F2≤1椭且圆与2的AB左垂焦直点的，直C线是交椭椭圆圆上于的P任、一点，证明：
所以菱形ABCD的面积S=
3 2
|AC|2. 3n2 16
由(1)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=
2,
所以 S 3 (3n2 16)( 4 3 n 4 3 .
4
3
3
所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值 4 3 .
探究提高 解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解
F1C 2 F2C 2 F1F2 2 2 F1C F2C
= 4a2 4c2 2 F1C F2C
2 F1C F2C
=
2b2 1 .
F1C F2C
|F1C||F2C|≤
( F1C F2C )2 2
=a2，
∴cos∠F1CF2≥
2b2 a2
1
2c2 2c2
1
0
，
∴∠F1CF2≤
x2+3y2=4,
由
得4x2-6nx+3n2-4=0
y=-x+n,.
因为A、C在椭圆上
所以Δ=-12n2+64>0，解得 4 3 n 4 3 .
3
3
设A，C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，
则x1+x2= 3n ,x1x2= 3n2 4 ,
y1=-x1+n,y22=-x2+n.所以y14+y2= n .
解得 k 2 或k 2 .
2
2
即k的取值范围为 (, 2 ) ( 2 ,) .
2
2
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则 OP OQ =（x1+x2，y1+y2），
由方程①得x1+x2=
4 2k 1 2k 2
②
又y1+y2=k(x1+x2)+ 2 2
③
的离心率为 e 1
a2 b2 ，以右焦点F为圆心的圆过椭圆上的顶点
2
B（0，b），且与直线l：x 3 y 3 0 相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过该椭圆的右焦点的直线交椭圆于M、N两点，该椭圆 的左、右顶点分别为A1、A2，求证：直线MA1与直线NA2的斜 率平方的比值为定值.
（1）解 设点F（c,0），其中 c a2 b2 , B(0,b) .∵以右
①当l与x轴重合时，P或Q有一个与A重合，
∴ AP • AQ 0 .
②当l⊥x轴时，P（ 1, AQ (3, 3 ) , AP
3 2 •
），Q（ AQ 9
19,232）7 ，AP.

(3,
3 2
)
,
③当l与x轴不2 重合也不垂直时，设4l：y=4k(x-1），
P（x1,y1）,Q(x2,y2)
椭圆短轴的一个端点时，∠F1CF2取得最大值.
变式训练1 （x-1）2+y2=
4已49 知，圆动F圆1：M与（圆x+1F）1、2+Fy22都= 相14 切,圆. F2：
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）已知点A（-2，0），过点F2作直线l与曲线C交于
P，Q两点，求 AP • AQ 的取值范围.
∴x1+x24= 38k 2
,
3 4k 2
4k 2 12 x1x2 3 4k 2
∴
kMA1

x1
y1
2
,
kNA2

y2 x2
2
,
k
2 MA1
:
k
2 NA2

y12 (x1 2)2
• (x2 2)2 y22
.
而y12

3 4
(4

x12 ),
y22

3 4
(4

x22 )
因式可得.
（2）用法： ①可得 b 或 a 的值. ab ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.
6.直线与圆锥曲线的位置关系
（1）相离；（2）相切；（3）相交.
特别地，①当直线与双曲线的渐近线平行时，直
线与双曲线相交且只有一个公共点.
②当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线
与抛物线相交且只有一个公共点.
,
将其代入上式，得
kM2综A1 上: k，N2A2知直((xx线11 M22A))((1与xx22 直 2线2)) NAx2x的11xx22斜率22((平xx11方的xx22比)) 值44为
1 9
.
定值.
三、圆锥曲线中的参数范围问题
例3 在平面直角坐标系xOy中，经过点（0， 2）
(a>0,b>0)的左、
右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，
则有
（1）|OP|≥a.（2）|PF1|≥c-a.
（3）SF1PF2
b2

tan
4.抛物线中的最值2
( =∠F1PF2).
点P为抛物线y2=2px(p>0)上的任一点，F为焦点， 则有:（1）|PF|≥ p .
2
（2）焦点弦AB以通径为最值，即|AB|≥2p. （3）A（m,n）为一定点，则|PA|+|PF|有最小值. 5.双曲线的渐近线 （1）求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解
所以AC的中点坐标为 ( 3n , n ) 2.
由四边形ABCD为菱形可4知，4
点 ( 3n , n ) 在直线y=x+1上，
4
所以
n
4
3n
1
,解得
n=-2
.
44
所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.
（2）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°,
所以|AB|=|BC|=|CA|.
而A（ 2，0），B（0，1），AB =（ 2，1）.
所以OP OQ与AB共线等价于x1+x2=
将②③代入上式，解得k= 2 .
由（1）知 k<
2或
2 k>
2,
2 (y1+y2)，
故没有符合题意的2 常数k. 2
探究提高 直线与圆锥曲线位置关系的判断，有关 圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想 和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点， 此类问题涉及根与系数的关系，设而不求、整体代 入的技巧和方法. 变式训练3 如图，已知 直线l与抛物线x2=4y 相切于点P（2，1）， 且与x轴交于点A，O为 坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.