第3章三视图与表面展开图
__投影__
第1课时平行投影
1．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是(A)
【解析】在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．故选A.
2．如图3－1－1，从左面看圆柱，则图中圆柱的投影是(B)
A．圆B．矩形C．梯形D．圆柱
图3－1－1图3－1－2
3．[2019·南宁]把一个正六棱柱如图3－1－2摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的投影是(A)
A B C D
4．[2019·贺州]小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是(B)
A B C D
【解析】竖直向下看可得到线段，沿与平面平行的方向看可得到C，沿与平面不平行的方向看可得到D，不论如何看都得不到一点．
5．如图3－1－3是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是(C)
图3－1－3
A．③①④②B．③②①④
C．③④①②D．②④①③
【解析】在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是西→西北→北→东北→东，影子由长变短，再变长．西为③，西北为④，东北为①，东为②，∴将它们按时间先后顺序排列为③④①②.故选C.
6．小亮在上午8时，9时30分，10时，12时四次到室外的阳光下观察向日葵的
头茎随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为__上午8时__．
7．如图3－1－4，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝__30°__．
图3－1－4
8．如图3－1－5，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6 m的小明落在地面上的影长为BC＝2.4 m.
(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；
(2)若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG＝16 m，请求出旗杆DE的高度．
图3－1－5
解：(1)影子EG如答图所示；
第8题答图
(2)∵DG∥AC，∴∠G＝∠C，
∴Rt△ABC∽Rt△DEG，
∴AB
DE＝
BC
EG，即
1.6
DE＝
2.4
16，解得DE＝
32
3.
∴旗杆DE的高度为32
3m.
9．如图3－1－6，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是10 3 cm，则皮球的直径是(B)
A．5 3 cm B．15 cm
C．10 cm D．8 3 cm
图3－1－6 第9题答图
【解析】如答图，由题意，得DE＝10 3 cm，∠CED＝60°，∠DCE＝∠BAE ＝90°，∴DC＝DE sin60°＝15(cm)，即皮球的直径是15 cm.故选B. 10．[2019·河南模拟]如图3－1－7，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2 m，且AC＝14.5 m，NF＝0.2 m．设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝56.3°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10 m，现有一只小猫睡在台阶的NF这层上晒太阳．
(1)求楼房的高度约为多少米？
(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由(参考数据：sin56.3°≈0.83，cos56.3°≈0.55，tan56.3°≈1.50)．
图3－1－7 第10题答图
解：(1)当α＝56.3°时，在Rt△ABE中，
tan56.3°＝AB
AE≈1.50，AB＝10·tan56.3°＝15(m)，
即楼房的高度约为15 m；
(2)当α＝45°时，小猫不能再晒到太阳．
理由：如答图，假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD交于点P，此时的影长AP＝AB≈15 m，设MN的延长线交AD于点H，
∵AC＝14.5 m，NF＝0.2 m，
∴PH＝AP－AC－CH≈0.3(m)，
设直线MN与BP交于点Q，则HQ＝PH≈0.3 m，
∴点Q在MN上，
∴大楼的影子落在MN这个侧面上，
∴小猫不能晒到太阳．
11. 在阳光下，小东测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.4 m.
(1)求同一时刻2 m的竹竿的影长；
(2)同一时刻小东在测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在操场的第一级台阶上，如图3－1－8，测得落在第一级台阶上的影子长为0.1 m，第一级台阶的高为0.3 m，落在地面上的影子长为4.3 m，求树的高度．
图3－1－8第11题答图
解：(1)设同一时刻2 m的竹竿的影长为x m.
由题意，得x
2＝
0.4
1，解得x＝0.8；
答：同一时刻2 m的竹竿的影长为0.8 m.
(2)如答图，设除台阶高度以外的大树的高度为y(m)，此部分大树的影长为4.3＋0.1＝4.4(m)．
由题意，得
y
4.4＝
1
0.4，解得y＝11，
∴树的高度为11＋0.3＝11.3(m)．
12．某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图3－1－9①，已测出树AB的影长AC为12 m，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．
(1)求出树AB的高；
(2)因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长(用图②解答)．
图3－1－9
解：(1)AB＝AC tan30°＝12×
3
3＝43(m)．
答：树AB的高约为4 3 m；
(2)如答图，当树与地面成60°角时影长最大为AC2(或树与光线垂直时影长最大，或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大)，AC2＝2AB2＝83(m)．
第12题答图。