期中检测题【本检测题满分:120分，时间:120分钟】一、选择题（每小题3分，共30分） 1.在直角三角形中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角的正弦值和正切值（ ）A.都缩小12B.都扩大2倍C.都没有变化D.不能确定 2. 如图是教学用的直角三角板，边AC =30 cm ，∠C =90°， tan ∠BAC =，则边BC 的长为（ ）A.30 cmB.20 cmC.10cm D.5 cm3.一辆汽车沿坡角为的斜坡前进500米，则它上升的高度为（ ） A.500sin B.500sin αC.500cosD.500cos α4.如图，在△中，=10，∠=60°，∠=45°，则点到的距离是（ ）A.10C.15D.15105. tan 60︒ 的值等于（ ）A.1D.2 6.计算6tan 452cos 60︒-︒ 的结果是( )A. B.4C. D.5 7.如图，在ABC △中，90,5,3,∠C AB BC =︒== 则sin A 的值是( )A.34B.34C.35D.458.上午9时，一船从处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30 分到达处，如图所示，从，两处分别测得小岛在北偏东45°和北偏东15°方向，那么处与小岛的距离为（ ）A.20海里 海里第7题图AB第2题图9. （2012•山西中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上一点，∠CDB =20°，过点C 作⊙O第9题图10. 如图，是的直径，是的切线，为切点，连结交⊙于点,连结,若∠＝45°,则下列结论正确的是（）A ． B.C. D.二、填空题（每小题3分，共24分）11.在离旗杆20 m 的地方用测角仪测得旗杆杆顶的仰角为，如果测角仪高1.5 m ，那么 旗杆的高为________m. 12.如果sin =，则锐角的余角是__________. 13.已知∠为锐角，且sin =817，则tan 的值为__________. 14.如图，在离地面高度为5 m 的处引拉线固定电线杆，拉线与地面成角， 则拉线的长为__________m(用的三角函数值表示).15.（2014·成都中考）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点D ，第14题图连结AD ，若∠A =25°，则∠C =__________度.16.（2014·苏州中考）如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ， P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连结P A ．设P A ＝x ，PB ＝y ，则（x －y ）的最大值是 ．17. 如图所示，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，若60APB ∠，⊙O 的半径为3， 则阴影部分的面积为_______.18. 如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形， 三角形是直角三角形，其中最大正方形的边长为，则 正方形A ，B 的面积和是_________． 三、解答题（共66分）19.(8分)计算:6tan 230°－cos 30°·tan 60°－2sin 45°+cos 60°.20.(8分)如图，李庄计划在山坡上的处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌溉，已知到水池处的距离是50米，山坡的坡角∠=15°，由于受大气压的影响，此种抽水泵的实际吸水扬程不能超过10米，否则无法抽取水池中的水，试问抽水泵站能否建在处?21.(8分) 如图所示，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点P 是直径AB 上的一点（不与A ，B 重合），过点P 作AB 的垂线交BC 的延长线于点Q .（1）在线段PQ 上取一点D ，使DQ =DC ，连结DC ，试判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；第17题图PB（2）若cos B = 35，BP =6，AP =1，求QC 的长. 22.(8分)在Rt △中，∠=90°，∠=50°，=3，求∠和a (边长精确到0.1). 23.(8分) 在△中，，b ，．若90C ∠=︒，如图①，根据勾股定理，则222a b c +=.若△不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想22a b + 与2c 的关系，并证明你的结论．24.(8分)某电视塔和楼的水平距离为100 m ，从楼顶处及楼底处测得塔顶的仰角分别为45°和60°，试求楼高和电视塔高(结果精确到0.1 m).第24题图25.(8分) 如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，且，∠°.（1）求证：CD 是O ⊙的切线；（2）若O ⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积.26.（10分）（2014·北京中考）如下图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧AB 的中点，⊙O 的 切线BD 交AC 的延长线于点D ，E 是OB 的中点，CE 的延长线交切线DB 于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连结BH .ABCBC ABC①②①③①第23题图（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长.期中检测题参考答案一、选择题1.C 解析：根据锐角三角函数的概念知，如果各边的长度都扩大2倍，那么锐角的各三角函数均没有变化．故选C．2.C 解析：在直角三角形ABC中，tan∠BAC=根据三角函数定义可知：tan∠BAC=，则BC=AC tan∠BAC=30×=10(cm)．故选C．3.A 解析：如图，∠=，=500米，则=500sin ．故选A．第3题答图 第4题答图4.C 解析：如图，作AD ⊥BC ，垂足为点D .在Rt △中，∠=60°，∴=．在Rt △中，∠=45°，∴=，∴=（1+）=10．解得=15﹣5．故选C ． 5.C6.D 解析：16tan 452cos 6061252︒-︒=⨯-⨯= .7.C 解析：3sin 5BC A AB == . 第8题答图 8.B 解析：如图，过点作⊥于点．由题意得，=40×=20（海里），∠=105°．在Rt △中，=•45°=10．在Rt △中，∠=60°，则∠=30°， 所以=2=20（海里）．故选B ．9.B 解析：连结OC ，如图所示.∵ 圆心角∠BOC 与圆周角∠CDB 都对弧BC ， ∴ ∠BOC =2∠CDB ，又∠CDB =20°，∴ ∠BOC =40°， 又∵ CE 为的切线，∴OC ⊥CE ，即∠OCE =90°，∴ ∠E =90°40°=50°． 故选B.10. A 解析：∵是的直径，与切于点且∠＝,∴、和都是等腰直角三角形.∴ 只有成立.故选A.二、填空题11.（1.5+20tan ） 解析：根据题意可得：旗杆比测角仪高20tan m ，测角仪高1.5 m ， 故旗杆的高为（1.5+20tan ）m ． 12.30° 解析：∵ sin =，是锐角，∴=60°．∴ 锐角的余角是90°﹣60°=30°． 13.815解析：由sin ==知，如果设=8，则17，结合2+2=2得=15． ∴ tan=．14. 5sin α 解析：∵⊥且=5 m ，∠CAD =，∴=．15.40 解析：连结OD ，由CD 切⊙O 于点D ，得∠ODC =90. ∵ OA =OD,∴ 250DOC A ∠=∠=,∴90905040.C DOC ∠=-∠=-=16. 2 解析：如图所示， 连结OA ，过点O 作AP OC ⊥于点C ，所以∠ACO =90°.根据垂径定理可知，x AP AC2121==. 根据切线性质定理得，l OA ⊥. 因为l PB⊥，所以∠PBA =90°,OA ∥PB ,所以APB OAC∠=∠.又因为∠ACO =∠PBA ，所以OAC △∽APB △,所以,PB AC AP OA =即y xx 24=，所以82x y =，所以82x x y x -=-=2)4(812+--x ，所以y x -的最大值是2.17.PA ，PB 切⊙于A ，B 两点 ，所以∠=∠，所以∠所以所以阴影部分的面积为=.18.25 解析：设正方形A 的边长为正方形B的边长为则，所以.三、解答题19.解：原式=21316221222⨯-+=-=⎝⎭. 20.解：∵=50，∠=15°，又sin ∠=ABAC， ∴=·sin ∠= 50sin 15°≈1310，故抽水泵站不能建在处.21. 分析：（1）连结OC ，通过证明OC ⊥DC 得CD 是⊙O 的切线；（2）连结AC ，由直径所对的圆周角是直角得△ABC 为直角三角形，在Rt △ABC 中根据cos B =35，BP =6，AP =1，求出BC 的长，在Rt △BQP 中根据cos B =BPBQ求出BQ 的长，BQ BC 即为QC 的长.解：（1）CD 是⊙O 的切线. 理由如下：如图所示，连结OC ，∵ OC =OB ，∴ ∠B =∠1.又∵ DC =DQ ，∴ ∠Q =∠2. ∵ PQ ⊥AB ，∴ ∠QPB =90°. ∴ ∠B +∠Q =90°.∴ ∠1+∠2=90°.∴ ∠DCO =∠QCB (∠1+∠2)=180°90°=90°. ∴ OC ⊥DC .∵ OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线. （2）如图所示，连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB =90°.在Rt △ABC 中， BC =AB cos B =(AP +PB )cos B =(1+6)×35= 215.在Rt △BPQ 中，BQ =cos BP B = 635=10.∴ QC =BQ BC =10-215=295.22.解：∠=90°50°=40°.∵ sin =ac，=3，∴sin ≈3×0.766 0≈2.298≈2.3.23.解：如图①，若△是锐角三角形，则有222a b c +>.证明如下：过点作，垂足为点，设为x ，则有a x -.根据勾股定理，得22222()b x AD c a x -==--，即222222b x c a ax x -=-+-. ∴ 2222a b c ax +=+.∵ 0,0a x >>，∴ 20ax >，∴ 222a b c +>. 如图②，若△是钝角三角形，C ∠为钝角，则有222a b c +<. 证明如下： 过点作，交的延长线于点.设为x ，则有222BD a x =-，根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=，即2222a b bx c ++=.∵ 0,0b x >>，∴ 20bx >，∴ 222a b c +<. 24.解：设= m ，∵=100 m ，∠=45°，∴·tan 45°=100(m).∴ =(100+)m. 在Rt △中，∵∠=60°，∠=90°，∴ tan 60°=ABBD， ∴=，即，10073.2(m)，ABC① D① ABC ②①D ①第23题答图即楼高约为73.2 m ，电视塔高约为173.2 m. 25．（1）证明：连结O C .∵ CD AC =，120A C D ︒∠=， ∴ 30A D ︒∠=∠=. ∵ OC OA =, ∴ 230A ︒∠=∠=. ∴ 290O C D A C D ︒∠=∠-∠=. ∴ C D 是O ⊙的切线. （2）解: ∵， ∴.∴.在Rt △OCD 中,tan60CD OC =⋅︒= ∴Rt 11222OCD S OC CD ∆=⨯=⨯⨯= ∴ 图中阴影部分的面积为-3223π. 26. （1）证明：如图，连结OC . ∵ C 是弧AB 的中点，AB 是O 的直径，∴ OC ⊥AB .∵ BD 是O 的切线，∴ BD ⊥AB ,∴ OC ∥BD .∵ AO =BO ,∴ AC =CD .(2)解：∵ OC ⊥AB ，AB ⊥BF , OC ∥BF ，∴ ∠COE =∠FBE . ∵ E 是OB 的中点，∴ OE =BE . 在△COE 和△FBE 中，,,,CEO FEB OE BE COE FBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △COE ≌△FBE (ASA ). ∴ BF =CO .∵ OB =OC =2，∴ BF =2. ∴AF==∵ AB 是直径，∴ BH ⊥AF .∵ AB ⊥BF ,∴ △ABH ∽△AFB .∴ AB BH AF BF=,∴,AB BFAB BF AF BH BHAF⋅⋅=⋅===∴11。