二．有关假设
(1). 每个单词的难度相同，即记忆所需时间和遗忘的快慢相同。 (2). 每天学习的时间固定且相同。 (3). 复习同一单词量，等效为用学习新单词的速率去记忆该单词量中被遗忘的部分。 (4). 复习后的遗忘速率与在复习开始前所遗忘部分的量成正比（后有详细说明） 。 (5). 考虑到我们所研究问题的特殊性，相对于终身记忆来说，研究的是一个短期记忆效率的 问题。不妨假设所给时间为两个月（60 天） （比方说两个月后就是四，六级或者 GRE 考试） ，
基于此数据，可以拟合出一条遗忘的曲线：
Q= 100k/((log t)h +k)
其中 k, c 为参数，可以通过统计的参数估计得到， k=1.84 h=1.25. 此即遗忘曲线的近似表达式 图（1）是在 30 天内单词的遗忘曲线：
31 30 29
0
-10
-20
28 27 26
-30
-40
25 24 23 22 21 0 5 10 15 20 25 30
= 30.4110% = 28.0577% = 26.8222% = 26.0013% = 25.3941% = 24.9159%
Ebbinghaus 曲线只给出了一次记忆后的遗忘情况。 经过多次复习记忆以后， 遗忘曲线将会不 同。我们根据假设四可推得。
arj = (1 − ar −1,1 ) a0 j + ar −1,1
k1
)ti ，又由假设一
xi 为一常数， ti
a 0 , n − i xi = a0 ,n −i c ti a1, n − i −1 xi a1, n − i −1c e1 ( xi ) = = ti + (1 − a 01 ) ti 1 + (1 − a 01 ) a 2 , n − i − 2 xi a 2 ,n −i − 2 c e2 ( xi ) = = t i + (1 − a 01 ) t i + (1 − a11 ) t i 1 + (1 − a 01 ) + (1 − a11 ) a 3, n − i − 3 xi a 3, n − i − 3 c e3 ( x i ) = = ti + (1 − a 01 ) ti + (1 − a11 ) ti + (1 − a 21 ) ti 1 + (1 − a 01 ) + (1 − a11 ) + (1 − a 21 ) a 4 , n − i − 4 xi a4,n −i − 4 c e4 ( xi ) = = 3 3 t i + ∑ (1 − a k ) t i 1 + ∑ (1 − a k 1 ) e0 ( x i ) =
xi
其记忆效果是最好的
给定相等的复习次数，因为在连续复习情况下 er ( xi ) =
ar ,n − r −i c
r
；
1 + ∑ (1 − ak 1 )
k =1
若有任何一天不是连续的， 分母中的 ak 1 将变为 akj ， （j 为大于 1 的任何数） ， 显然有 ak 1 > akj ， 从而使分母变大，而分子变为 ar , n − r −i − s ，s 为第 r 次复习距上次复习的时间。考虑到不会选 择隔很久再复习，显然这样很不划算，需要花很多的时间，故 s 不会大。根据计算所得，当 s 不大时， ar , n − r −i − s 随 s 的改变近似不变。所以 er ( xi ) 变小。故连续复习是最好的。可以直 观的理解为遗忘的越多复习要花的时间越长，从而效率越低。
r
可以看出，由于第六天的复习效率开始下降，到了第六天就可以不必复习了。 同样道理，有 er ( xi ) = ，而在 r 不大（重复次数不多）的情况下， ar , n − r −i
1 + ∑ (1 − ak 1 )
k =1
随 着 r 的 改 变 变 化 不 大 ， 近 似 设 为 d(i); 则 原 式 变 为 er ( xi ) =
1 − ar −1, j 表示遗忘量的比值，则有
hr '(t ) = (1 − ar −1,1 ) f '(t ) ，由积分可得曲线 hr (t ) = (1 − ar −1,1 ) f (t ) + ar −1,1
积分常数 ai1 的确定根据每次复习后记忆的程度为 100%，即 hr (0) = 1 。 所以，即有 arj = (1 − ar −1,1 ) a0 j + ar −1,1 。
-50
-60
-70
0
1
2
3
4
5
6
7
图（1）
图（2）
通过对曲线求导，我们可以明显的发现，以往的速率确实先快后缓，尤其是在刚学习后 的一天，遗忘程度急速增大，见图（2） 。
2
在此基础上建立模型： 设学习的时间为 n 天，第 i 天新记忆的单词量为 xi 设到第 n 天总共记忆的单词个数为
p = g ( x1 ) + g ( x2 ) + ... + g ( xn )
5
ti + ∑ (1 − a k 1 ) ti
k =0
1 + ∑ (1 − a k 1 )
k =0
考虑对于第一天单词的记忆量 x1 ，相应有
e0 ( x1 ) = a0,59 = 20% c a1,58 e1 ( x1 ) = = 27.124% c 1 + (1 − a01 ) a2,57 e2 ( x1 ) = = 28.875% c 1 + (1 − a01 ) + (1 − a11 ) a3,56 e3 ( x1 ) = = 29.628% c 1 + (1 − a01 ) + (1 − a11 ) + (1 − a21 ) a4,55 e4 ( x1 ) = = 30.4883% 3 c 1 + ∑ (1 − ak 1 )
g(xi ) 为第 i 天背的新单词 xi 在第 n 天记住的其中的单词个数，它可以等于所花的时间与记
忆效率的乘积：
g ( xi ) = t ( xi )e( xi )
t ( xi ) 为对第 i 天所学的新单词进行学习和复习的总时间， e ( x i ) 为在最后一天衡量的对第 i
天所学新单词的记忆效率（考虑了学习和复习的总时间） 。 所以 P 又可以写为：
k =0
e5 ( x1 ) = c e6 ( x1 ) = c
a5,54
4
= 29.92 6%
5
1 + ∑ (1 − ak 1 )
k =0
a6,53
5
= 29.744%
1 + ∑ (1 − ak 1 )
k =0
可见，对于同一
x1 进行连续复习,记忆单词的整体平均效率是先增后减。通过观察我们
ar ,n − r −i c
上面证明了对于每块单词连续复习四天可以使 er ( xi ) / xi 达到最高，即对于每块单词量
n
p = ∑ t ( x i )e ( x i ) 达到了局部最优的规划。而我们的目标是使 i=1 最大.即整体最优。 我们在下面说明达到局部最优可以同时实现整体最优 对于第 i 天学习的新单词， 不管那一天留给学习新单词的时间为多少， 学的新单词量有多少，
b 1 = 1 6 .5 , b 2 = 1 1 , b 3 = 7 .5 b5 =3 , b4 =5 , , b 6 = 2 .5 .
记 arj 表示记忆新单词后连续 r 天每天复习一次，之后经过 j 天对单词的记忆程度。不 妨假设该记忆程度在宏观上表现为记住的
xi
中的单词量在
xi
中所占百分比。比如说在第
k =0 k =0
e5 ( x i ) =
a 5, n − i − 5 xi
4
=
a 5, n − i − 5 c
4
t i + ∑ (1 − a k 1 ) t i
k =0
1 + ∑ (1 − a k 1 )
k =0
e6 ( x i ) =
a 6 , n − i − 6 xi
5
=
a6,n − i− 6 c
er ( xi ) =
a r ,n − r − i xi t ( xi )
4
我们设 ti 为在第 i 天记忆新单词
xi
所用的时间，那么在连续 k 天复习后过 j 天再次复
r
习次单词量所需时间为 (1 − akj )ti 。 则 t ( xi ) = ti + 设为 c。可以得到
∑ (1 − a
k =1
一.背景与问题的叙述
保持和遗忘是一对冤家对头。你对以前学过的知识能够回忆起来，就是保持住了，如果 回忆不起来或回忆错了，就是遗忘。 对于学生来说， 可以说最扰人的事情就是遗忘。 花了不少时间和精力辛辛苦苦学了的东 西过了一段时间之后常常都回忆不起来，这无疑给学生们“作无用功”的错觉，对他们的学 习积极性和自信心是一不小的打击。 实际上， 通过改善学习方案可以在一定程度上提高技艺 的效率。 具体到在英语学习过程中，学生遇到的最大问题之一就是如何记忆大量的英语单词。 这 种情况下， 怎样安排自己的学习计划显得至关重要， 我们的目标任务是： 给出一种最优方案， 使学生在一定时间内记忆的单词最多。
m 天记忆了一组新单词 x m ，在接下来 r 天每天复习，以后再没有复习 , 到 m+r+j 天的时候 那组单词掌握的程度就是 arj ，也就是实际记住了 arj
xm
个单词。若 r=0 则表示记忆之后不
3
复习的掌握程度。 由图（1）我们可以直接得到：
a01 a02 a03 a04 a05 a06