L ( j) i
2、多体系统建模理论ห้องสมุดไป่ตู้介绍
根据上述定义，可以计算出图1.1多体系统的各阶低序体阵列，例如，对 4 于体4，有, L (4) 3 , 2(4) 1 , 3(4) 0 , (4) 0 ；对于体5，那 么 L (5) 1， 2(5) 0 ；可以同理计算出其他体的各阶低序体序号。从 L 而得到整个多体系统的低序体阵列如表1.1所示。
特点
多体系统理论是解决复杂工程系统运动学问题和动力学问题的科学理论 体系，具有很好的通用性和系统性。数控机床是一种能够典型的多体系统。 基于多体系统理论，以特有的低序体阵列来描述复杂系统，对数控机床进行 误差分析和建模，不仅能全面考虑影响机床加工精度的各项因素以及相互耦 合情况，是建模过程具有程式化、规范化、约束条件少、易于解决复杂系统 运动问题的优点，非常适宜于机械误差的计算机自动建模。
1、多体系统建模理论的介绍
多体系统的运动特征分析方法采用齐次列阵表示点的位置和矢量的姿态，在 多体系统中建立广义坐标系，将多轴机床抽象为多体系统，将在理想条件下 和实际条件下的静态和动态过程中的体间位置和姿态变化以及误差情况作了 统一的、完整的描叙，使多体系统误差的分析变得简单、迅速、明了。 多体系统运动特征分析方法的特点： 1、多体系统几何结构描述方法 用拓扑结构对工程对象进行抽象，用低序体阵列描述拓扑结构中各体之 间的关联性，对多体系统建立广义坐标系，用齐次特征矩阵描述广义坐标系 中各自坐标系之间相对位置和姿态及其变化。 2、多体系统运动特征的描述方法 推导出理想条件下和有误差的实际情况下的多体系统中任意两相邻体之 间各种运动状况的各种特征矩阵，在一般零级运动位置方程的基础上推导出 一般零级运动姿态方程。 3、运动约束描述的方法 根据多轴数控机床相关的多体系统的结构约束与相对运动约束以及多体 系统相对运动位置方程，进一步推导出了相对运动姿态约束方程。
r
r
式中， T ij 为 S i 到 S j 的齐次坐标变换矩阵，具有如下结构：
r T r
j
ij i
2、多体系统建模理论的介绍
（1.3）
坐标变化矩阵中左上方的3x3矩阵表示坐标系 i 中的坐标相对其坐标 原点 O i 旋转，旋转后使该坐标系的坐标轴平行于坐标系 i 中对应的坐标 轴。坐标变换矩阵T ij 中第四列前三个元素分别等于坐标系 i 的坐标原点 O i 在坐标系S j 中的坐标值。
S
S
S
2）平移运动特征矩阵
任意平移运动也可以分解为三个分别沿X、Y、Z轴的基本平移运动。设 坐标系 O j x j y j z j 由 O i x i y i z i 沿其X轴、Y轴和Z轴分别平移 ijs 、 ijs 、 ijs 得到，则O i x i y i z i 至 O j x j y j z j 的三个平移变换矩阵分别为：
z
x
y
2、多体系统建模理论的介绍
（1.4）
2、多体系统建模理论的介绍
3）旋转运动特征矩阵
多体系统中的典型体 B j 相对其相邻低序体 B i 的理想转到等价于 坐标系 O j x j y j z j 相对O i x i y i z i 的转动。设坐标系O j x j y j z j 由 O i x i y i z i 绕其X轴、Y轴和Z轴分别旋转 ijs 、 ijs 、 ijs 得到的变换矩阵为：
任选体 B j 为系统中任意典型体，体B j 的n阶低序体的序号定义 为：
n
式中，L为低序体算子，并称体B j 为体B i 的n阶高序体。它满足：
L ( j) i
n
L ( j) L(L
且补充定义：
当体 B i 为体
n1
( j))
B
L ( j) j L (0) 0
n
j
0
的相邻低序体时，有：
L
L
L
表1.1 多体系统拓扑结构的低序体阵列
2、多体系统建模理论的介绍
典型体的几何描述 设多体系统中的典型体B j 及其相邻低序体B i 如图1.2所示。 首先建立广义坐标系，即在惯性体B 0 和典型体B j 、 B i 上分 别建立自己的与体固定联接的静坐标O 0 x 0 y 0 z 0 和动坐标系 O j x j y j z j 和 O i x i y i z i ，则点 O j 相对 O i 的位置及其变化表征 了典型体 B j 相对于体 B i 的平移运动情况，右旋正交基矢量 组x j y j z j 相对于右旋正交基矢量组x i y i z i 的姿态及其变化表征了 典型体 B j 相对于体 B i 的旋转运动状况。
图1.2 理想条件下典型相邻体
B
j
和 B i 的几何描述
2、多体系统建模理论的介绍
对于坐标系O j x j y j z j 和 O i x i y i z i ，我们用矩阵T ijp 和矩阵T ijs 来分别描述空间点在各坐标系中静止位置坐标变换和运动位置 坐标变化。我们把用以描述理想静止和运动的齐次矩阵称为理 想特征矩阵，把用以描述实际静止和运动误差的齐次变换矩阵 成为误差特征矩阵。 理想运动的变换矩阵 1）点的坐标变换 多体系统中的典型体 B j 相对其相邻低序体B i 理想运动等价 y O i x i y i z i ）的理想运动，令 于两个坐标系 S （ j O j x j j z j ）和 S （ i 三位空间中的点q在两坐标系中的矢量表示分别为 j 和 i ， 则两者之间的关系为：
2、多体系统建模理论的介绍
多体系统几何结构描述方法
图1.1
0
多体系统拓扑图
1 1
B 图中设惯性参考系R为B 体，选1体为B 体，然后沿远离 的方向，按自然增长数列，从一个分支到另一个分支，一 次为各体编号。用以描述多体系统拓扑结构的低序体阵列 通过下列定义的的计算公式得到。
2、多体系统建模理论的介绍
基于多体系统理论的数控落 地铣镗长综合误差建模
主要内容
1. 多体系统理论建模发展背景及特点简介
2. 多体系统建模理论的介绍 3. 多体系统建模理论的应用实例
1、多体系统建模理论的发展背景及特点简介
发展背景
数控机床空间误差建模先后经历了几何建模法、误差矩阵法、二次关系 模型法、机构学建模法、刚体运动学法等几个发展阶段。如今它们仍存在着 通用性差、表达困难、易产生认为推导错误等问题。同时现有的数控机床建 模方法，对于不同型的数控机床，必须重新建立不同的误差模型，为此耗费 了大量的人力和物力。