线性代数练习题一 选择题1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（ ）(A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B ==2设1011,1101a b c d -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）(A)01.11⎛⎫ ⎪-⎝⎭(B)11.10-⎛⎫⎪⎝⎭(C)11.11-⎛⎫⎪⎝⎭(D)11.01⎛⎫⎪-⎝⎭3若 A 为n m ⨯矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立.（A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。

（B ）A 是满秩矩阵。

（C ）A 经初等变换可化为⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE （D ）A 中r 阶子式不全为零。

4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量.（B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关.（C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示.5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解.（B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解.（C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解.6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( )(A) B AX =一定无解。

(B) θ=AX 只有零解。

(C) θ=AX 必有非零解。

(D) B AX =一定有无穷多组解。

7线性方程组⎩⎨⎧=+=-01ay bx by ax ， 若 b a ≠,则方程组 ( )(A)无解 (B)有唯一解 (C)有无穷多解 (D)其解需要讨论多种情况 8 设A 、B 都是n 阶矩阵，且0=AB , 则A 和B 的秩（ ）()A 必有一个为0, ()B 必定都小于n ,()C 必有一个小于n ， ()D 必定都等于n二 填空题1方程组123123202470x x x x x x +-=⎧⎨++=⎩的通解为_____.2设5阶方阵A 的行列式为A =-2 ，则2A =__________.3已知 20521134X ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求X =三 计算题1 2531131301151423D --=-----2 2223331111134213421342D =解：(31)(41)(21)(43)(23)(24)12D =------=3 002200020002x x D x x=解：1440020202(1)021602002x x D x x x x x+=+-=-4 a x x x x a x x D x x axx xx a =、()()()()3111111110003330000x a x x a x D x a x a x a a x x x a x a x x xx aa x-=+=+=+---5设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=432432864A , 求矩阵A 的秩。

解：234A 010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，()2R A = 6设1222123,136A B A -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求B 解：2221232136A ==， 1112B A A -===7 解矩阵方程:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011323641302X 解: 1203146323-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1205511099211275125⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭11205520311111461019932300211275125X -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭151917135⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭8 解矩阵方程:203182146036323005X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭9 解: 1203146323-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1205511099211275125⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭11205518220318211036146036099005323005211275125X -⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=--=-=-- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭201642751357617954510112727⎛⎫--⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10求线性方程组⎩⎨⎧=++-=+++1543243214321x x x x x x x x 的通解解: 1234511111B ⎛⎫=⎪-⎝⎭57102332401133⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭知()()24R A R B ==<, 故原方程组有无穷多组解,同解方程组为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+--=+--=4433432431343237235x x x x x x x x x x ，43,x x 为自由未知量,原方程组的通解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1012013235003437214321k k x x x x , 21,k k 任意常数10求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-=+++=+++3331254522242143243214321x x x x x x x x x x x x x x 的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个基础解系。

解:1211210330251450112101121000001303300000B -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪= ⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()()24R A R B ==<, 故原方程组有无穷多组解, 同解方程组为：1342343321x x x x x x =-+⎧⎨=-+⎩，43,x x 为自由未知量,原方程组的通解为：121234033112010001x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 21,k k 任意常数11求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++-=+++=+++03345522231432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个基础解系。

解: 1111110114321120122501215000105433000000B ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知()()34R A R B ==<, 故原方程组有无穷多组解,同解方程组为：132344250x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，3x 为自由未知量,原方程组的通解为：123441520100x x k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, k 任意常数12当a 为何值时下列线性方程组有解？有解时用向量形式表示出它的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-++-=+++-=+-+1223222431432143214321x x x a x x x x x x x x x x x x 解: 211121211312113011021122000121011100001B a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，当1a =时, ()()3R A R B ==,线性方程组有解。

1211310103011020110200012000120000000000B--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知()()34R A R B ==<, 故原方程组有无穷多组解, 同解方程组为：13234322x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，3x 为自由未知量,原方程组的通解为：123431210120x x kx x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, k 任意常数 13判断下列向量组的线性相关性并求它的一个最大无关组 （1）);1,3,0();2,1,1();3,1,2(321-=-==ααα（2）α1=(1,0,1), α2=(0,1,-1), α3=(2,0,1) α4=(0,1,2)解：（1）210113113012321001A -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭向量组123,,ααα线性无关，且123,,ααα就是一个最大无关组解：（2）102010200101010111120013A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭向量组1234,,,αααα线性相关，123,,ααα或124,,ααα是最大无关组 14 已知向量组()43211=α，()54322=α ，()65433=α，()76544=α，求向量组的秩。

解:1234123411111111234511111234012334561111000000004567111100000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234(,,,)2R αααα=15已知向量组()11211-=α ，()0022t =α ，()25403--=α的秩为2，求t 。

解:12012012020404401115025025102022000A t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭若123(,,)2R ααα=,则25t +=,所以3t =. 16讨论向量组()1111=α ，()3212=α ，()t 313=α ，当t 为何值时，向量组线性相关。

解: 11111111112301201213021005A t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭若向量组线性相关,则123(,,)()3R R A ααα=< 所以50t -=,即5t =四 证明题1．设,A B 相乘可交换，且A 可逆，证明1A -与B 相乘也可交换. 证：由AB BA = 得B A BA=-1 故BAA B --=11.2．设A 是可逆的n 阶矩阵，求证().11---=-A A证： 由()().11E A A A A ==---- 故().11---=-A A线性代数练习题答案一．选择题１．（Ｃ） 0|0|||||||===B A AB 。