初中物理
题目：在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
作者单位：响水滩乡中心学校
作者姓名：宁国强
2012年9月28日
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
响水滩中心学校 宁国强
摘 要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般表象的概念。

关键词：一维线性谐振子；坐标表象；
一、 能量本征值、本征函数的求解
取自然平衡位置为坐标原点,并选原点为势能零点,则一维线性谐振子的势能为 221()2V x x
μω= （1） 其中μ是谐振子的质量，ω是经典谐振子的自然频率。

一维谐振子的哈密顿函数为
222122
p H x μωμ=+ （2） 体系的能量本征方程（亦即不含时Schr ödinger 方程）为
()()222221ˆ22d x x E x dx μωψψμ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
h （3） 严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件：
()0x x ψ→∞
−−−→ （4）
将方程（3）无量纲化，为此，令
x ξα==， α= λ=2E ω
h （5） （3）式可改写为
()
2220d d ψλξψξ+-= （6） 这是一个变系数二阶常微分方程。

为了求解它，我们先看ψ在ξ→±∞时的渐进行为。

当ξ⎢⎥⎣⎦很大时,λ与2ξ相比可以略去，因而在ξ→±∞ 时，方程(6)可近似表示为
2220d d ψξψξ
-= （7） ξ→±∞时，
它的渐近解为2/2~e ξψ±。

因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时ψ应为有限，所以2/2e ξψ:不满足边界条件(4)式，应弃之。

波函数指数上只能取负号，即2/2e ξψ-:。

方程(6)在ξ为有限处的
根据以上讨论，可令方程(6)在ξ为有限处的解有如下形式：
()()2
2Ae H ξψξξ-= （8）
式中A 为归一化系数，（8）代入(6)式，得
()22210d H dH H d d ξλξξ
-+-= （9） 用级数解法，即把H 展开成ξ的幂级数来求这个方程的解。

这个级数必须只含有有限项，才能在ξ→±∞ 时使()ψξ为有限，而级数只含有限项的条件是λ 为奇数：21n λ=+，()0,1,2n =L L 。

代入(5)中的第三式，可得一维线性谐振子的能级为
12n E n ω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭h ， ()0,1,2n =L L （10） 因此，线性谐振子的能量只取分立值(如图2所示)，两相邻能级间的间隔为ωh ，这与普朗克关于能量是量子化的假设相符合。

当21n λ=+时，方程（6）的级数解退化为下述厄密多项式：
()()22
1n n n n d H e e d ξξξξ-=- （11） 可以证明，厄密多项式满足正交性公式：
()()2!n m mn n H H e d n ξξξξπδ+∞--∞=⎰ （12）
归一化的谐振子能量本征函数为 ()()22
12x n n
n x A e H x αψα-=， ()0,1,2n =L L （13）
归一化常数 1
2!n n A n απ⎤=⎥⎦
（14） 线性谐振子的能量本征函数满足以下正交归一关系：
()*(),()()()m n m n mn x x x x dx ψψψψδ+∞-∞==⎰ （15）
二、 能量本征态下力学量平均值的计算
利用厄密特多项式的递推公式及（13）（14）式可以导出下列非常有用的公式： ()()()1111ˆ22n n n n n x x x x ψψψα-+⎫+=+⎪⎪⎭
（16） ()()()()()()()())22221
ˆ121122n n n n x x n n x n x n n x ψψψψα-+=-++++++ （17） ()11122n n n d x n n dx ψαψψ-+⎫+=⎪⎪⎭
（18） ()
()()()()()()())22222121122n n n n d x n n x n x n n x dx ψαψψψ-+=--+++ （19）
利用（16）之（19）及()n x ψ的正交归一关系（15）式，可方便地计算出在()n x ψ态下以下各力学量的平均值：
()()()0ˆ,ˆ==x x x x
n n ψψ （20）
()()()()()ˆˆ,,0n n n n d x p x p x i x dx ψψψψ⎛⎫==-= ⎪⎝
⎭h （21） ()()()()22211ˆˆ,2122n n x
x x x n n m ψψαω⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭h （22）
()()()()()222ˆˆ,,n n n n d p x p x x i x dx ψψψψ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
h ()()()2222
21,2122n n d x x n n m dx αψψω⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭h h h （23） 在上述结果基础上，容易求出()n x ψ态下谐振子的平均势能和平均动能为
2211112222
n m x n E ωω⎛⎫==+= ⎪⎝⎭h （24）
2
1112222n p n E m ω⎛⎫=
=+= ⎪⎝⎭h （25）。