[bk2 (k 1)(k 2) 2kbk bk ( 1)] k 0
k
即： bk2 (k 1)(k 2) 2kbk bk ( 1)=0
该式对任意ξ都 成立，故ξ同次
从而导出系数 bk 的递推公式：
幂前的系数均应 为零，
bk 2
2k 1
(k 1)(k 2) bk
由上式可以看出：
a
x
0
V0
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为 标准谐振子势的形式：
V(x)
V ( x) 1 kx2 2
a
x
0
V0
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往 可以用线性谐振动来近似描述。
在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基
本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒 子在稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的 普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。
(II) ξ→±∞ 需要考虑无穷级数的收敛性
b k2 k2 bk k
2k 1 2 (k 1)(k 2)
k
22 k
为此考察相邻 两项之比：
考察幂级数exp[
exp[ 2 ] 1 2
4
k
k2
展开式的收敛性
1! 2!
(
k 2
)!
(
k 2
1)!
比较二级数可知：
相继两项之比：
k2
V0
若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则
V 1 m2x2
2
量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中 运动的粒子。
（2）为什么研究线性谐振子
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平 衡位置附近的小振动，
分子振动 晶格振动 原子核表面振动 辐射场的振动
V ( x) V (a) 1 V 1! x
2
2
d2 dx 2
1 2
2 x2
(x)
E
(x)
为了简洁起见，引入三个无量纲参量：
x,
,
2E
d 2 () ( 2 ) () 0 d 2
求解此方程，并考虑到束缚态条件，就可以得到一 维谐振子的能此量式本是征一值变和系与数其二对阶应常的微本分征方波程函数。
（2）方程求解
‘先两端，带中间’原则，即当 ξ→±∞ 时
2n 1
bn2 (n 1)(n 2) bn 0
bn 0,
2n 1 0
因为
2E
E
1 2
于是最后得：
E
(n
1 2
)
n 0,1,2,
结论 基于波函数 在无穷远处的 有限性条件导致了 能量必须取
分立值。
（5）厄密多项式
附加有限性条件得到了 H(ξ)的 一个多项式，该多项式称为 厄密 多项式，记为 Hn(ξ)，于是总波 函数可表示为：
b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。
因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：
b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).
则通解可记为： H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2]
经典力学中，一维谐振子的哈密顿
H p2 V p2 1 m2x2
2m 2m 2
上式用相应算符代入，得
Hˆ
2
2m
d2 dx2
1 2
m2 x2
是一维谐振子的哈密顿算符，是能量算符。
————一维谐振子的定态薛定谔方程
2
2
d2 dx 2
1 2
2 x2
(x)
E
(x)
————一维谐振子的能量本征值方程
1 2V
(x
xa
a)
2!
x 2
( x a)2
xa
V (Va)(a)V0 V0
V V 0 x x xa xa 0
其中：k
2V x2
xa
V0
1 2!
2V x 2
( x a)2
xa
V0
1 2
k(
x
a)2
V(x)
例如双原子分子，两原 子间的势V是二者相对距 离x的函数，如图所示。 在 x = a 处，V 有一极小 值V0 。在 x = a 附近势 可以展开成泰勒级数：
(
k 2
1)!
k
(
k 2
)!
2
(
k 2
1)!
(
k 2
1 2
1)
k
22
k
(
k 2
)!
当ξ→±∞时， H(ξ)的渐 行为与exp[ξ2]相同。
所以总波函数有如下发散行为：
(
)
H (
) e xp[
1 2
2
]
exp[
2 ]exp[
1 2
2]
exp[
1 2
2
]
为了满足波函数有限性要求，幂级数 H ( ) 必须从某一项截 断变成一个多项式。换言之，要求 H ( ) 从某一项（比如第 n 项）起 以后各项的系数均为零，即 bn 0,bn2 0
波函数ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2
d 2 ( ) [ 2 ] ( ) 0
d 2
1. 渐近解
d 2 d 2
2
0
其解为： ( ) exp( 2 / 2)
欲验证解的正确性，可将其代回方程，
d d e 2 / 2 d d
d 2 d 2
d
d
[ ]
d d
ξ2 >> ± 1
[ 2 1] 2
所以
c1e 2 / 2 c2e 2 / 2
波函数有限性条件：
当ξ→±∞ 时，应 有 c2 = 0，
因整个波函数尚未归一化， 所以c1可以令其等于1。最 后渐近波函数为：
e 2 / 2
为了使方程 d 2 d 2
[ 2 ] (x) 0的波函数
在无穷远处有 e 2 / 2渐近形式，那么令：
n
Nn
exp[
1 2
2
]H n (
)
H 2H ( 1)H 0
归一化系数
H
n
2H
n
2nH n
0
封闭形式解：
Hn()
Hn (
)
(1)n
exp[
2]
dn
d n
exp[
2]
由上式可以看出，Hn ( ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n。
厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：
dH n
一 经典简谐运动 弹簧振子的振动
l0 k
A
x0 F 0
m
x
o
A
一维谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本 的问题
在经典力学中，简谐振动的定义：
任何物理量 x 的变化规律若满足方程式
d2 dt
x
2
2
x
0
因为
所以
F dV dx
因：k m2V 来自kxdx1 2
kx2
V0
1 2
m2 x2
( ) H( )e 2 / 2
其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准 条件。即：
① 当ξ有限时，H(ξ)有限； ② 当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。
2. H ( ) 满足的方程
将ψ(ξ)表达式代入方程得 关于 待求函数 H(ξ) 所满足的方程：
H 2H ( 1)H 0