第六章 债务偿还讨论（A ）1、 某人投资一笔款项，以获得n 年的年末付年金，每次付1，预定年利率为i 。

第1年，这笔投资实际投资利率为i ，年末获得额度为1的付款，而在第2年，利率增至j ，j>i ，若：（1）第3年开始直到第n 年，年利率又降至i ；（2）直至n 年末，利率保持j 。

计算变化后这两种情形下的年付款额。

解题提示：见讲义2、 某人贷款1000元，每年计息4次的年名义利率为12％，贷款偿还时间及数额为第1年末400元，第5年末800元，第10年末偿还剩余的部分，计算第10年末的偿还额及其共包含的本金和利息。

解：每季度的实际利率为12%/4=3%，偿还款发生在第4季度末、第20季度末和第40季度末，设最后一次偿还款为P ，各次偿还款的现值之和等于贷款额，故而有： 1000=400（1.03）-4+800（1.03）-20+P （1.03）-40 =355.39+422.94+0.30655P P=657.86首期偿还款中的利息部分为：1000【（1.03）4-1】=125.51（元） 因而首期偿还款中的本金部分为：400-125.51=274.49（元） 第一次还款结束后，贷款余额为1000-274.49=725.51（元） 在第二次还款时所生利息为：725.51【（1.0316）-1】=438.72（元） 因而第二次偿还款中的本金部分为800-438.72=361.28（元） 第三次偿还款中的本金部分为725.51-361.28=364.23（元）则最后一次还款中的本金部分为364.23元，利息部分为657.86-364.23=293.61（元）3、 甲购买住房，贷款2000 000元，分三次领取。

办理贷款后，首次领取1000 000元，半年后又领取500000元，1年末又领取500 000元。

贷款按每年计息2次的年名义利率12％进行分期按月偿还，为期30年。

前5年每月偿还额是其后各年每月偿还额的一半。

首期偿还款发生在第3年初，计算第12次偿还款的数量。

解：两年末，贷款积累值为：1000 000（1.0750）4+500 000(1.075)3+500 000(1.075)2=2354430.10(元)这个积累值是分期还款额在贷款第3年初的现值，设前5年每次偿还额为P ，则有60600.013000.012354430.102Pa Pa v =+P=16787.12（元）第12次付款发生在第一个还款年度，所以应该为P 的值，即16787.12元。

4、有两比贷款的本金均为10 000元，期限均为5年，但偿还方式不同： 第一笔贷款：采用偿债基金法偿还，贷款利率为6％，偿债基金利率为5％。

第二笔贷款：采用等额分期法偿还。

试计算当第二笔贷款的利率为多少时，两笔贷款对借款人而言是等价的。

解：无论选择哪一笔贷款，如果借款人在每年末都要支付相等的金额，那就可以认为两笔贷款对借款人而言是等价的。

对于第一笔贷款，借款人在每年末需要支付的金额为050.0511()10000(0.06)2409.75(n j L i s s +=+=元）对于第二笔贷款，假设其利率为i ，则借款人在每年末需要支付的金额为：0510*******.75ni iL a a ==R=0.06552i =5、一笔贷款的期限为2年，年实际利率为6％，每季度等额偿还一次，如果第一年末偿还的本金为2 000元，试计算在第二年末应该偿还的本金。

解：已知年实际利率为6%，所以季度实际利率为0.25(10.06)10.01467i=+-=第一年末的付款也就是第4次付款，由式（8.1.6）可知，第一年末的付款中偿还的本金为1(841)(1.01467)0.9298n k Rv R R -+--+==令上式等于第一年末偿还的本金2000元，得每次偿还的金额为R=2000/0.9298=2151（元） 再次应用上式可得在第二年末（第8次付款）偿还的本金为1(881)2151(1.01467)2120(n k Rv -+--+==元） 事实上，如果注意到每次偿还的本金1n k Rv -+是一个几何级数，就可以直接以第4次偿还的本金为基础，计算出第8次偿还的本金。

第4次偿还的本金为84154P Rv Rv -+== 第8次偿还的本金为8818P RvRv -+== 所以4484120001.014672120P P i =+==（）（）（元） 讨论（B ）1、 甲年初从乙银行贷款10 000元，分10年偿还，年利率10％，每年末的还款额是前一年的1.2倍。

计算前4年各期偿还款中的本金部分、利息部分和贷款余额。

解：由题意得：11110111001212 1.21 1.11000013.871820.10.210000720.8913.871820.1*100001000(720.891000279.1110000279.1110279.111.2 1.2*720.89865.07162.84R R R I iB P R I B B P R R P -==-======-=-=-=-=--=====-10（）【】（元）元）（元）（）（元）（元）以此类推232323343434410441.951.21038.081044.206.1210448.071.21245.701044.80200.8910247.18B R R I iB P B R R I iB P B ======-=======（元）（元）（元）（元）（元）（元）（元）（元）（元）（元）2、 某人从银行贷款20 000元。

本金部分按20年期等额年金形式偿还，每次还本金的同时，偿还贷款的当期利息，年利率为3％。

10年后，银行将这种收款权卖给另家公司，卖出价格为P ，使得买入公司在前5年可获5％的年收益，而后5年可获4％的年收益，计算P 。

解：第1年末贷款余额为19000，第2年末为18000……，每年还款中本金部分为1000元，利息部分： 第1年末为20000*3% 第2年末为19000*3%....5550.0550.0450.0550.0550.041000[(1.05)][15030()30(1.05)()]5 4.32955 4.45181000[4.3295(0.78353)(4.4518)][150(4.3295)30()30(0.78353)()]0.050.049191.55(P a a a Da Da --=++++--=++++=元）3、 某贷款年利率为10％，期限为10年，采取分期方式连续偿还。

前5年每年还款1 000元，后5年没面还款2 000元，计算第5年偿还的贷款的本金部分和利息部分。

解：根据未来法计算第4年末的贷款余额，分为两部分，一部分是后5年的偿还款现值，这一部分在第5年内不随时间推移而变化，即5115142000(1.1)2000(1.1)7231.48(v a δ---===1V （）元）这部分本金在第5年产生的利息为：7231.48*0.1=723.15（元）另一部分是第5年偿还款的现值，这一部分在第5年内随时间推移而变化，即2141000ta -=V （）这部分贷款余额在第5年内产生的利息为：110110(1)1010001000111000()|11000(1)46.18(t t t a dtv dtt e vδδδδ----⋅⋅=-=--=-=⎰⎰元）第5年内还款额1000元中的利息部分为： 723.15+46.18=769.33（元）本金部分为：1000-769.33=230.67（元）这里明确的是，贷款本金中不变的部分所产生的利息用i 计算而不是瞬时值，不用δ计算，而可变部分所生的利息要通过积分值将各瞬时值进行积累。

另外，注意不能将不变部分与11000a 简单相加再与δ相乘即δ（7231.48+11000a ）作为利息值，实际计算时往往会产生这种错误，原因是没有考虑11000a 这一部分在一年内是递减的。

4、设某人年初向银行借款10 000元，借款年利率为8％，每年复利1次，期限为6年，还款方式有以下3种：（1）每年年末分期等额偿还；（2）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，偿债基金存款年利率也为8％；（3）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，偿债基金存款年利率为6％。

求3种方式中每年的支付量及每年的利息支付量。

解：（1）因为60.08 4.62288niaa ==，并且当初始贷款为ni a 时，每次的支付量为1，因此当初始贷款为10000元时，每次的偿还量应为：10000100002163.15(4.62288ni a ==元）其中第1次所还利息为：1000010000800(ni niia i a =⋅=元）第2次至第6次所还利息分别为：50.0860.0840.0860.0830.0860.0820.0860.0810000 3.99270.08800690.95(4.6228810000 3.31210.08800573.17(4.6228810000 2.57710.08800445.98(4.6228810000 1.78330.08800308.60(4.622881000a a a a a a a a ⨯==⨯==⨯==⨯==元）元）元）元）10.0860.0800.92590.08800160.23(4.62288a a ⨯==元）（2）由于偿债基金存款利率与贷款利率相同，都为8%，这时的偿债基金法与分期偿还法等价，因此，每年的支付量也为2163.15元。

每次的利息支付量都等于1000010000800(ni niia i a =⋅=元）（3）由于偿债基金存款利率与贷款利率不相同，这时偿债基金法雨分期偿还法并不等价，这种情况下每年的支付量为：60.0660.061000010000100002233.64(4.47701(0.080.06)n i ja a a δ===+-元）5、设某人年初向银行贷款10 000元，期限6年，还款方式有以下3种： （1）以贷款年利率6％，每年年末分期等额偿还；（2）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，贷款年利率为6％，偿债基金存款利率也为6％； （3）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，贷款年利率为8％，偿债基金存款年利率为6％。

计算3种情况下，第4次偿还后贷款余额和第4期内的本金支付量或净本金支付量，并比较其结果。

解：（1）L=10000，i=0.06，n=660.0610000100002033.64(4.9173n j L a a ===R=元）第4年末偿还后的贷款余额为640.062033.64 1.83343728.47a-=⨯=4B =R （元） 第4次偿还额中的本金部分为：32033.64*(1.06)1707.48(-==6-4+14P =Rv 元）（2）L=10000，i=j=0.06，n=660.060.0660.0610000100002033.64(ni jL a a a δδ===R=元）第4年末偿还后的净贷款余额仍为420.0660.0610000100003728.47(n k n j NB a a a a -===元）第4次偿还额中的净本金支付量仍为：13460.0610000(1.06)1707.48(n k j n j L NP v a a -+-===元）。