Li42L22P
附加：Ln与垂直的P及包含的P的组合
n为偶数 n=2 n=4 n=6
L22L23PC=3L23PC L44L25PC L66L27PC
n为奇数
n=1
n=3
L22P
L33L24P Li63L23P
3． 晶体定向
三轴坐标体系
右手坐标系
单位晶胞
增加一个辅助轴U
立方晶系（cubic） （等轴晶系 isometric）
Li4
Li42L22P
三方及六方晶系
a=b≠c; α=β=90° γ=120°
方位：c、a、2a+b
5）三方晶系(tigonal or rhombohedral) a=b≠c; α=β=90° γ=120°
方位：c、a、2a+b
国际符号第一位为3或-3 (16) 3
(17) 32 (18) -3 (19) 3m (20) -3m
(9)
4
(10) 422 (11) 4/m (12) 4mm (13) 4/mmm (14) -4 (15) -42m
4）四方晶系 (tetragonal) a=b≠c; α=β=γ=90° 方位：c、a、a+b 国际符号第一位为4或-4，第二位不是3
(9)
4
(10) 422 (11) 4/m (12) 4mm (13) 4/mmm (14) -4 (15) -42m
-6, 222,
-62m, 422, 6/m, m,
-3m1, -3, -4m2, 2/m,
mm2, 6/mmm, 321, 4mm
mmm, 312, 4, 6,
-31m,
-1,
4/mmm, -42m,
-4
7）立方晶系 a=b=c; α=β=γ=90°
方位：c，a+b+c, a+b 国际符号特点：第2位为3或-3。
对称型符号： C 国际符号：-1 图形符号: o
4) 旋转反伸轴(rotary inversion axis)
对称型符号： Li1，Li2，Li3，Li4，Li6。
国际符号：-1, -2, -3, -4, -6 图形符号:
△
Li 1= C
Li 2= P
Li 3（= L3C） 菱面体
Li 4 四方四面体
方位：c、a、2a+b
(21)
6
L6 L66L2 L3PC L36P
(22) 622
(23) 6/m
(24) 6mm (25) 6/mmm (26) -6 (27) -62m
-6m2
L66L27PC
Li6
-62m
Li63L23P
国际符号第一位为6或-6
6mm, 1, 4/m, -6m2,
3m, 2,
亦可理解为： 轴、体、棱方向
(28) 23
3L24L3
(29) m3或m-3
3L24L33PC
(30) -43m
3Li44L36P
(31) 432
3L44L36L2
(32) m3m
3L44L36L29PC
四面体类
(28) 3L24L3 (29) 3L24L33PC (30) 3Li44L36P 23 m3 -43m
选取以3次轴为对称的3个L2, 3个P的法线或3个主要晶棱方向为X，Y，Z轴 a＝b＝c ； α＝β＝γ≠90°
四方晶系 （tetragonal）
以唯一的高次轴为Z轴，以互相垂直的L2或P的法线方向或两个互相垂直的 主要晶棱方向为X，Y轴 a＝b≠c ； α＝β＝γ＝90°
斜方晶系（orthohombic）
Li 6 （= L3P）
三方双锥
当晶体中同时存在L3和C时，只能写成Li3， 而非L3C ； L3+P⊥只能写成Li6，而非L3P。
2． 对称要素的组合定理
定理 1. Ln ×L2⊥ = LnnL2，
L22L2
L33L2
L44L2
L66L2
逆定理：如果两个L2相交，则在交点上垂直于L2必产生一个Ln——基转角为 两个L2夹角的两倍。
立方体和八面体类 (31) 3L44L36L2 432 (32) 3L44L36L29PC m3m
一
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一、晶体结构基础
(一） 晶体的宏观对称
重点：国际符号
1. 对称要素
2. 对称要素组合定律
3. 国际符号(中低级晶族) 4. 高级晶族的对称型及国际符号
1 对称要素
1）对称面(symmetry plane)
Li33L23P 定理4：Lin P// =Lin L2 Li42L22P Li63L23P
Li33L23P
Li33L23P 定理4：Lin P// =Lin L2 Li42L22P Li63L23P
Li63L23P
Li33L23P 定理4：Lin P// =Lin L2 Li42L22P Li63L23P
观察如下图形分别具有几个几次对称轴：
长方体、四方体
3L2
L44L2
思考：六方柱具有几个几次对称轴、几个对称 面？各在什么方位？
六方柱对称轴的轴次及分布 L66L2
六方柱对称面的分布 7P
六方柱对称轴、对称面的分布 L66L27P(C)
3）对称中心(center of symmetry)
(4) m
P
(5) 2/m
L2PC
3）斜方晶系(正交晶系)(orthohombic) a≠b≠c; α=β=γ=90°
方位：a、b、c 国际符号多于1位，每位只能是2或/及m 对成型 (6) 222 3L2
(7) mm2
2mm? m2m?
L22P
(8) mmm
3L23PC
4）四方晶系 (tetragonal) a=b≠c; α=β=γ=90° 方位：c、a、a+b 国际符号第一位为4或-4，第二位不是3
3． 点群的国际符号(中低级晶族)
国际符号（International Symbol），它是由Hermann 与 Mauguin创立的，因此也称HM符号。 书写原则：按方位书写：沿某方位，有对称要素就写出来， 无就空着或写为‘1’。 写各个方位对称要素时： (1) 平行于该方位只有对称轴n，写n (1,2,3,4,6,-3,-4,-6)； 垂直于该方位只有对称面，写m。 (2) 该方位有n+P⊥，记为n/m(代表一个方位)。 如2/m，4/m, 6/m。(偶次轴+P⊥，隐含了对称中心C) 问：晶体结构中是否存在3/m? 可以存在，但必须写为-6。
定理2.
L2n × P⊥ = L2nP⊥C,
L2PC 逆定理： L2+C=L2PC
L4PC P+C=L2PC
L6PC
定理3.
P// × Ln = LnnP//
L22P
L33P
L44P
L66P
逆定理：两个P相交，则交线为对称轴，基转角=两个P夹角的两倍。 例：两个P互相垂直，则交线为L2；
两个P夹角45°，则交线为L4。
以互相垂直的3L4、3Li4或3L2为X，Y，Z轴
a＝b＝c；
α＝β＝γ＝90°
六方晶系及三方晶系六方定向 （hexagonal & Trigonal hexagonal）
以唯一的高次轴为Z轴，以夹角为120°的3L2或3P的法线方向为X，Y，U轴 a＝b≠c ； α＝β＝90°， γ＝120°
三方晶系菱面体定向 （trigonal rhombehedral）
以3个互相垂直L2的或的法线为X，Y，Z轴 a≠b≠c； α＝β＝γ＝90°
单斜晶系 （monoclinic）
以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y的两个主要晶棱方向为X，Z轴
a≠b≠c；
α＝γ＝90°， β≠90°
三斜晶系（triclinic）
以不在同一平米的三个主要晶棱方向为X，Y，Z轴 a≠b≠c； α≠β≠γ≠90°
1） 三斜晶系(triclinic) a≠b≠c; α≠β≠γ≠90° 无方位： (1) 1 (2) -1 1 L1
-1
Li1=C
国际符号只有1位，且无P无对称轴
2） 单斜晶系(monoclinic) a≠b≠c; α=γ=90° β≠90°
方位：b （b轴方向为唯一轴：与L2或与P⊥重合）
国际符号只有1位，2或/及m 对成型 (3) 2 L2
-4m2
4）四方晶系 (tetragonal) a=b≠c; α=β=γ=90° 方位：c、a、a+b 国际符号第一位为4或-4，第二位不是3 对成型
(9)
4
L4 L44L2 L4PC L44P L44L25PC
(10) 422 (11) 4/m (12) 4mm (13) 4/mmm (14) -4 (15) -42m
对称型符号：P 国际符号： m (mirror) 图形符号：）对称轴(symmetry axis)
对称型符号： L1，L2，L3，L4，L6 其中L1，L2为低次轴，L3，L4，L6为高次轴。 国际符号：1，2，3，4，6 ； 图形符号是: 对称轴的写法：1个：L3；4个: 4L3。
5）三方晶系 a=b≠c; α=β=90° γ=120°
方位：c、a、2a+b
(16)
3
321 312
L3 L33L2 Li3 L33P
(17) 32
(18) -3
(19) 3m
-3m1
(20) -3m
-31m
Li33L23P
国际符号第一位为3或-3
6）六方晶系 a=b≠c; α=β=90° γ=120°