5-5-4.余数性质（二）教学目标1.学习余数的三大定理及综合运用2.理解弃9法，并运用其解题知识点拨一、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。

这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

例题精讲【例1模块一、余数性质的综合运用】20032与22003的和除以7的余数是________．【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】南京市，少年数学智力冬令营【解析】找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．【答案】5【巩固】2008222008+除以7的余数是多少？【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．【答案】3【巩固】()30313130+被13除所得的余数是多少？【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】31被13除所得的余数为5，当n 取1，2，3， 时5n 被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1 以4为周期循环出现，所以305被13除的余数与25被13除的余数相同，余12，则3031除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4，当n 取1，2，3， 时，4n 被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10， 以6为周期循环出现，所以314被13除所得的余数等于14被13除所得的余数，即4，故3130除以13的余数为4；所以()30313130+被13除所得的余数是124133+-=．【答案】3【例2】M 、N 为非零自然数，且20072008M N +被7整除。

M N +的最小值为。

【考点】余数性质的综合运用【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第7题，10分【解析】2007除以7的余数是5，2008除以7的余数是6，所以56M N +能被7整除，经试算，M N +最小【答案】5【例3】1234200512342005+++++ 除以10所得的余数为多少？【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】解答【解析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算123420123420+++++ 的个位数字，为1476563690163656749094+++++++++++++++++++=的个位数字，为4，由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4100400⨯=的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1476523++++=【例4】的个位数3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．【答案】3已知n 是正整数，规定!12n n =⨯⨯⨯ ，令1!12!23!32007!2007m =⨯+⨯+⨯++⨯ ，则整数m 除以2008的余数为多少？【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【关键词】清华附中【解析】1!12!23!32007!2007m =⨯+⨯+⨯++⨯ 1!212!313!412007!20081=⨯-+⨯-+⨯-++⨯- （）（）（）（）2!1!3!2!4!3!2008!2007!=-+-+-++- 2008!1=-2008能够整除2008!，所以2008!1-的余数是2007．【答案】【例5】2007设n 为正整数，2004n k =，k 被7除余数为2，k 被11除余数为3，求n 的最小值．【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以2n 被7除余数为2，被11除余数为3．由于122=被7除余2，而328=被7除余1，所以n 除以3的余数为1；由于82256=被11除余3，1021024=被11除余1，所以n 除以10的余数为8．可见2n +是3和10的公倍数，最小为[]3,1030=，所以n 【例6】的最小值为28．【答案】28试求不大于100，且使374n n ++能被11整除的所有自然数n 的和．【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】通过逐次计算，可以求出3n 被11除的余数，依次为：13为3，23为9，33为5，43为4，53为1，…，因而3n 被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……；类似地，可以求出7n 被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……；于是374n n ++被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，……；这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，即3,4,6,13,14,16,.....,93,94,96n =时374n n ++能被11整除，所以，所有满足条件的自然数n 的和为：346131416...9394961343...2831480+++++++++=+++=．【答案】1480【例7】对任意的自然数n ，证明2903803464261n n n n A =--+能被1897整除．【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】18977271=⨯，7与271互质，因为29035(mod 7)≡，8035(mod 7)≡，4642(mod 7)≡，2612(mod 7)≡，所以，290380346426155220(mod 7)n n n n n n n n A =--+≡--+≡，故A 能被7整除．又因为2903193(mod 271)≡，803261(mod 271)≡，464193(mod 271)≡，所以29038034642611932611932610(mod 271)n n n n n n n n A =--+≡--+≡，故A 能被271整除．因为7与271互质，所以A 能被1897整除．【例8】若a 为自然数，证明2005194910()a a -．【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】1025=⨯，由于2005a 与1949a 的奇偶性相同，所以200519492()a a -．20051949194956(1)a a a a -=-，如果a 能被5整除，那么1949565(1)a a -；如果a 不能被5整除，那么a 被5除的余数为1、2、3或者4，4a 被5除的余数为41、42、43、44被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管a 为多少，4a 被5除的余数为1，而56414()a a =，即14个4a 相乘，所以56a 除以5均余1，则561a -能被5整除，有1949565(1)a a -．所以200519495()a a -．由于2与5互质，所以2005194910()a a -．【例9】【解析】有一位奥运会志愿者，向看台上的一百名观众按顺序发放编号1，2，3，……100，同时还向每位观众赠送一个单色喇叭．他希望如果两位观众的编号之差是质数，那么他们拿到的喇叭就是不同颜色的．为了实现他自己的愿望，他最少要准备种颜色的喇叭．【考点】余数性质的综合运用【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第11题编号1、3、6、8这四个编号两两之间的差都是质数，所以这四个编号的观众应该使用不同颜色的喇叭．所以他最少应该准备4种不同颜色的喇叭，然后按编号被4除后的余数分派不同颜色喇叭．【答案】4种【例10】模块二、弃九法将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：12345678910111213 20072008，试求这个多位数除以9的余数．【考点】弃九法【难度】3星【题型】解答【解析】以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于()19992000+++++++被9除的余数，但是由于1999与()1999+++被9除的余数相同，2000与()2000+++被9除的余数相同，所以19992000就与()19992000+被9除的余数相同．由此可得，从1开始的自然数12345678910111213 20072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为：()12008200820170362+⨯=，它被9除的余数为1．另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，……，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同．因此，此数被9除的余数为1．【巩固】【答案】1连续写出从1开始的自然数，写到2009时停止，得到一个多位数：123456789101119992000 ，请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？【考点】弃九法【难度】3星【题型】解答【关键词】希望杯【分析】因为连续3个自然数可以被3整除，而且最后一个自然数都是3的倍数，因为1998是3的倍数，所以12345678910111998 是3的倍数，又因为12345678910111999200012345678910111998000000001998119982=++++ ，所以123456789101119992000 除以3，得到的余数是0．【例11】【答案】0将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是________．【考点】弃九法【难度】3星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．19～共有9个数字，1099～共有90个两位数，共有数字：902180⨯=(个),100999～共900个三位数，共有数字：90032700⨯=(个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602......2--÷=，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702978÷=(组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27 =．【例12】【答案】7有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。