（ｂ）广义最小平方估计 ~ 的协方差矩阵
co ~ ) v2 ( (X 1 X ) 1
（ｃ）伪协方差矩阵
2(XX)1
§5.2 异方差问题
（一）异方差概念
vaU ri)(Ei2 U i2
2 i
(i1,2, ,n)不全相同
vaYir)(vaU ri)(
异方差概念理解
（二）异方差的检测
U i Y i (0 1 X 1 i k X k )i
{ai ,bi}
i1,,n
并由此产生等级变量 a 与 b 。a与 b 的线性相关系数，称为 q
与 z的等级相关系数 。
rs
(ai a)b(i b) (ai a)2 (bi b)2
rs
16(ai bi)2
n(n2 1)
§5.2 异方差问题
等级相关检验
(ａ) 完成模型的OLS估计，获取残差数据 e i ；
f (X j1)
f (X j1)
X12
Xk2
f (X j2)
f (X j2)
X1n f (X jn)
f
Xkn (X jn)
Y~ Y f (X j)
X~i
Xi f (X j)
X~0
1 f (X j)
i1,,k
Y ~ 0 X ~ 0 1 X ~ 1 k X ~ k U ~
§5.3 异方差模型的估计
§5.3 异方差模型的估计
（三）异方差模型的广义最小平方估计
Y1 Y2 Yn
1 1 1
X 11 X 12
X 1n
X k1 X k2
X kn
f f f
Y1
(X j1) Y2
(X j2) Yn
(X jn)
1
f (X j1) 1
f (X j2) 1
f (X jn)
X11
Xk1
4
的观测值序号为准，进行相应的删与留，形成Ａ、Ｂ两个子样本；
（ｂ）两个子样本分别进行OLS估计，获取两个残差平方和：
e
2 i
A
e
2 i
B
（ｃ）构造统计量 Fei2 ei2或
A
B
Fei2 ei2；
B
A
（d）根据显著性水平，以及双自由度 nc (k 1) ，查取 F 分布临 2
界值 F 。若经比较 F F ，则接受模型存在单调形式的异方差，否
Actual
Fitted
§5.3 异方差模型的估计
例5.1 异方差性的等级相关检验
rs 0.5594
T2.8632
t 2.101 2
等级相关检验表明模型存在递增形式的异方差。
例5.1 异方差性的 F检验
按照销售收入水平的排序，从中心删去第９-12号样本点，形成
两个子样本A与B：
ei2 1.451
则拒绝异方差。
§5.3 异方差模型的估计
（一）广义最小平方估计对于异方差模型的意义
1
1
d12
1 d
2 n
(Y ~X ~~)(Y ~X ~~)(YX ~) 1(YX ~) d 1 i2ei2
对于与具有较小方差相应的残差，给以较大的权数，使其在确定回
归函数时，起较为重要的作用。或者说使回归函数主要参照那些对应
e i Y i (ˆ 0 ˆ 1 X 1 i ˆ k X k)i
1. 图示法 ( X ji ,Yi )
(X ji ,ei )
§5.2 异方差问题
2. 等级相关检验 : 等级相关系数
设变量 q 与 z有 n组观测值，
{qi , zi }
i1,,n
按照某种性能，同方向分别指定各观测值的等级：
第五章 异方差与自相关问题
除了本章讨论所涉及的同方差性与不自相关性以外， 关于线性回归模型的其它假定在本章中都成立。 ——广义最小平方估计； ——异方差模型及其估计； ——自相关模型及其估计； ——异方差模型、自相关模型的预测。
§5.1 广义最小平方法
同方差且不自相关 coU v)(2I
异方差或自相关 covU()2 正定
t ，则判定 2
模型存在单调形式的异方差，否则拒绝异方差。
§5.2 异方差问题
3. F 检验
（ａ）选择可能与异方差有关的解释变量 X j 。将 X j的样本观测值由小到
大进行排列，然后从这一排列的中心删去约 n c 的观测值，并使剩余的
两个子列具有相同数目（
c n
2
）的观测值。再对模型中的其余变量，以
较小方差的样本点而被决定。
§5.3 异方差模型的估计
（二）参数 d i
的估计
P
1 d1
1
d
n
散点图（ X ji , ei ）e f(Xj)V
几种常见的可供参考的函数形式：
e 0 X j
取 d 为函数 f ( X j ) 中的可变部分 ： X j
X
1 j
Xj
YXU PPI
Y~X~U ~ （~）
——（~）模型满足关于线性回归模型的全部基本假定，（~）模型
的普通最小平方估计将给出系数 的线性无偏最小方差估计。
~ (X 1X ) 1X 1 Y
§5.1 广义最小平方法
三个所谓协方差矩阵
（ａ）OLS估计 ˆ 的协方差矩阵
co ˆ) v2 ( ( X X ) 1 X X (X X ) 1
FA
ei2 37.169
B
ei2
F B 25.616
ei2
A
检验表明模型存在递增形式的异方差。
§5.3 异方差模型的估计
例5.1 的广义最小平方估计
试探性考虑异方差的 e X 形式， 1 。经过若干次试验最
后选取
e f(X)X1.7
4
3
ABSE
2
1
0
0
50
100
150
200
X
§5.3 异方差模型的估计
(ｂ) 选择可能与异方差有关的解释变量rs ( j)，计算变量 X j 与变 量 e 的等级相关系数 X j ；
(ｃ) 计算统计量
Tj
rs ( j) n 2 1 rs2 ( j)
；
（ｄ）T j 近似服从自由度为n2 的 t分布。根据显著性水平
t 及自由度 n2，查取
分布临界值 t 2
。如果
Tj
（四）异方差模型示例5.1
设 Y 表示商场利润总额，X表示商场销售收入。北京市20家最大
的百货商店的销售资料 ,商场按照销售收入规模从大到小排序。
Y ˆ0.51 60.06X 68
15
残差图提示递增
10
形式的异方差。
4
5
2
0
0
-2
-4 2
4 6 8 10 12 14 16 18 20
Residual
施实变换
Y ~YX 1.7
X ~1X0.7
X ~0X1.7
（~）模型的OLS估计结果： Y ~ ˆ0.63 X ~070.07 X ~12
（-2.087） （6.636） DW1.980 F14.747
0.008
0.006
0.004 0.002 0.000
0.004 0.002 0.000