异方差较之 同方差更为
常见
5
横截面数据:对一个或多个变量在同一时点上收集 的数据.
比如我们在研究居民储蓄问题时: 对于低收入家庭，他们满足基本消费以后，所剩无几， 因此各个家庭之间的储蓄不会有很大差异；
而对于高收入家庭，他们满足基本消费后，收入剩余较多， 由于各个家庭在消费习惯、消费心理、家庭成员构成不同， 有的家庭可能储蓄较多，有的家庭可能储蓄少，各个家庭之 间的储蓄就会出现较大差异。此时用线性模型来居民储蓄问 题时就有可能会出现异方差问题
2
5.1 异方差问题及其产生原因
对于前面研究的一般线性回归模型
Yi b0 b1Xi b2 X2 bk Xk i
var(i )
2 i
常数, (i
1,2,
n)
3
5.1 异方差问题及其产生原因
对于我们所研究的一般线性回归模型：
Yi b0 b1X1i b2 X 2i bk X ki i
f ( Xi )
此时如果仍采用 var(bˆ1)
2
xi2
计算斜率参数的方差，将
会产生估计偏误，偏误的大小取决与因子值的大小。
当
xi2 xi2
f
(
X
i
)
1时，var(
bˆ1
)
2
xi2
,
过低估计参数的方差
当
xi2 xi2
f
(
X
i
)
1时，var(
bˆ1
)
2
xi2
,
过高估计参数的方差
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从Y-X散点图可以看出，随着自变量的增加，因变量 随着增加，但是其分散程度也逐渐增大；同样，从残差 分布图中也可以发现残差的分散程度也随着自变量的增 加而加大。
★需要指出的是，图示检验法是判断异方差是否存 在比较粗略的一种方法，要精确地检验模型中是否存 在异方差，还要采用其他一些方法。★
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• 2.戈德菲尔德－匡特检验法
第五章 异方差
1
图1：我国税收和GDP(p24页) 图2：1998年我国制造工业和利润(p71页)
X-GDP Y-税收
X－销售收入 Y－销售利润
两个散点图有共同的特征，随着自变量增加，因变量
也增加，但是图2中，当X比较小时，数据点相对集中，
随着X增大，数据点变得相对分散。而图1中数据分布
却没有出现这一特征。
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2.普通最小二乘估计量不再是有效的
前面推导斜率参数的方差时，我们得到下面的公式 var(bˆ1) ki2 2
当模型满足同方差假定时 var(i ) 2 常数
var( bˆ1) 2
ki2
2
xi2
(最小方差)
但当模型中出现异方差时
var(i )
2 i
常数, (i
1,2,
n)
设
2 i
2
f
(Xi)
var(bˆ1)
ki2
2 i
ki2 2 f ( X i ) 2
ki2 f ( X i ) 2
(
xi2 xi2 )2
f ( Xi )
2
xi2
•
xi2 xi2
f ( Xi )
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由此可见模型中出现异方差时，斜率系数方差公式中多出 了一个因子
xi2 xi2
简而言之： 此时采用普通最小二乘法 估计模型所得到的结果， 其准确性难以保证！！
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估计模型的数学方法
估计模型的数学方法估计模型的数学方法估计模型的…数学…方法
加权最小二乘法普通最小二GL乘S法法 广义最小二乘法
（WLS法） （OLS法） WLS法
（GLS法）
OLS法
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5.3 异方差的检验
1.图示法 (1)绘制Y-X散点图
我们假设对于不同的样本点，随机误差项的分散程度是相同 的；但是如果随机误差项随着自变量的变化而变化，分散程 度不同时，我们说模型中出现了异方差问题。
var( i
)
2 i
常数, (i
1,2,
n)
Var(Yi ) Var(i )
4
异方差产生的主要原因
•模型函数形式存在设定误差 •模型中遗漏了一些重要的解释变量 •随机因素本身的影响
基本原理：这种方法又称G-Q检验法，它首先将样本按照
升序排列，然后将样本分成两个部分，再对这两个子样本 分别建立回归模型，并求出各自的残差平方和RSS1和 RSS2。如果这两个部分随机误差项的分散程度相同，那 么RSS1和RSS2应该相差不大；如果RSS1和RSS2相差 较大，在表明两个部分随机误差项的分散程度存在较大差 异，模型中存在异方差。
Байду номын сангаас15
3.t检验的可靠性降低
由于异方差的存在，无法正确估计参数的方差和标志 误差，因此也影响到t检验的效果
t(bˆi )
bˆi se(bˆi )
4.模型的预测误差增大
模型的预测区间和随机误差项的方差有着紧密联系， 随着随机误差项方差的增大，模型的预测区间也随之增 大，模型的预测误差也会相应增加。
16
11
5.2异方差对OLS估计量的主要影响
满足同方差假定 线性性 无偏性 最具有效性
存在异方差
OLS 估计量
线性性 无偏性 最具有效性
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1.最小二乘估计量仍旧是线性无偏的
因为此时随机误差项仍旧满足零均值假定
可以证明线性：
bˆ1 b1 kii
E(i ) 0
无偏性
E(bˆ1) E(b1 kii ) E(b1) E( kii ) b1
8
9
年收益额 同年人均可支配收入
时间 年利率 每万元年收益 比重
1993.7 10.98% 1098元 42.6%
2002.2 1.98% 198元
2.57%
2007.12 4.14% 414元 3.00%
2008.12 2.25% 225元 1.43%
储蓄热情极高
储蓄热情极低 寻求其他投资
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由于因变量和随机误差项的方差相同，因此通过观察 因变量和自变量的散点图，可以分析因变量的分散程度 与自变量之间是否存在关系，如果因变量的分散程度随 着自变量的增加呈现增大(减小)的趋势，那么就说明模 型中出现了递增(递减)型的异方差现象。
(2)绘制残差分布图e-x 建立线性回归模型后，以残差平方作为纵坐标，自变量 X作为横坐标，绘制残差分布图，如果残差平方随着自变 量的变化而出现系统变化趋势，也可以判断模型中存在 异方差问题。
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研究居民家庭储蓄行为 如政策的变动，自然灾害的发生、 金融危机的爆发等。 这些偶然因素本身均会造成随机误 差项的异方差性。
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研究居民家庭储蓄行为
Yi : 第i个家庭的储蓄额 X i : 第i个家庭的可支配收入
Yi b0 b1X i i × ln(Yi ) b0 b1 ln( X i ) i