看是否形成一斜率为零的直线
e~i2
e~i2
X 同方差
e~i2
X 递增异方差
e~i2
X 递减异方差
X 复杂型异方差
2、帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验
基本思想: 尝试建立方程：
e ~i2f(Xji)i 或 |e ~i |f(Xji)i
选择关于变量X的不同的函数形式，对方程进 行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函 数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存 在异方差性。
如果出现
Var(i)i2
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。
二、异方差的类型
同方差性假定：i2 = 常数 f(Xi)
异方差时：
i2 = f(Xi)
异方差一般可归结为三种类型：
(1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
六、异方差的修正
基本思想：在获得关于随机扰动项的变动，及其 它们之间相互关系的更多信息条件下，通过一定 的数学变换，将这个随机扰动项转化成满足经典 假设的同方差的情形。
基本方法有二：
一是在知道随机扰动项相对波动大小的情况下，直接 对每个样本的随机扰动项进行加权，从而使它们的波 动幅度一样；
二是在知道了随机扰动项的波动，及各个随机扰动项 之间相关性的条件下，利用正定或半正定矩阵经过线 性变换，可以化成单位矩阵的逻辑，将随机扰动项转 化成满足经典假设条件。
②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩 下的观察值划分为较小与较大的相同的两个 子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2
③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自 的残差平方和
④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的 统计量
F e ~ 2 2 i (n2 ck1 )~F (nck1 ,nck1 )
计量经济学异方差
基本假定违背：不满足基本假定的情况。主要 包括： （1）随机误差项序列存在异方差性； （2）随机误差项序列存在序列相关性； （3）解释变量之间存在多重共线性； （4）解释变量是随机变量且与随机误差项相关
（随机解释变量）； 此外： （5）模型设定有偏误 （6）解释变量的方差不随样本容量的增而收敛
有 充 分 认 识 扰 动 项 变 化 规 律 情 况 下 进 行 的 估 计 ,
因 而 准 确 度 会 大 打 折 扣 .
其 他 检 验 , 只 要 是 用 到 了 2 的 估 计 2 , 均 会 使 检 验 的 " 仪 器 " 失 效 .
五、异方差性的检验
• 检验思路：
由于异方差性就是相对于不同的解释变量 观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：
似 估 计 量 ” ， 用 e ~i 表 示 。 于 是 有
V a r (i) E (i2 ) e ~ i2
e ~ i yi(y i)0ls
几种异方差的检验方法：
1、图示法
（1）用X-Y的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型
趋势（即不在一个固定的带型域中）
( 2 ) X - e ~ i 2 的 散 点 图 进 行 判 断
2Wˆ

e~12




e~n2
这时可直接以 D 1 d { 1 / i |e ~ 1 a |1 / , |e ~ 2 g | ,, 1 / |e ~ n |}
作为权矩阵。
注意：
在实际操作中人们通常采用如下的经验 方法：
不对原模型进行异方差性检验，而是直接 选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据 作样本时。
Y i 0 1 X 1 i 2 X 2 i i
然后做如下辅助回归
e ~ i 2 0 1 X 1 i 2 X 2 i 3 X 1 2 i 4 X 2 2 i 5 X 1 i X 2 i i (*)
可以证明，在同方差假设下：
R2为(*)的可决系数，h为(*)式解释变量的个数， 表示渐近服从某分布。
从事农业经营 其他收入
从事农业经营 其他收入
人均消费
的收入
人均消费
的收入
支出
支出
地区
Y
X1
X2
地区
Y
X1
X2
北京
3552.1
579.1 4446.4 湖 北
2703.36
1242.9 2526.9
天津
2050.9
1314.6 2633.1 湖 南
1550.62
1068.8
875.6
四、异方差性的后果
计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采 用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：
1、参数估计量非有效 OLS估计量仍然具有无偏性与一致性，但不具有有效性
因为在有效性证明中利用了 E(’)=2I
而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有 一致性，但仍然不具有渐近有效性。
• 直观解释：
1 f(Xj i)X2i

k
f(1Xji)Xk i
1 f(Xj i)
i
新模型中，存在
V (a f( 1 X jr ) i i) E (f( 1 X j) i i) 2 f( X 1 j) iE (i) 2 2
即满足同方差性，可用OLS法估计。
一般情况下: 对于模型
Y=X+
存在
E(μ )0
Co(μ v)E(μ μ )2W
w1


W


w2


wn

即存在异方差性。
W是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D使得
W=DD’
用D-1左乘 Y=X+
两边，得到一个新的模型： D 1 Y D 1 X β D 1 μ Y *X *β μ *
在采用OLS方法时:
对较小的残差平方ei2赋予较大的权数， 对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。
例如，如果对一多元模型，经检验知：
V (i a ) E ( ri) 2 i 2 f( X j) i 2
f(1Xji)Yi 0
f(1Xj i)1
f(1Xji)X1i 2
如果确实存在异方差，则被有效地消除了； 如果不存在异方差性，则加权最小二乘法 等价于普通最小二乘法
七、案例--中国农村居民人均消费函数
例4.1.4 中国农村居民人均消费支出主要由人 均纯收入来决定。
农村人均纯收入包括(1)从事农业经营的收入， (2)包括从事其他产业的经营性收入(3)工资性收 入、(4)财产收入(4)转移支付收入。
Ci=0+1Yi+I
将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样 本观测值。
一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入 组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均 数的误差小，人数少的组平均数的误差大。
所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值 的不同而不同，往往引起异方差性。
例4.1.3，以某一行业的企业为样本建立企业生产 函数模型
该模型具有同方差性。因为
E (μ *μ *)E(D 1 μ μ D 1)D 1E (μ μ )D 1
D 1 2Ω D 1D 1 2D D D 1 2I
β ˆ*(X *X *) 1X *Y *
(XD1D1X)1XD1D1Y (XW 1X)1XW 1Y
考察从事农业经营的收入(X1)和其他收入(X2) 对中国农村居民消费支出(Y)增长的影响:
lY n 0 1 lX n 1 2 lX n 2
表 4.1.1 中 国 2001 年 各 地 区 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 与 消 费 支 出 相 关 数 据 （ 单 位 ： 元 ）
Yi=Ai1 Ki2 Li3ei
被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被 包含在随机误差项中。
每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不 同，造成了随机误差项的异方差性。
这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量 观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
注意：
辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的 显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释 变量的更高次方。
如果存在异方差性，则表明确与解释变量的 某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有 较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。
当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中 可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有 时可去掉交叉项。
计量经济检验：对模型基本假定的检验
§4.1 异方差性
一、异方差的概念 二、异方差的类型 三、实际经济问题中的异方差性 四、异方差性的后果 五、异方差性的检验 六、异方差的修正 七、案例
一、异方差的概念
对于模型
Y i 0 1 X i i2 X 2 i k X k i i
如： 帕克检验常用的函数形式：
f(Xji) 2X je ii 或 ln e ~ i2 ) (ln 2lX n jii
若在统计上是显著的，表明存在异方差性。
3、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验
G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、 异方差递增或递减的情况。
G-Q检验的思想：
先将样本一分为二，对子样①和子样②分别 作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构 造“仪器”进行异方差检验。
由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增 的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方 差）、或小于1（递减方差）。
G-Q检验的步骤：