（
）
作业：
1、求中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐进
线的倾斜角为
6
，一条准线方程为x=6的双曲
线的标准方程。
2、求与双曲线x2/2－y2=1有公共渐近线且以
y=－3为准线的双曲线的标准方程.
数学广角
沏茶前要做些什么事呢？
怎样才能让客人尽快喝上茶？
①
②
③
④
⑤
⑥
数学家,中国科学院院士 华罗庚
双曲线的 简单几何性质(3)
方程
性质
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
图形
范围 对称性 顶点坐标
离心率
a x a,b y b
关于x, y轴及原点对称 A1(a,0), A2 (a,0) B1(0,b), B2 (0,b)
A1A2叫长轴, B1B2叫短轴
F
双曲线
y2 a2
x2 b2
1中:
上焦点F2 (0，c)，对应的上准线方程是
y
a2 c
;
下焦点F1(0 ， c)对应的下准线方程是
y
a2 c
.
例2、以坐标轴为对称轴的双曲线，一条 准线方程为y＝4，焦距为12，求此双曲线 的标准方程.
练习：
1、3y2－x2＝1的准线方程是___________， 渐近线方程是_______________.
y2 b2
1的渐进线为
x a
2 2
y2 b2
0
y ybx
a
O
x
y b x a
例1、点
M
(x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线
l
:
x
a2 c
的
距离的比是常数 c (c a 0)，求点M的轨迹 . a
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
|
MF d
|
c a
即
(x c)2 y2 | x a2 |
是常数 e c (e 1)，则这个点的轨迹是双曲线. a
“三定”：定点是焦点；定直线是准线； 定值是离心率.
l' y
l
d .M
双曲线 x2 y2 1中: a2 b2
.
F’ O
右焦点F2 (c，0)，对应的右准线方程是
x
a2 c
;
左焦点 F1 (c，0)对应的左准线方程是
x a2 . c
.x
e c , (0 e 1) a
x a或x a, y R 关于x, y轴及原点对称
A1(a,0), A2 (a,0)
A1A2叫实轴, B1B2叫虚轴 e c , (e 1) a
双曲线 x2 a2
y2 b2
1, (a
0,b
0)
直线y b x叫做双曲线的渐进线 a
双曲线 x2 a2
c. a
c
yl简 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) .
设
c2 a2 b2 ，则 方程化为
x2 a2
y2 b2
1
(a
0, b
0)
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为 2a、2b的双曲线 .
双曲线的第二定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比
3
1
1
ok
1
3分钟 + 3分钟
3
1
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟
o3k ok
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟＝9分钟
①烙2张饼需要6分钟， 烙3张饼的最佳方案需要9分钟。
②每次烙饼，锅里都有两张饼，速度最快。
两个人合作完成三张正反面的贺卡， 要怎样分工合作好呢？
2、若双曲线
上一点P到左、右
焦点的距离之比为1∶2，则P到右准线的
距离为_______________.
例3、已知双曲线x2 － y2 a2 b2
1(a
0,b
0)的焦点F（1 c,0）F2 (c,0),
P(x0, y0 )是双曲线右支上任意点，求证：| PF1 | a ex0 ，
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率.
例4、已知双曲线 x2 y2 1右支上一点P到右焦点的距离等于8， 64 36
求点P到双曲线左准线的距离。
法1：
l' y
l
P.
法2：
l' y
l
P.
.
F1 O
.
F2
x
.
.
F1 O
F2
例5、求与双曲线
有共同渐近
线，且焦点在x轴上，且两准线间的距离
为 144 的双曲线方程.
5
分析：与 程可设为
有共同渐近线的方
“统筹法”
① 时间只剩１０分钟！！！
②
一次能放两个烧饼
③
每个饼要烙两面
④ 每个饼每面要烙３分钟才熟！！！
1
2
3
1 1
1
2
3
2
1
2
2
3
1
2
3
3分钟
1
1
2
3
3分钟
1
1
2
3分钟
1
1
3
3
3
2
3分钟
3
1
3
3
2
1
3分钟 + 3分钟
3
ok
1
3分钟 + 3分钟
ok
3
ok
ok
1
3分钟 + 3分钟
证明： 双曲线的左准线为 x a2 c
l' y
l
P.
由整双理曲得线:的| P第F1二|定a义 e得x0：x|0PF1ac|2
c a
.
F1 O
.
F2
x
由双曲线的第一定义得：| PF2 || PF1 | 2a a ex0
| PF1 |min c a
说明：|PF1|, |PF2|称为双曲线的焦半径.