习题3－1
1．填空题
（1）函数x y 2
sin =在区间]2
,2[π
π-
上满足罗尔定理的=ξ ． （2）曲线x
e y -=在点=x 处的切线与连接两点)1,0(与)1,1(e
的弦平行．
解 （1）显然函数x y 2
sin =在区间]2
,2[π
π-
上满足罗尔定理的三个条件，所以存在22
ππξ∈（-，），使得()0'=y ξ，即sin 20,0ξξ==．
（2） 由于函数x
e
y -=在区间[01],上连续，(01),内可导，
所以满足拉格朗日定理的条件．故存在01x ∈
（，），使得(1)(0)()10-'=-y y y x ，即1
1e e
ξ--=-，解得11ln(e )ξ=--．
2．证明下列恒等式 （1）arctan arccot 2
x x π
+=
，),(+∞-∞∈x ．
（2）3
11
3arccos arccos(34)()22
π--=-
≤≤x x x x ． 证 （1） 令()arctan arccot =+f x x x ，则(,),()0x f x '∀∈-∞+∞=，所以()≡f x C （常数）．又(0),2
f π
=
故()arctan arccot ,(,)2
f x x x x π
=+=
∈-∞+∞．
（２） 令3
()3arccos arccos(34)=--f x x x x ，则11
(),22
∀∈-
<<x x 22
()0f x '=+
==，
所以()≡f x C （常数）．又1
(0)(),2
=±=f f π 所以
311
()3arccos arccos(34)()22
=--=-≤≤f x x x x x π．
3．证明：方程015
=-+x x 只有一个正实数根．
证 存在性：令5
()1=+-f x x x ．则()f x 在区间[01],上连续，且(0)10,=-<f (1)10=>f ，根据零点定理知，至少存在(01)ξ∈,，使得()0=f ξ，即ξ是方程的一个正实数根；
唯一性：假设方程有两个正根1212(0)()∈+∞<设,,ξξξξ，则()f x 在12[],ξξ上满足罗尔定理
的条件，所以至少存在一点412[],()=5+1=0'∈使,f ηξξηη，这与4
()510'=+>f x x 矛盾．说明
方程015
=-+x x 只有一个正实数根．
4．设函数)(x f 在[0,]π上连续，在(0,)π内可导，证明：在(0,)π内至少存在一点ξ，使得
()sin ()cos 0'+=f f ξξξξ．
证 令()()sin =F x f x x ．则()F x 在[0,]π上连续，在(0,)π内可导，并且(0)()0==F F π，故()F x 在[0,]π上满足罗尔定理的条件．因此，至少存在一点(0,)∈ξπ，使得()0ξ'=F ，亦即
()sin ()cos 0'+=f f ξξξξ．
5．设函数)(x f 在],[b a 上二阶可导，且0)()(==b f a f ，令)()()(x f a x x F -=，证明：在
),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξF ．
证
()()0==F a F b ，则()F x 在区间[,]a b 上满足罗尔定理的条件，(,)∴∃∈a b η使得
()0'=F η．又()()()(),''=+-F x f x x a f x 可见()0'=F a ，故()'F x 在区间[,]a η上也满足罗尔
定理的条件，所以，(,)(,)∴∃∈∈a a b ξη，使得()0''=F η．
6．证明下列不等式
（1） 当1>x 时，x
e e x >； （2） 当0b a >>时，
ln b a b b a
b a a
--<<
． 证（1） 令()=x f x e ，则()f x 在区间[1,]x 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而有
()(1)()(1)(1)'-=-<<f x f f x x ξξ，(1)(1)-=->-x e e e x e x ξ即，>x e ex 从而．
（２）令()ln =f x x ，则()f x 在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而有
ln ln 1-=-b a b a ξ，又由于111
<<b a ξ，所以1ln ln 1-<<-b a b b a a
，亦
ln b a b b a b a a --<<． 7．设0a b <<，函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使得()()()ln
b
f b f a f a
ξξ'-=． 证 令()ln g x x =，则()()f x g x 、在区间[,]a b 上满足柯西中值定理的条件．从而
(,)∃∈a b ξ使
()()()()()()f b f a f g b g a g ξξ'-='-，即 ()()()
1ln ln f b f a f b a
ξξ
'-=
-，即()()()ln b f b f a f a ξξ'-=． 8．设0a b <<．证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使(1)()-=--b a ae be e b a ξξ．
证 令函数1
(),()x e f x g x x x
==，则()()f x g x 、在区间[,]a b 上满足柯西中值定理的条件．从。