高等数学第三章习题
一、 填充下列各题：
1.=--→x
x
x x πtan 3
3
lim
2
23
51
__________________.
2.=+∞
→a
x x
x ln lim
_______________________(a>0).
3.()=-+→)
1ln(1
2
3cos 2lim x
x x ___________________.
4.=--→x
x x x x sin tan lim
__________________________.
5.函数233x x y -=在_________________单减.
6.函数322312)(x x x x f -+=的极小值是_________________.
7.若)(x f 在[a,b]上连续、在(a,b)内可导，则)(x f 在[a,b]上单调减小的充分（非必要）条件是__________________________________.
8. 若)(x f 在[a,b]上连续、在(a,b)内二阶可导且_______________________________，则
)(x f 在[a,b]上的曲线是凹的.
9.设)(x f 在极值点0x x =二阶可导，则在直角坐标系中)(x f y =所表示的曲线在
))(,(00x f x 处的曲率等于____________________________________.
10.设)(x f 在点0x x =处具有不为零的三阶导数且________________________，则点
))(,(00x f x 必定是曲线)(x f y =的拐点.
二、 选择题：
1.设3
2
)2()1(--=x x y ，则（ ）
(A) x=1是该函数的极小值点 (B)x=2是该函数的极大值点 (C)5
7=
x 是该函数的极小值点 (D)x=1是该函数所表示曲线的拐点横坐标
2.设g(x)在),(+∞-∞严格单调减，又)(x f 在0x x =处有极大值，则必有（ ）： (A)g[f(x)]在0x x =处有极大值 (B) g[f(x)]在0x x =处有极小值
(C) g[f(x)]在0x x =处有最小值 (D) g[f(x)]在0x x =既无极值也无最小值
3.设)(x f 在0x x =处附近四阶连续可导且)()()(0///
0//
0/x f
x f x f ===0,)
(0)
4(x f
为正，则有结论（ ）
(A))(x f y =在0x x =有极大值 (B) )(x f y =在0x x =有极小值 (C) )(x f y =在0x x =有拐点 (D) )(x f y =在0x x =无极值也无拐点 4.设函数bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极小值-2，则必（ ） (A)a=-4,b=1 (B)a=4,b=-7 (C)a=0,b=-3 (D)a=b=1 5.使不等式3
arctan 3
x
x x +
>成立的最大范围是（ ）
(A)+∞<<x 0 (B) +∞<<x 0
(C) 01<≤-x (D) +∞<<∞-x
三、试解下列各题：
1. 设32)1()1()(+-=x x x f ，求)(/x f .
2. 求证：a b a b -≤-arctan arctan
3. 求极限)0,0()ln(lim
2>>+++∞
→a b nx
m be a x
x .
4. 证明当20<<x 时， 042ln 42>+--x x x x .
5. 比较π
e 与e π的大小.
6. 若f(x),g(x)在[a,b]可导且0)(/
≠x g ,试证存在),(b a ∈ξ使
)
()()
()()()(//
ξξξξg f b g g f a f =--.
四、设f(x)可导，求证f(x)的两个零点之间一定有)()(/
x f x f +的零点.
五、设对任意x 、y )0(≠xy 有f(xy)=f(x)+f(y)且在x=1点处a f =)1(/
存在，试证当0≠x 时，
x
a
x f =)(/
.。