第七章 无穷级数本章有四个问题：1． 数项级数敛散性；2． 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域； 3． 求和函数；4． 将函数展成麦克老林级数。

7.1数项级数敛散性的判别方法一 基本概念1. 级数收敛：令121nn n kk s u u u u==+++=∑ ，若lim n n s s →∞=，则称级数1nn u∞=∑收敛，若不然，则称1nn u∞=∑发散；2．绝对收敛：若1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑为绝对收敛；3. 条件收敛：若1nn u∞=∑发散，而1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑为条件收敛；二 基本结论1．级数1nn u∞=∑收敛的必要条件lim 0n n u →∞=。

2. 等比级数1nn aq∞=∑的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项。

3. p 级数11pn n∞=∑，当1p >时，收敛；当1p ≤时，发散。

三 基本方法1．正项级数敛散性的判别方法（1）比较判别法：一般形式：若n n u v ≤（n N >），则 若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑ 发散。

极限形式：如果0n v ≠，且 lim nn nu l v →∞=，（I ）当0l <<∞时，则1nn u∞=∑和1nn v∞=∑具有相同的敛散性。

（II ）当0l =时，则1nn v∞=∑收敛，1nn u∞=∑也收敛。

（III ）当l =∞时，则1nn u∞=∑发散，1nn v∞=∑也发散。

（2）比值判别法：（适用于!n 或连乘）11lim11n n nu u ρρρ+→∞<⎧⎪=>⎨⎪=⎩收敛发散不确定 （3）根值判别法：（适用于n 次方根）111n ρρρ<⎧⎪=>⎨⎪=⎩收敛发散不确定 注 ()m P n 是关于n 的m 次多项式，m是有限数，则1n =。

例如1n =。

（4）积分判别法：若()f x 是单调递减连续函数，()n f n u =，则1nn u∞=∑与1()f x dx+∞⎰具有相同的敛散性。

（数三不要求）2 交错级数敛散性的判别方法：莱布尼兹判别法：若交错级数1(1)(0)nnn n uu ∞=->∑满足（1）单调递减，即1n n u u +≤；（2）极限为零，即1lim 0n n u +→∞=， 则级数1(1)nnn u∞=-∑收敛。

3 任意项级数敛散性的判别方法1．考虑级数1nn u∞=∑是否收敛，若收敛，则1nn u∞=∑是绝对收敛。

2．若1nn u∞=∑不收敛，把级数1nn u∞=∑的一般项分解为n nn u u u '''=+，分别讨论级数 1nn u ∞='∑ 和 1nn u ∞=''∑的敛散性。

例1 讨论下列正项级数的敛散性：（1）12!n n n n n∞=∑； （2）12sin 3nn n x ∞=∑；（3）1(1cos )n n π∞=-∑； （4）121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑； （6）21ln n nn ∞=∑； （7）11n ∞=⎫⎪⎪⎭∑；（8）111(2)nnn ee∞-=+-∑； （9）11(1)nn n ∞=-∑。

解（1）利用比值判别法1112(1)!lim lim 2lim (1)2!(1)n n nn n n n n n n nu n n n u n n n +++→∞→∞→∞+=⋅=++21e =<， 所以级数12!n n n n n∞=∑收敛（2）利用比较判别法：不妨设0x >（0x <情况相同），利用等价无穷小替换，可知12sin 3n n n x ∞=∑与123n n n x ∞=∑具有相同的敛散性，而112233nn nn n x x ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑收敛，所以12sin 3nn n x ∞=∑收敛。

（3）利用比较判别法：利用等价无穷小替换，1(1cos )n n π∞=-∑与211n n∞=∑具有相同的敛散性，而211n n ∞=∑收敛，所以1(1cos )n n π∞=-∑收敛。

（4）根据根值判别法：因为1lim 12n =<，所以121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛。

（5）根据比较判别法：考虑级数3/211n n ∞=∑，由于23/2ln 1lim /0n n n n →∞=，而3/211n n∞=∑收敛，所以21ln n nn ∞=∑收敛。

（6）根据积分判别法：利用等价无穷小替换，11n ∞=⎫⎪⎪⎭∑和11n n∞=∑具有相同的敛散性，而11n n ∞=∑发散，所以11n ∞=⎫⎪⎪⎭∑发散。

（7）由于2002lim lim 12x x x x x x e e e e x x--→→+--==； 所以111(2)nnn ee∞-=+-∑与211n n ∞=∑具有相同的敛散性，显然111(2)n n n e e ∞-=+-∑收敛。

（8）由于1ln 11n nnn e-=-，以及1xe x -≈，于是级数11(1)nn n ∞=-∑和1ln n nn∞=∑具有相同的敛散性，而1ln n nn ∞=∑发散，所以11(1)nn n ∞=-∑发散。

通过对上述级数收敛性的讨论，把正项级数敛散性方法归纳如下：1．一般的，如果一般项含有!n ，运用比值判别法；如果不含有!n ，而含有n 次方， 运用根值判别法；既不含有!n ，又不含有n 次方，运用比较判别法或积分判别法．2．在运用比较判别法时，常作等价转化，这主要是由于我们熟悉等价无穷小的替换公式．事实上，只要作同阶转化就可以了．例2 讨论下列交错级数的敛散性：（1）1(1)ln(1)1nn n n∞=-++∑； （2）1sin(n ∞=∑。

解（1）级数1(1)ln(1)1nn n n∞=-++∑是交错级数，显然ln(1)lim01n n n →∞+=+。

接下来，我们证明ln(1)1n n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是单调递减的。

令ln ()x f x x =，让3x >（级数的有限项不影响其收敛性），则21ln ()0xf x x-'=<，所以()f x 是递减的，根据莱布尼兹判别法，级数1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑收敛。

又由于1ln(1)1n n n ∞=++∑发散，所以1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑条件收敛。

（2）由于111sin(sin()(1)sin()n n n n n n n πππ∞∞∞====+=-∑∑∑21(1)nn ∞==-∑因为正项级数21n ∞=∑与11n n∞=∑具有相同的敛散性，由于11n n ∞=∑发散，所以1sin(n ∞=∑发散。

又由于级数21(1)nn ∞=-∑2单调递减，极限为0，所以21(1)nn ∞=-∑1sin(n ∞=∑条件收敛。

例3 讨论下列任意项级数的敛散性：（1）21n n ∞= （2）n n ∞=。

解（1）由于1n n ∞=和211n n ∞=∑收敛，于是1n ∞= （2）由于1(1)(1`)](1)1111n n n n n n n ∞=---==----∑对于级数1(1)1n n ∞=--∑，根据莱布尼兹判别法，⎪⎪⎩⎭单调递减，极限是0，所以收敛。

对于级数111n n ∞=-∑，显然发散。

故nn ∞=发散。

习题7-11．用比较法判别下列级数的敛散性：（1）211n n n ∞=+∑； （2）12arcsin 3nn n π∞=∑；（3）1(1n ∞=-∑； （4）2112(1)2n n n ∞+=+-∑； （5）231(ln )n n n ∞=∑； （6）n ∞=； （7）n ∞= （8）11)(1)n a ∞=>∑；（9）111(2)n nn a a ∞-=+-∑； (10) 2221ln 1n n n ∞=+-∑；(11) 3ln cos n n π∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑； (12) ln 21(ln )nn n ∞=∑； （13）1n ∞=；(14) 1n ∞=2．用比值法和根值法判别下列级数的敛散性（1）121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑； （2）11(0)1nn a a ∞=>+∑； （3）13!n n n n n ∞=∑； （4）21212nn n n ∞=++∑； （5）1!(0)n n n n x x n ∞=>∑； （6）3112n n n n +∞=+⎛⎫⎪+⎝⎭∑；（7）1!(21)!!n n n ∞=-∑； （8）1sin nn n n n π∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑；（9）12(1)4n n n n ∞=+-∑； （10）21112n n n n +∞=+⎛⎫⎪+⎝⎭∑3．讨论下列变号级数绝对收敛，条件收敛或发散：（1）1sin 2nn nx ∞=∑； （2）1(1)1nn n n ∞=-+∑； （3）1(1)(0)n pn p n ∞=->∑； （4）1(1)sin nn n π∞=-∑； （5）1n n ∞= （6）1(1)n n ∞=-∑；（7）121(1)31nn n n n ∞=-⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑ ； （8）11(1)n n ∞-=-∑（9）1sin(n ∞=∑； （10）21sin()ln n n n π∞=+∑．7.2函数项级数的收敛半径、收敛区间和收敛域求函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛半径、收敛区间和收敛域：（1）幂级数1nn n a x∞=∑每项系数都不是零若级数1n n n a x ∞=∑系数0n a ≠，且1limn n na a ρ+→∞=或n ρ=，则（1）收敛半径是1R ρ=；（2）收敛区间为(,)R R -；（3）收敛域：收敛端点加到收敛区间上就是收敛域。

（2）幂级数1nn n a x ∞=∑某些项系数等于零 1．用比值法1()lim()()n n na x x a x ρ+→∞=，或根值法()n x ρ=；2．解不等式()1x ρ<，其解为a x b <<，于是收敛区间为(,)a b ；3．讨论区间端点x a =和x b =对应的两个级数1()nn a a ∞=∑和1()nn a b ∞=∑是否收敛，再将收敛点加到收敛区间上，得到收敛域。

例1 求下列幂级数的收敛半径和收敛域（系数都不为0）：（1）12n nn x n∞=∑； （2）11!n n x n ∞=∑ ；（3）1n nn n x ∞=∑ ； （4）211(1)n n x n∞=-∑．解（1）由于11221lim lim lim 221n n n n n n na n n a n nρ++→∞→∞→∞+====+， 所以幂级数12n n n x n∞=∑的收敛半径为12R =，收敛区间为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．下面讨论幂级数在收敛区间的端点是否收敛． 当12x =-时，相应的数项级数为 11211(1)2nn n n n n n ∞∞==⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑∑． 此级数是交错级数，1n u n=单调递减，极限是0，于是此级数收敛； 当12x =时，相应的数项级数为 112112nn n n n n∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．此级数是调和级数，当然发散．所以级数12n nn x n∞=∑的收敛域是11[,)22-．（2）由于1!1limlim lim 0(1)!1n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞====++， 所以幂级数01!nn x n ∞=∑的收敛半径为R =+∞，当然它的收敛域是R ． （3）由于11(1)1lim lim lim(1)1nn n n n n n na n n a n n ρ++→∞→∞→∞+⎛⎫===++=+∞ ⎪⎝⎭， 所以幂级数n nn n x∞=∑的收敛半径为0R =．于是它的收敛域是{0}(级数仅在0x =处收敛，其它点都发散)．（4）令1t x =-，则220011(1)nn n n x t n n∞∞==-=∑∑．由于22122lim lim lim 1(1)(1)n n n n na n n a n n ρ+→∞→∞→∞====++，所以幂级数211n n t n ∞=∑的收敛半径为1R =．当1t =±时，级数2221111(1)1n n n n n t n n n∞∞∞===±==∑∑∑都收敛，因此幂级数211nn t n∞=∑的收敛域是[1,1]-．于是有111x -≤-≤，即02x ≤≤，所以幂级数211(1)nn x n∞=-∑的收敛域是[0,2]．上述方法仅仅适合幂级数的各项系数不是0的情形，对于部分项系数是0的幂级数，就不能应用此法计算幂级数的收敛半径．如例2 求下列幂级数收敛半径和收敛域（部分系数为0）：（1） 212nn n n x ∞=∑； （2）2121(1)2n n n x n -∞=--∑．解（1）设2()2nn n n a x x =，则有2212121()12()lim lim ()22n n n n n n n nn x a x x x n a x xρ+++→∞→∞+===．令2112x <，解不等式得到：x <，所以级数的收敛半径R，收敛区间为(．当x =1n n ∞=∑，显然发散，于是级数212n n n nx ∞=∑收敛域是(．（2）设212(1)()2n n n x a x n--=-，则有212221212(1)()121(1)lim lim(1)(1)()42n n n n n n nn x a x n x x x a x nρ+++-→∞→∞----===---． 令21(1)14x -<，解不等式得：12x -<，所以收敛半径2R =，收敛区间为(1,3)-．当12x -=±时，相应的数项级数2121(2)2n n n n -∞=±-∑发散．于是级数2121(1)2n n n x n -∞=--∑的收敛域是(1,3)-．习题 7-2求下列幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域：（1）1nn nx ∞=∑； （2）21(1)nnn x n ∞=-∑；（3）1(2)!!n n x n ∞=∑； （4）211(1)21n n n x n -∞=--∑；（5）nn ∞= （6）1(1)32n n n n n x ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑；（7）1ln(1)1n n n x n ∞=++∑； （8）113(2)nn nn x n ∞=⋅+-∑； 7.3 求和函数一 求和函数1．等比级数nn aq∞=∑和初等函数：,sin ,cos ,ln(1),(1)x e x x x x α++展成的幂级数统称为已知级数．2．求和函数有两个途径：（1）将所求级数变化为已知级数； （2）用已知级数变化为所求级数．这里的变化通常包括：加、减(增减项)，乘、除(常数或变量x )，积分，求导．例1 求幂级数(1)nn n x∞=+∑的和函数解 (用已知级数变化为所求级数) 幂级数的收敛域为(1,1)-．由于101n n xx x∞+==-∑，(1,1)x ∈-， 两边求导21(1)(1)n n n x x ∞=+=-∑，(1,1)x ∈-． 例2 求级数1112n n n x n ∞-=∑的和函数．解 级数的收敛域是[2,2)-．方法1 (把所求级数变化公式：1101ln(1)(1)(1)1n n nn n n x x x n n +∞∞-==+=-=-+∑∑) 设111()2n n n S x x n ∞-==∑．当[2,2)x ∈-且0x ≠时，有111()2n n n S x x n ∞-==∑111(1)1ln 122nn n x x x n x -∞=-⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑． 当0x =时，1(0)2S =，所以级数的和函数为1ln 1,[2,0)(0,2)2 ()1,02x x S x x ⎧⎛⎫---⋃ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪=⎪⎩． 方法2(把所求级数变化为等比级数) 设111()2n nn S x x n ∞-==∑，当[2,2)x ∈-，0x ≠且2x ≠-时，有 11()2n n n xS x x n ∞==∑，两边求导11111112[()]22212n n n n n n xS x x x x n x ∞∞-=='⎛⎫'====⎪-⎝⎭-∑∑． (此处要求公比2x的绝对值小于1，所以2x ≠-)两边积分 0001()[()]d d ln(2)ln 122x x xx xS x xS x x x x x ⎛⎫'===--=-- ⎪-⎝⎭⎰⎰．两边同除x (此处要求0x ≠)，有1()ln 12x S x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．当0x =时，1(0)2S =；当2x =-时，()S x 有定义．故幂级数的和函数为1ln 1,[2,0)(0,2),2 ()1,0.2x x x S x x ⎧⎛⎫--∈-⋃ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪=⎪⎩求幂级数的和函数需要说明的是：1．在求和函数时，首先求收敛域，然后在收敛域上，求和函数．在这个过程中，若对变量x 有限制(如例2的0x ≠)，就在收敛域后添加对x 的这个限制，最后求出限制点的和函数值．2．由于和函数在收敛域内是连续的，所以对和函数的收敛域内有定义的点的函数值如例2的2x =-，不必单独计算，我们只需单独求出没有定义的点的函数值，如例1的0x =．3．求和函数在特定点的函数值有两个办法：其一是将该点代回到原级数，求相应的数项级数的和；其二是利用和函数在收敛域的连续性，求该点的极限，即00()lim ()x x S x S x →=．例3 求函数项级数20(2)!nn x n ∞=∑的和函数（数三不要求）解 级数的收敛域是R ．令级数的和函数20()(2)!nn x S x n ∞==∑， 则有()()e x S x S x '+=． 此一阶线性方程的通解为1()e e 2xx S x C -=+，由于(0)1S =，于是得到12C =，所以幂级数的和函数为1()(e e )ch 2x xS x x -=+= 显然，例5的求和函数方法与例1~例4的方法是不同的，例1~例4采用了所求级数与已知级数相互转化方法；而例5是寻求和函数满足某个微分方程，解方程的方法．这是求和函数的两个常用方法．习题7-3求下列级数的和函数：（1）1n n x n∞=∑； （2）1nn nx ∞=∑ ；（3）211n n x n -∞=∑； （4）11(1)n n x n n +∞=+∑；（5）211n n n x ∞-=∑； （6）21121(1)(2)1n n n x n +∞-=--∑； （7）211n n n x n ∞=+∑． （8） 211nn n n x n ∞=++∑．7.4 函数展成幂级数1 函数展成幂级数的方法 （1）定义法：泰勒级数：()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑，也称()f x 在点0x 展成的幂级数；或称()f x 展成的关于0()x x -的幂级数；麦克劳林级数：()0(0)()!n nn f f x x n ∞==∑，也称()f x 在点0展成的幂级数，或称()f x 展成的关于x 的幂级数；2 公式法： 常见公式（1） 011n n x x ∞==-∑，(1,1)-；（2） 01(1)1n n n x x ∞==-+∑，(1,1)-；（3） 0e !nxn x n ∞==∑，(,)-∞+∞；（4） 210sin (1)(21)!n nn x x n +∞==-+∑，(,)-∞+∞；（5） 20c o s (1)(2)!nn n x x n ∞==-∑，(,)-∞+∞； （6） 1l n (1)(1)1n nn x x n +∞=+=-+∑，(1,1]-；（7） 0(1)(1)(1)!n n n x x n αααα∞=--++=∑ ，(1,1)-；一般的，只有少数比较简单的函数，其幂级数的展开式能从基本步骤出发，根据定理1求得．在更多的情况下，将一个函数展成麦克劳林级数或泰勒级数，都使用上面九个公式，如果不能直接使用，可以通过变形：加、减、乘、除、求导和求积分，把函数变成符合上面公式的函数．这样一方面不必求函数的任意阶导数，另一方面不必验证余项在收敛域上的极限是0．因此熟悉、牢记和灵活运用上述公式显得尤其重要．2 函数展开麦克劳林级数例1 将下列函数展开成关于x 的幂级数．（1）211x +； （2）12x-； （3）2132x x ++； （4）2cos x ；（5）arctan x x ，并求(2010)(0)f ； （6）21(1)x -； 解（1）利用公式(2)，有221(1)1n n n x x ∞==-+∑． 由于2(1,1)x ∈-，于是级数的收敛域是(1,1)-．（2）将函数变形，有111()2212f x xx ==⋅--． 利用公式(1)，得到10011()222nn n n n x f x x ∞∞+==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑．由于(1,1)2x∈-，所以级数的收敛域是(2,2)-． （3）将函数21()32f x x x =++展开成麦克劳林级数．解 将函数()f x 变形，有21111()32(1)(2)12f x x x x x x x ===-++++++． 由于1(1)1n n n x x ∞==-+∑，11x -<<； 10111(1)22212n nn n x x x ∞+=-=⋅=++∑，22x -<<，合并，得21001(1)()(1)322n n nn n n n f x x x x x ∞∞+==-==--++∑∑101(1)12n n n n x ∞+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑，11x -<<．（4）将函数()f x 变形，得到2111()cos (1cos 2)cos 2222f x x x x ==+=+．根据公式(5)，得到201111(2)()cos 2(1)2222(2)!nn n x f x x n ∞==+=+-∑ 212012(1)2(2)!n n n n x n -∞==+-∑ ，(,)x ∈-∞+∞． 需要指出的是：函数的幂级数展开式一定要写出收敛域．在确定其收敛域时，可以采用两个途径：1．求函数展成的幂级数的收敛域；2．根据公式的收敛域，确定函数展成的幂级数的收敛域． （5）由于()221arctan (1)1n nn x x x ∞='==-+∑，(1,1)x ∈- 于是逐项积分，有2210(1)arctan (arctan )d (1)d 21n xxnnn n n x x x x x x n ∞∞+==-'==-=+∑∑⎰⎰，[1,1]x ∈-，所以220(1)()arctan 21n n n f x x x xn ∞+=-==+∑， [1,1]x ∈-． （5） 下面求(2010)(0)f ．由于函数展成的麦克劳林级数为（数三不要求）()0(0)()!n nn f f x x n ∞==∑， （6） 所以级数(5)和(6)是同一个级数，于是级数中对应项的系数相等．在级数(6)中，2010x的系数是(2010)(0)2010!f ，在级数(5)中，2010x 的系数是1004(1)2009-，从而有(2010)1004(0)(1)2010!2009f -=． 于是有(2010)(0)20102008!f =⋅．注 利用函数的幂级数展开计算函数在一点的高阶导数是求函数在一点的高阶导数的有效方法．（6）通过积分，将函数变形2011()d d 1(1)1xxf x x x x x==-+--⎰⎰．于是，根据公式(1)有1()d 111xn n f x x x x ∞==-+=-+-∑⎰．对上面等式两边求导，有11()n n f x nx∞-==∑，(1,1)x ∈-．习题7-4将下列函数展成麦克劳林级数：（1）2e x； （2）2xx +； （3）2sin x ； （4）ln ；（5）0sin d x t t t⎰； （6）d e 1d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ； （7）01cos d xt t t -⎰； （8）212x x -- ； 第七章习题答案7-1答案1．（1）收敛；（2）收敛；（3）发散；（4）收敛；（5）收敛；（6）发散；（7）收敛； （811ln a n）； （9）收敛（提示：实质是求2xxa a-+-关于x 高阶无穷小的阶数，可以证明22(ln )x x a a x a -+- ）； （10）收敛（提示：2222122ln ln 1111n n n n +⎛⎫=+ ⎪---⎝⎭ ）； （11）收敛（提示：ln cos ln 1(cos 1)1cos n n n πππ⎛⎫-=-+-- ⎪⎝⎭）；（12）收敛（提示：22e ln e (e )n n >>）．（1332ln ln nnnn= ）． 2．（1）收敛；（2）当01a <≤时，发散；当1a >时，收敛；（3）发散；（4）收敛；（5）当0e x <<时，收敛；当e x >时，发散；当e x =时，由于11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增，于是11e nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以1e 111n n n u u n +=>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而有lim 0n n u →∞≠，故此时级数发散； （6）发散（提示：一般项极限不是零）；（7）收敛；（8）发散；（9）收敛；（10）收敛．3．（1）绝对收敛；（2）发散；（3）01p <≤条件收敛，1p >绝对收敛；（4）条件收敛；（5）发散；（6）发散（提示：一般项的极限不是零）；（7）绝对收敛；（8）条件收敛； （9）条件收敛（提示：sin[)]n n ππ+(1)sin )(1)n n n π=-=-）；（10）条件收敛（提示：11sin (1)sin ln ln nn n nπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭）． 7-2答案（1）收敛半径1R =，收敛域(1,1)-； （2）收敛半径1R =，收敛域[1,1]-； （3）收敛半径R =∞，收敛域(,)-∞∞； （4）收敛半径1R =，收敛域[1,1]-； （5）收敛半径1R =，收敛域[0,2)； （7）收敛半径13R =，收敛域11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭； （8）收敛半径1R =，收敛域[1,1)-； （9）收敛半径3R =，收敛域[3,3)-；7-3答案1．（1）ln(1)x --，[1,1)x ∈-；（2）2(1)xx -，(1,1)x ∈-； （3） 21ln(1),(1,0)(0,1)0,0x x x x ⎧--∈-⋃⎪⎨⎪=⎩；（4） (1)ln(1),[1,0)(0,1)0,0x x x x x +--∈-⋃⎧⎨=⎩；（5） 31,(1,1)(1)xx x +∈--； （6） 21arctan arctan ,[1,1]22x x x x x +-∈-； （7） 2ln(1),(1,1)(1)xx x x --∈--；（8） 222ln(1)(1)x x x x ---+-；(1,1)x ∈-． 7-4答案（1）02!n nn x n ∞=∑；(,)x ∈-∞+∞；（2）101(1)112212n nnn x x x x +∞=-=-=+++∑；(2,2)x ∈-； （3）1220111(1)sin cos 22222(2)!n n n x x x n +∞=-=-=+∑，(,)x ∈-∞+∞；（4）[]101(1)1ln(1)ln(1)22(1)n n n x x x n ∞+=--=+--=+∑，(1,1)x ∈-；（5）21200sin 111(1)(1)(21)!(21)!n n n n n n t t t t t n n ∞∞+===-=-++∑∑，再定积分2100sin 1d (1)(21)(21)!x n n n t t x t n n ∞+==-++∑⎰，(,)x ∈-∞+∞；（6） 121121d e 1d 11d d !!(1)!x n n n n n n n nx x x x x x n n n ∞∞∞---===⎛⎫--=== ⎪+⎝⎭∑∑∑，(,)x ∈-∞+∞． （7） 12111cos (1)(2)!n n n t t t n -∞-=--=∑，12011cos (1)d 2(2)!n x nn t t x t n n -∞=--=∑⎰，(,)x ∈-∞+∞．（8） 2100111111(1)232132n n n n n n x x x x x x ∞∞+==⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭∑∑ 11011(1)32n n n n x ∞++=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑，(1,1)x ∈-．。