11
(1 ) ( ) L ( )
2 23
n n1
1
lim
n
Sn
lim(1
n
n
) 1
1
1 1 n1
故级数收敛,其和为1. (例2解法称为连锁相销法）
例3 讨论几何级数(等比级数)
aqn1 a aq aq2 L aqn1 L
n1
的敛散性.若收敛,则求出其和.u(n 参 aq见n1书P272例1）
其中的一种各项正负相间的特殊情形 ——交错级数,
它是一种常见而有实用价值的特殊级数.
(二) 交错级数的莱布尼兹判别法
设un>0，(n=1,2,…)，则称
(1)n1 un u1 u2 u3 u4 L
n1
为交错级数。例如
(1)n1 1
n1
n
等等。
（7.7)
对于交错级数，判定其敛散性，有如下使用方便的莱
a n n
a0 1
.
由上面的性质5，级数
un
发散。
n1
例2 若级数 un 收敛，则下列级数不收敛的是（ B ） 1
A. 2un 1
B. (un 2) 1
C. 2 un
1
D. un nk
分析与解：注意到已知
un
收敛，由性质2知
1
2un
是收敛的；
1
由性质3 知，C、D 所示级数也是收敛的；
n1
aun收敛到aS ;若级数 un 发散，则 aun
n1
n1
n1
也发散。
性质3. 将级数 un 的前面加上(或去掉)有限项， n1
级数的敛散性不变。（当然，收敛时，和一般要变）
性质4. 收敛级数加括号后得到的级数仍收敛，且和不 变。
此性质说明：加法的结合律对收敛的无穷级数仍成 立。
注意：发散级数加括号后有可能成收敛级数，因此，加 括号后级数收敛，原级数未必收敛。
( 1 )n n1 4
1 4
的几何级数 ，收敛。
1
且
un
n1
1 4n
n1
1
4
1
1 3
;
4
而
是公比为 vn
n1
6( 1 )n n1 5
1 5
的几何级数 ，也收敛。
6
且
vn
n1
6 5n
n1
5 1 1
6 4
.
5
由收敛级数的基本性质1，原级数收敛，且：
(un vn )
111 ( Fra bibliotekn或等价无穷小量,
同敛散.
2、用p 级数作比较标准判别正项级数
的敛散性，
就看当
时， 是否为比 更高阶的无穷小，
简单地说，若视 为一阶无穷小，当 为高于一
阶的无穷小时，正项级数
收敛， 否则级数
都是发散的。 （见教材P281-282例）
(三).比值判别法
前面的比较判别法需有一个已知其敛散性的级数作 比较的标准，进一步的研究可得，由正项级数通项自 身的特征，也能得到级数敛散的判别法。
第七章 无穷级数
§7.1 无穷级数的概念
定义1. 将一个数列 u1 , u2 ,L , un ,L 的各项依次相加
的式子：
u1 u2 L un L
(7.1)
称为无穷级数(简称级数)，并将其简记为 un . n1
其中相加的各加数称为级数的项，特别地，第n项 un 称为级数的一般项或通项。
将级数(7.1)前n项的和记为：
定理7.6 正项级数 un 收敛的充要条件为： n1
部分和数列Sn有上界。即存在M >0，使Sn≤M 对一切n 成立。
下面我们来讨论对判断正项级数的敛散性行之有效且 应用简便的三种方法。
(二).比较判别法
定理7.7(比较判别法) 设两个正项级数U： un n1
V: vn 满足条件： un cvn 对一切 n N 成立。 n1
收敛，得知：
级数
1
1 un 1 n(2n 1)
收敛。
⑶
n2 1
3 ln n2 1
记
un
ln
n2 n2
1 1
，
则
2
un
ln(1
n2
) 1
:
2 n2 1 Avn
，即
lim vn 1 u n
n
易知
vn
收敛，
1
∴ un 也收敛。 1
由上面的讨论我们看出
1、若正项级数
的通项 通项
为同阶
.
v n n
则有:
(1) 当 0 l 时, U 级数与V 级数同敛散。
(2) 当 l 0 时, V 级数收敛，则 U 级数也收敛。
(3) 当 l 时, V 级数发散，则 U 级数也发散。
利用上述的比较原理判别正项级数收敛的关键是要选 择一个已知其敛散性的级数作比较标准，常用作比较 标准的级数，一是前面已介绍的几何级数，二是如下 的p级数：
（证明参见教材P286）
我们常称满足莱布尼兹定理条件的交错级数为莱 布尼兹级数，例如：
(1)n1 1 1 1 1 1 L L
n1
n
234
,
(1)n
1
1 1 1 L L
,
n1
n1
234
(1)n1
n1
1 n2
1
1 4
1 1 9 16
L
L
,
等等。
均为莱布尼兹级数。（即：它们都是收敛的。）
当∣q ∣<1时，收敛.且有
aqn1
a
n1
1q
首项 ( 1－公比 )
当∣ q ∣≥1时, 发散.
（请务必熟记上面的结论！）
§7.2 无穷级数的基本性质
性质1.
若级数 un
与
vn
都收敛，它们的和分别
n1
n1
S及W，则 (un vn ) 也收敛。且其和为 S W 。
n1
性质2. 若级数 un收敛到S，常数 a 0 ,则级数
1)L 7
L
( 1 2n 1
1 2n
1)
1 2
1
1 3
1 3
1 5
1 5
1 7
L
L
1 2n 1
1 2n 1
1 2
1
1 2n
1
1 2
(n 时) .
1
即 ⑴ 所示级数收敛到 2 .
现在来解 ⑵
1 6
1 (4n 5n )
.
记
1
6
un 4n , vn 5n
，
而
是公比为
un
n1
由于任意项级数各项的符号不一定同号,因而正项 级数敛散性的判别法对它来说是不适用的.但当我们 考察它每一项取绝对值后所成的级数时，我们就可用 正项级数的判别法来讨论它了。
(三)绝对收敛与条件收敛
对任意项级数
un
(un为任意实数)
n1
若
| un |
收敛，则
un
必收敛，此时称级数
n1
n1
un
为绝对收敛。（参见教材P287定理7.11)
(其中a≠0,为常数， q 称为级数的公比, un aqn1 为它的一般项)
解 当 q ≠1时, 部分和
Sn a aq aq2 L aqn1
a(1 qn )
1q
(1)当∣q ∣< 1时,
a(1 qn ) a
lim
n
Sn
lim
n
1q
1q
(2)当∣ q ∣>1时,
a(1 qn )
lim
例见教材P285
例3 判定级数 解：令
(
n 的)2n敛1 散性.
n1 3n 1
利用根值判别法，
（由 uv ev lnu ）
故原级数收敛.
§7.4 任意项级数，绝对收敛
(一)定义：若级数 un 的各项具有任意正负号或为0， n1
则称
un
为任意项级数。例如
n1
等等。
下面讨论任意项级数的敛散性的判别法.首先讨论
lim
n
Sn
lim na
n
,
故级数发散.
例2
判定级数
1 1 1 L 1 L
n1 n(n 1) 1 2 2 3
n (n 1)
的敛散性.若收敛, 则求出其和.
解因
1
11
un
n (n
1)
n
n
(n 1
1, 2,L
)
且
11
1
Sn 1 2 2 3 L n (n 1)
所以
1 11
(其中，c>0，常数，N为某个正整数),则有：
(1) V级数收敛，则U级数也收敛；（大敛小敛）
(2) U级数发散，则V级数也发散。 （小散大散）
在实际中，使用上面所述的比较判别法也常用如下的 极限形式（参见教材P282推论）
对于正项级数 U : un 及 V : vn ,
1
1
若存在极限 lim un l
6 5n )
1 3 11 32 6
.
§7.3 正项级数
若级数
un 中每项 1
un≥0,
(n=1,2,
…)，
则
un
为正项级数。
1
（一） 正项级数收敛的基本定理
由于正项级数的每一项都非负，显然其部分和 Sn
随n 的增大而增大，即：
0 S1 S2 L L Sn L L
根据数列极限存在的准则Ⅱ（见教材P72定理2.12），得
n
Sn