第三章 稳恒电流场的边值问题3-1 在电导率为σ的均匀半空间表面布以相距2L 的电极A 和B ，并分别以I +和I -向媒质中供电。

试根据电场的叠加原理，求出A 和B 两个点电流源在表面上M 点形成的电位。

解：易知点电流源A 在介质中任意一点产生的电位为2A I RΦπσ=，同理可得点电流源B 在介质中任意一点产生的电位为2B IRΦπσ=-，则叠加后介质中任意一点的总电位为22A BI IR R Φπσπσ=-对于表面上一点M （设其坐标为(0)x ,）而言，||A R x L =+，||B R x L =-，则有22||||2||2||2||I I I x L x L x L x L x L Φπσπσπσ--+=-=+--3-2 当地表水平、地下为均匀各向同性岩石时，在地层表面布以相距2L 的电极A 和B ，并分别以电流强度I +和I -向地下供电，在地下建立稳定电流场。

试解答如下问题：（1）求A 和B 连线中垂线上h 处电流密度h j 的表达式；（2）计算并绘图说明深度为h 处的电流密度h j 随AB 的变化规律；（3）确定使h j 为最大时，供电电极距AB 与h 的关系式。

解：（1）易知点电流源A 在介质中任意一点产生的电位为2A IRΦπσ=，则31()()()=22A I I E R RσσΦσπσπ==⋅-∇=⋅-⋅∇Rj 同理可得点电流源B 在介质中任意一点产生的电流密度为32B I Rπ=-Rj ，叠加后得介质中任意一点的电流密度为3322A BA BI I R R ππ=-R R j 在A 、B 连线的中垂线上，A B R =R ，A B =2L ρ-R R e ，则有3322222()I I L L R L h ρρππ=⋅=⋅+j e e （2）（3）设3222()()f L L L h -=⋅+，对其求导可得35'2222222()()3()f L L h L L h --=+-+令其等于0，得22230L h L +-=，解得L = 故h j 为最大时电极距AB 与h 的关系为22AB L ===3-3 在习题3-2中，电极距AB 时，均匀各向同性半空间中h 深度处的电流密度最大。

如果在h 深度以下存在高阻或低阻岩层，在这种层状介质空间中，为保持h 深度电流密度不变，AB 将如何变化？为什么？3-4 如习题3-4图所示，在三层均匀地层表面布以相距为2L 的电极A 和B ，并分别以I + 和I -向地层媒质中供电。

试求出在地表M 点和N 点之间形成的电位差MN Φ，并讨论（1）MN Φ与1Z 和2Z 的关系；（2）MN Φ与1σ和2σ的关系。

Z Z Z 习题3-4图解：由题意知131u Au s =-，其中12A PP = 对矩阵1P 有12112212P P σσσ+==，12121212zP e λσσσ-=，12122112z P e λσσσ--= 对矩阵2P 有23112222P P σσσ+==，22231222z P e λσσσ-=，22232122zP e λσσσ--= 则由12A PP =计算后可得122()23231112()()()()=4z z e A λσσσσσσσσσσ-+++--1212 212223231212()()()()=4z z e e A λλσσσσσσσσσσ+-+-+1212 122223232112()()()()=4z z e e A λλσσσσσσσσσσ---+++-1212 212()23232212()()()()=4z z e A λσσσσσσσσσσ---+++1212设12112k σσσσ-=+，23223k σσσσ-=+，则有 1212122212112()2212121z z z z z z k e k e B A k k e k e k eλλλλλ-----+==+-- 则点电源在地表任意一点的电位为01010110(,0)[()2()][12()]22I I J d A J d A J d Φρλρλλρλρλρλπσπσρ∞∞∞=+=+⎰⎰⎰所以M 点的电位为10101010[12()[()]]2()[12()[()]]2()m A BM M M M M M IL L A J L L d L L I L L A J L L d L L ΦΦΦλλπσλλπσ∞∞=+=+++-++---⎰⎰同理可得N 点电位为10101010[12()[()]]2()[12()[()]]2()N N N N N N N I L L A J L L d L L IL L A J L L d L L Φλλπσλλπσ∞∞=+++-++---⎰⎰所以M 点和N 点之间形成的电位差MN M N ΦΦΦ=- （1） （2）3-5 （1）设在均匀各向同性无限大导电岩石中有一半径为a 的球形矿体，围岩电导率为1σ（电阻率为1ρ），球体电导率为2σ（电阻率为2ρ），导电岩石中流着均匀电流场，其电流密度为0J ，如习题3-5(a)图所示。

求稳恒时的电位分布与电流分布。

（2）由于地面电法勘探的供电和测量均在地面进行,如习题3-5(b)图所示，球心距地面距离为0h 。

求地下空间电流分布及地面电位分布。

(a)全空间均匀电流场中的导电球体 (b)半空间均匀电流场中的导电球体习题3-5图解：（a ）有球体存在时，球内球外电位有两部分电位（正常电位和异常电位）叠加而成。

这里将叠加后得电位称为一次场电位，而将异常部分称为一次场异常电位，并表示为(2)(2)101a U U U =+(1)(1)101a U U U =+其中0U 为均匀电流场的电位，(2)1a U 为球内一次场的异常电位，(1)1a U 为球外一次场的异常电位。

取球心电位为零，可以写出均匀电流场的正常电位解为001cos U j r ρθ=-。

易知球内外的电位具有轴对称性即与ϕ无关，于是满足以下形式的拉普拉斯方程21()(sin )0sin u Ur r r θθθθ∂∂∂∂+=∂∂∂∂ 采用分离变量法求解，并结合球内球外电位有限的条件可得得其通解形式为(2)10(,)(cos )n an n n Ur A r P θθ∞==∑(1)(1)10(,)(cos )n an n n U r B r P θθ∞-+==∑于是球内与球外一次电位的一般解为(2)1010cos (cos )n n n n U j r A r P ρθθ∞==-+∑(1)(1)1010cos (cos )n n n n Uj r B r P ρθθ∞-+==-+∑根据球体与围岩的分界面上电位连续的边界条件可得(1)010001000cos (cos )cos (cos )nn n n n n n n j r A r P j r B r P ρθθρθθ∞∞-+==-+=-+∑∑根据球体与围岩的分界面上电流密度法线分量的连续性边界条件可得00(1)(2)111211||r r r r U U r r ρρ==∂∂-=-∂∂ 即(2)(1)10010011221111cos (1)(cos )cos (cos )n n n n n n n n j n B rP j nA rP ρθθρθθρρρρ∞∞-+-==--+=-+∑∑联立以上二式解得21101212A j ρρρρρ-=-+3211010212B j r ρρρρρ-=-+0(1)n n A B n ==≠所以球内与球外的一次电位表达式为：(2)2110121[1]cos 2U j r ρρρθρρ-=-++(1)302110121[1()]cos 2r U j r rρρρθρρ-=-++由公式()A E σσΦ==⋅-∇j 即可求得空间的电流分布。

(b)地面的影响可以用一个镜像球体代替，如球心深度相对球体半径较大，即球体埋藏较深时可以忽略球体与地面以上镜像的相互作用。

这时采用将球外(1)1U 表达式的异常部分加倍的方法可以求得地下一次电位的一级近似解答。

302110121[12()]cos 2r U j r rρρρθρρ-=-++ （1）由公式()A E σσΦ==⋅-∇j 即可求得地下空间的电流分布。

若以球心在地面投影点o 为原点，z 轴垂直向下。

地面观察点坐标为(0)M x y ，， ，球心坐标为0(0 0 )h ，，，于是r =cos θ=代入式（1）中即可得到地面的电位分布。

3-6 球面偶电层产生的电流场。

如习题3-6图所示，有一半径为a ，电导率为2σ的均匀球形矿体，位于电导率为1σ的无限均匀媒质中。

设矿体处于氧化与还原的环境之中，因而在球面上产生一偶电层，其电位跃变为0cos ΦΦθ∆=∆其中0Φ∆为球面电位的最大跃变值，θ为极轴Oz 和球心至观测点P 的矢径之间的夹角。

求此球面偶电层在球内外所产生的电位分布。

习题3-6图解：用分离变量法求解。

设球外电势为1Φ，球内电势为2Φ，因1Φ和2Φ均满足拉普拉斯方程，且具有轴对称性，故1Φ和2Φ仅为θ、r 的函数，与方位角ϕ无关，其通解为1()(cos )n nn n n n B A r P r Φθ∞+==+∑ 定解过程如下：∞→r 时，10Φ→，故1Φ中无nr 项，即110(cos )nnn n B P rΦθ∞+==∑ 0→r 时，2Φ有限，故2Φ中无)1(+-n r项，即20(cos )nnn n A rP Φθ∞==∑球面两侧电势跃变120()cos r a u u ΦΦ∆∆θ=-==，则有θθcos )(cos )(001u P a A a B n n n n n n ∆=-∑∞=+球面两侧n J 连续，即 2121r ar arrΦΦγγ==∂∂=∂∂，则有∑∑∞=+∞=-+-=02112)(cos )1()(cos n n n n n n n n P aB n P anA θγθγ比较以上两式两端的)(cos θn P 系数，当1=n 时，得到0121u a A aB ∆=-， 311122aB A γγ-=联立求解以上两式，得a u A 0121122∆+-=γγγ， 0212212u a B ∆+=γγγ 当1≠n 时，0==n n B A 。

将所求出的各系数代入通解，得221021()cos 2au rγΦ∆θγγ=+120212()cos 2ru aγΦ∆θγγ=-+3-7 球形矿体在点电源中的场如习题3-7图所示，在电导率为2σ的无限大均匀媒质中有一半径为a 、电导率为1σ的均匀球形矿体，在距球心为d 的A 点处有一点电流源，其电流强度为I ，并取A 在oz 轴上。

（1）求球内和球外的电位分布；（2）设球形矿体和点电源均在地表下，求地表下的电位分布。