假定改随机过程的起点为 t0= - ∞，可以证明E(Yt)=0， var(Yt)=σy。这里每 个随机变量的曲志都依赖于其前期水平，这是依据现在和过去的观测值预 测未来值的基础。因此，度量时间序列元素之间的依赖性的协方差在序列 特性描述方面非常重要。
二、自协方差函数和自相关函数
自协方差函数是描述时间序列随机型结构的重要工具。
隔。我们把任意两个元素之间的协方差都只依赖于它们的时间间隔，且具 有常数均值和有限方差的随机过程，称为平稳过程(stationary process)：
(1) E(Yt )
（2） var(Yt )
(3) cov(Yt ,Ytk ) E[(Yt )(Ytk )] k
显然，白噪声过程是一 个平稳过程，而 Yt Yt1 et （| | 1）也是一个
一个随机过程Yt的两个元素Yt 和Yt k 之间的协方差为： cov(Yt ,Ytk ) E([Yt E(Yt )][Ytk E(Ytk )])
称为自协方差（autocovariance）协方差度量了单一随机过程两个元素之间
的线性依赖关系。对于 Yt Yt1 et ,协方差 cov(Yt ,Yt1) E([Yt 0][Ytk 0]) Y
yˆt
a0 yt
a1 yt 1
a2 yt 2 N
aN yt N 1
,t
N
称为时间序列yt的加权移动平均数序列。其中a0、a1、 、aN为加权因子：
N 1
( ai ) / N 1 i0
该式表达的模型称为加 权移动平均模型，其作 用除消除干扰、显示
序列的趋势变化外，还 可通过加权因子的选取 ，是趋势预测更加准确 。
之间的时间间隔k，因此可以用 k表示cov(Yt ,Ytk )。 k是时间间隔k的函数,
且 k
。
k
自协方差序
列
k
(k
1，

(autocovariance function)。
自协方差函数 k本质上依赖于随机变量的计量单位。例如，工资按美
元和按美分计量的自协方差不同：
k 0
k
2 Y
2 Y
k,k
1,2, 。
（Sa由mp于le只au有to随co机rr过el程at的io样n本fu，nc只ti能on根)据ˆ k样：本数据计算出样本自相关函数
样本协方差ˆk
（Yt Y )(Yt k Y ) n
样本方差ˆ0
（Yt Y )2 n
样本自相关函数：ˆ k
ˆk ˆ0
三、平稳随机过程 并非所有随机过程的两个元素之间的协方差都只依赖于它们的时间间
平稳过程。 如果随机过程不满足上述条件，则称为非平稳随机过程。 平稳随机过程产生的时间序列，为平稳序列。平稳性是时间序列的一个
重要的特性，它保证了随机过程基本上没有结构变动，而结构变动会给预测 带来困难，甚至不可预测。
四、平稳性的检验
1、博克斯-皮尔斯（Box-Pierce)Q统计量
平稳过程的一个显著特征是自相关函数随时间间隔k的增大而衰减，因
一个具有均值为零和相同有限方差的的独立随机变量序列et称为白噪声 (white noise)。如果et服从正态分布，则称为高斯白噪声。
例如，一个一阶自回归过程：Yt Yt1 et ，1 1,et是白噪声： E(et ) 0, var(et ) e 0,且cov(et ,es ) 0(s t)
E(Zt , Ztk ) E(100Yt ,100Ytk ) 10000E(Yt ,Ytk )
将自协方差标准化：把每个 k除以随机过程的方差 0 Y ,可以得到自相关
函数(autocorrelation function, ACF)：
k
k 0
,
k 0,1,2,
对于Yt
Yt 1 et , k
此，对时间序列的样本自相关函数是否显著地不为零，来检验序列的平稳
性。
Q 统计量定义为：
m
Q n
ˆ
2 k
,
其中n为样本容量，m为滞后长度。
k 1
Q 统计量近似（大样本）遵循自由度为m的 2分布。如果计算的Q统计量
第一节 确定性时间序列模型
一、移动平均模型
对于时间序列：
y1, y2, yT
平均数
yˆt
yt
yt 1
yt 2 N
yt N 1 ,t
N
称为时间序列yt的移动平均数序列。该表达式的模型称为移动平均
模型。移动平均模型主要作用是消除干扰，显示序列的趋势性变化，
并用于趋势预测。
二、加权移动平均模型
平均数
三、二次移动平均模型
对经过一次移动平均产生的序列才进行移动平均，即：
yˆˆt
yˆt
yˆt 1
yˆt 2 N
yˆt N 1 ,t
N
由此构成的序列程为时间序列y t的二次移动平均数序列，该式表达的
模型称为二次移动平均模型。
四、指数平滑模型
如果采用下式求得序列的平滑预测值：
yˆt yˆt 1 ( yt 1 yˆt 1) 则称此预测模型为指数平滑模型，其中称为平滑常数，0 1。
该式也可写为
yˆt yt 1 （1 ）yˆt1 即预测只是前期实际智育预测值的加权和。的选择：选择不同的
带入模型，计算预测值序列。以实际值与预测值之差的平方和最
小为原则确定的值。
五、二次指数平滑模型 在一次指数平滑模型的基础上再进行指数平滑计算，即构成二次指数
平滑模型。同样可以构成三次指数平滑模型。
对于非负整数k，有
cov(Yt ,Yt k ) E(YtYt k ) E[Yt (Yt k 1 et k 1)]
E(Yt Yt k 1) E(et k 1) E(YtYt k 1)
E[Yt (Yt k 2 et k 2 )] 2E(YtYt k 1)
kY
这里Y是时间不变量，cov(Yt ,Ytk )不依赖于时点t，仅依赖于两个随机变量
第二节 随机时间序列模型的特征
一、随机过程（stochastic process） 一个特定的变量在不同的时点或时期的观测值y1，y2，…，yT，称为一
个时间序列。假设这些观测值是随机变量Y1， Y2， …， YT的实现，而随 机变量Y1， Y2， …， YT是无穷随机变量序列Yt0， Yt0+1， …， Y1， Y2， …的一部分(其中t0可以是-)。这个无穷随机变量序列Yt，t=1， 2，…，称为一个随机过程。