2008—2009学年第一学期《高等数学》期中试卷解答
一、填空题 （每小题4分，共24分）
1、 当2→x 时，713→+=x y ，为了使001.07<-y ，则δ应不大于____
2、 已知2)
3(lim 0=→x f x x ，则=→x x f x )2(lim 0__________ 3、 如果=+→)1ln(1
02)(cos lim x x x ____________
4、 当0→x 时，)(12122x o bx ax x +++=-，a ,b 分别是__________
5、 设a 是实数，函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠--=-1,01,11cos )1()(x x x x x f a ，则当)(x f 在1=x 处可导时，a 必定满足_____________
6、 设x x
x f )11()(+=，则=')5.0(f _______________
二、单项选择题 （每小题4分，共24分）
1、设函数111)(--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x e x f ，则（ ） （A ）x =0, x =1都是f (x )的第一类间断点。
（B ）x =0, x =1都是f (x )的第二类间断点。
（C ）x =0是f (x )的第一类间断点，x =1是f (x )的第二类间断点。
（D ）x =0是f (x )的第二类间断点，x =1是f (x )的第一类间断点。
2、若函数)(x f 可导，且4)0()],1[sin(sin )(2=+='f x x f ，则)(x f 的反函数)(y g x =的导数)4(g '的值为（ ）
（A ）)4(sin sin 12 （B ）)
5(sin sin 12 （C ）)1(sin sin 12 （D ）0 3、设,sin 22y e x y =-则
=dx dy （ ）
（A ）y e y x 22cos 2+ （B ）22cos 2x
y e x y
-+ （C ）0 （D ）222cos 2x e y x y -+ 4、设参数方程为⎩⎨⎧==t
b y t a x sin cos ，则二阶导数=22dx y d （ ） （A ）t a b 2sin （B ）t a b 32sin - （C ）t a b 2cos （D ）t
t a b 2cos sin - 5、设函数31
2)(-=x x f ，则（ ）
（A ）在其有定义的任何区间),(21x x 内，必是单调减少的；
（B ）在点1x 及2x 处有定义，且21x x <时必有)()(21x f x f >；
（C ）在其有定义的任何区间),(21x x 内，必是单调增加的；
（D ）在点1x 及2x 处有定义，且21x x <时必有)()(21x f x f <；
6、在区间[0,8]内，对函数328)(x x x f -=，罗尔定理的结论（ ）
（A ）不成立 （B ）成立，并且0)2(='f
（C ）成立，并且0)4(='f （D ）成立，并且0)8(='f
三、计算题：（每小题4分，共12分）
1、设x x y sin 2=，求)100(y
2、设)()(ln x f e x f y =，其中)(x f 可微，求dy
3、求极限x x x x x e e x x x 2arcsin )1ln()(tan )2cos 1)((lim tan 0+---→
四、证明题 （A 型题满分40分，B 型题满分28分）
（以下每一题中设有A 型题和B 型题，只需选定其中的一类题做）
1．（A ）（8分）根据函数极限的定义证明：313lim
424n n n →∞+=- （B ）（5分）根据函数极限的定义证明：21214lim 221x x x →--=+
2． (A)(8分)
设1103,1,2,n x x n +<<== ，证明数列{}n x 的极限存在，并求此极限。
(B)(6分)设11x =，11,(1,2,)1n n n x x n x +=+=+ ，证明证明数列{}n x 的极限存在，并求此极限。
3．(A)(8分)证明：若()f x 在[a,b]上连续，且()()1f a f b +=，则存在[,]a b ξ∈，使得1
()2f ξ=。
(B)(5分) 若()f x 在[a,b]上连续，且对[,]x a b ∀∈，()0f x ≠，则()f x 在[a,b]上恒正或恒负。
4．(A)(8分)设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足()()()f xy f x f y =，且(1)
f '存在，求()(0)f x x '≠。
(B)(6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足()()()f x y f x f y +=，且(0)1f '=，求()f x '。
5．(A)(8分)设()f x 可导，证明()f x 的两个零点之间一定有()f x +()f x '的零点。
(B)(6分) 设()f x 在[0,1]上可导，对于任意(0,1)x ∈都有()1f x '≠，0()1f x <<,且方程()f x x =在(0,1)上有实根，证明此实根是惟一的。