高考数学专题练习-函数性质综合运用【考纲解读】内 容要 求备注A BC函数概念与基本初等函数Ⅰ函数的图像与性质√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A 、B 、C 表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.【直击考点】1.(·南通调研)函数f (x )＝lnxx －1＋的定义域为________．【解析】要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝lnxx －1＋的定义域为(1，＋∞)．2. (南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－x －12，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}．3. (·衡水中学月考)设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下：映射f 的对应法则x 1 2 3 4 f (x )3421映射g 的对应法则x 1 2 3 4 g (x )4312则f [.g (1)]的值为________．【解析】由映射g 的对应法则，可知g (1)＝4，由映射f 的对应法则，知f (4)＝1，故f [g (1)]＝1. 4．(·盐城中学一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x x ≤0，log 3x x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.【解析】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. 5. (·南京、盐城一模)已知函数f (x )＝则f (f (3))＝________，函数f (x )的最大值是________．6. (·南通中学模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________．【解析】∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增． ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，7. (·南京、盐城模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．【解析】由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.8. (·无锡期末)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【解析】作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.9. (·郑州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．【解析】由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x >1，0 x ＝1，－x 2x <1，函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g (x )的减区间是[0,1)．10. (·泰州一检)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.【解析】当a >1，则y ＝a x 为增函数，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意． 当0<a <1，则y ＝a x为减函数， 有a －1＝4，a 2＝m ，此时a ＝14，m ＝116.此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数．故a ＝14.11. (·南京一中模拟)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为________．【解析】由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1， 若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]， 即－b 2＋4b －3>－1，即b 2－4b ＋2<0， 解得2－2<b <2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2)．12. (·南通调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －b ，x ≥0，ax x ＋2，x <0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．13. (·泰安一模改编)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为________． 【解析】 ∵f (x ＋1)为偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)，又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0. 从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4. ∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2.14. (·南通调研)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x ，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.15. (·无锡调研)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．16.(·南京模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.【解析】由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.17.(·苏北四市摸底)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________．【解析】函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点可化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝m恰有4个交点，作函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，故m的取值范围是(－1,0)．18.(·安徽江南十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x －2|}，则f(x)的最小值为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e |x －2|，x <1.【解析】当x ≥1时，f (x )＝e x≥e(x ＝1时，取等号)， 当x <1时，f (x )＝e|x －2|＝e2－x>e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.19. (·南京模拟)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝|a x－2|的图象可能是________(填序号)．20. (·苏北四市摸底)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln －x ，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是________．【解析】 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．【知识清单】1. 函数性质：定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值等 2．函数图像及其变换 3. 函数与方程【考点深度剖析】1. 函数均是以填空题、解答题的形式进行考查，涉及到函数与方程、分类讨论和数形结合的思想，题目多为中高档题，着重考查学生运算求解能力、推理论证能力及分析问题和解决问题的能力.函数常与导数、方程、不等式等结合考查，有时单独设置题目.2. 对于函数复习，一要明确函数的定义域和值域，二要锻炼分析问题和解决问题的能力，三要从数和形两个角度理解函数的性质，注意加强对函数与方程、数形结合数学和分类讨论思想的运用.函数知识属于重点知识，考查的难点中等偏上，复习时应以中档题为主，适当难题为辅，加强对函数的性质、分段函数、对数函数的图像与性质和函数的模型及其应用的题目的训练.【重点难点突破】考点1 函数性质综合应用【1-1】 (x)f 是R 上的奇函数，当0x ≥时，3(x)x ln(1x)f =++，则当0x <时，()f x =_______【答案】3x ln(1x)--【解析】∵0x <，∴0x ->，∴3()()ln(1)f x x x -=-+-，又∵(x)f 是R 上的奇函数，∴3()()ln(1)f x x x -=-+-，∴3()ln(1)f x x x =--.【1-2】 定义在R 上的奇函数)(x f y =满足0)3(=f ，且不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，则函数)(x g =1lg )(++x x xf 的零点的个数为_______【答案】3【解析】∵不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，∴'(())0xf x >， ∴函数()y xf x =在(0,)+∞上为增函数，又∵)(x f y =在R 上为奇函数， ∴函数()y xf x =在(,0)(0,)-∞+∞U 上为偶函数，且过(3,0)和(3,0)-和(0,0)， ∴函数)(x g =1lg )(++x x xf 的零点的个数为3个.【1-3】 定义在R 上的函数32()f x ax bx cx =++(0)a ≠的单调增区间为(1,1)-，若方程23(())2()0a f x bf x c ++=恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是 .【答案】12a <-【1-4】 设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若对任意给定的(2,)y ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x a y ay =+，则正实数的最小值是 .【答案】14【1-5】 函数()0ay x x x=+>有如下性质：若常数0a >，则函数在(a 上是减函数，在),a ⎡+∞⎣ 上是增函数.已知函数()mf x x x=+（m R ∈为常数），当()0,x ∈+∞时，若对任意x N ∈，都有()()4f x f ≥，则实数m 的取值范围是 .【答案】[]12,20【解析】当0m <时，函数y x =与m y x =在(0,)+∞都是增函数，所以()mf x x x=+在(0,)+∞单调递增，所以有(1)(4)f f <，不满足题意；当0m =时，()f x x =在(0,)+∞单调递增，所以有(1)(4)f f <，也不满足题意；当0m >时，根据题意可知函数()f x 在]m 单调递减，在,)m +∞单调递增；要使对任意x N ∈，都有()(4)f x f ≥，则须满足(3)(4)(5)(4)f f f f ≥⎧⎨≥⎩即可，即须求解不等34345454m m m m⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≥+⎪⎩，解得1220m ≤≤ 【思想方法】1. 等价转换思想：将不等式恒成立，有解问题等价转化为对应函数最值问题2. 数形结合思想：利用函数图像，研究函数性质3. 函数与方程思想：将方程是否有解及实根分布转化为对应函数性质与图像问题 【温馨提醒】利用函数性质解题时，须注意转化的等价性，分类的完备性．- 11 -【易错试题常警惕】解对数不等式问题，一般是先确保对数中真数大于，再利用对数函数的单调性来求解不等式，特别是对数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法求解不等式，故应分1a >和01a <<两种情况讨论．如：解不等式()()2log 4log 2a a x x ->-．【分析】（1）当1a >时，原不等式等价于()2424020x x x x ⎧->-⎪⎪->⎨⎪->⎪⎩，解之得6x >；当01a <<时，原不等式等价于()2424020x x x x ⎧-<-⎪⎪->⎨⎪->⎪⎩，解之得46x <<．∴当1a >时，不等式的解集为()6,+∞；当01a <<时，不等式的解集为()4,6．【易错点】本题容易忽视了对参数的讨论，以为1a >和对数中真数大于而致误．【练一练】已知f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，如果对于任意的x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，求实数a 的取值范围.。