湖北省云梦县第一中学-高三年级上学期10月月考数学（理科）试题★祝考试顺利★ 时间：120分钟 分值150分_第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为( )A ．12 B ．32C ．1D ．132．已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{—2，—1，0}，则A ∩B 等于 （ ） A ．{0} B ．{－1，0，1} C ．{0，1} D ．{－1，0} 3．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么101a a +的值是（ ） A ．12B ．24C ．36D ．484．设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )． A ．2 B ．－2 C ． 12- D. 125． 已知点A (1，2)、B （3，1），线段AB 的垂直平分线的方程是( )A. 524=+y xB. 52=-y xC. 52=+y xD. 524=-y x6．若x 的方程x 2-x+a=0和x 2-x+b=0(a ≠b)的四个根可组成首项为41的等差数列,则a+b 的值为( ) A.83 B.2411 C.2413 D.7231 7．平面向量a 与b 的夹角为30°，已知(1,2,2a b =-=，则a b +=（ ）A ．． C ．8．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若c b ==120B =则a 等于（ ）． A．2 C9．已知函数)(x f y = 是偶函数，)(x g y =是奇函数，它们的定义域为],[ππ-，且它们在],0[π∈x 上的图象如右图所示，则不等式0)()(>x g x f 的解集为 A ．),3()0,3(πππ⋃- B ．)3,0()3,(πππ⋃-- C ．),4()0,4(πππ⋃-D ．),3()3,(ππππ⋃--10．将两个数a=2, b=-6交换，使a=-6, b=2，下列语句正确的是( )A ．B ．C ．D ．11．设等差数列的前n 项和为（ ） A ．18B ．17C ．16D ．1512．在直径为4的圆内接矩形中，最大的面积是（ ） A.4 B.2 C.6 D.8第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）}{n a =+++==1413121184,20,8,a a a a S S S n 则若13．已知定义在R 上的偶函数f （x ），当x ＞0时，f （x ）＝－x 3＋1，则f （－2）与f （3）的乘积为________14．如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象，则其解析式是_________.15．（2010•西城区一模）已知圆C 的参数方程为（θ为参数），若P 是圆C 与y 轴正半轴的交点，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P 的圆C 的切线的极坐标方程． 16．已知函数是R 上的偶函数，且在（0，+）上有（x ）> 0，若f （－1）= 0，那么关于x 的不等式x f （x ）< 0 的解集是____________． 三、解答题（70分）17．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合．直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21231（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：θρcos 4=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程，并指明C 是什么曲线； （2）设直线l 与曲线C 相交于Q P ,两点，求PQ 的值．218．（本题12分）某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动．（1）求从该班男女同学在各抽取的人数；)(x f ∞f '（2）从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率． 19．（本题12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，π122BAD AB BC AD a ∠====，，E是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.（Ⅰ） 证明：CD ⊥平面1A OC ；（Ⅱ） 若平面1A BE ⊥平面BCDE ，四棱锥1A BCDE -的体积为a 的值. 20．（本题12分）已知()2122f x x x x =-++++. （Ⅰ）求证：()5f x ≥；（Ⅱ）若对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立，求实数a 的取值范围. 21．（本题满分12分）对于函数()f x ,若存在0x R ∈使得00()f x x =成立,则称0x 为()f x 的不动点已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠ （1）若1,3a b ==,求函数()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下,若()y f x =图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点,且A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称,求b 的最小值22．（本题12分）已知椭圆1C :22221x y a b+=（0a b >>）经过点()1,e ，其中e 是椭圆1C 的离心率，以原点O 为圆心，以椭圆1C 的长轴长为直径的圆2C 与直线20x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆1C 和圆2C 的方程；（Ⅱ）过椭圆1C 的右焦点F 的直线1l 与椭圆1C 交于点A ，B ，过F 且与直线1l 垂直的直线2l 与圆2C 交于点C ，D ，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积记为S ，求S 的取值范围．答案1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．D 7．D 8．D 9．B 10．B 11．A 12．D 13．18214．3sin(2)3y x π=+15．16．)1,0()1,(⋃--∞17．（1）()4222=+-y x ，它是以()0,2为圆心，半径为2的圆．（2）721=-=t t PQ ．18．（1）2人（2）19． 解：（Ⅰ） 在图1中，AD ∥BC ， 1AB BC ==，1AE =，2BAD π∠=，所以BE AC ⊥，即在图2中， 1,BE AO BE OC ⊥⊥．又1AO OC O =，所以BE ⊥平面1A OC ，又CD BE ，所以CD ⊥平面1A OC . 4分（Ⅱ） 由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ， 又由（Ⅰ）知，1,BE AO BE OC ⊥⊥，所以1AOC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以12AOC π∠=.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， 因为111A B A E BC ED ====，BC ED ∥，所以1(B E A ，，，C (BC =-1AC =，(CD BE ==-. 设平面1A BC 的法向量1111(,,)n x y z =，平面1ACD 的法向量2222(,,)n x y z =，平面1A BC 与平面1ACD 夹角为θ， 由11100n BC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，得111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，，取1(1,1,1)n =，由22100n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，得22200x y z =⎧⎨-=⎩，，取2(0,1,1)n =，从而12cos |cos ,|n n θ=〈〉==， 即平面1A BC 与平面1ACD20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2±≠a ．解：（Ⅰ）∵()43,25,2127,1243,2x x x f x x x x x --≤-⎧⎪-<≤-⎪=⎨+-<≤⎪⎪+>⎩，∴()f x 的最小值为5，∴()5f x ≥(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知：()152f x -的最大值等于5. ∵()222299111511a a a a +=++-≥=++，“=”成立()22911=a a ⇔++， 即a=∴当a =时，2291a a ++取得最小值5.当a ≠时，22951a a +>+， 又∵对任意实数x ，()2291521-f x a a<++都成立，∴a ≠.∴a 的取值范围为a ≠ 21． （1）2,1-- （2）01a <<（3）min b = 22．（Ⅰ）2212x y +=，222xy +=（Ⅱ）2,⎡⎣ 解：（Ⅰ）由已知得222222211c a a b a a b c ⎧+=⎪⎪=⎪=+⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆1C 的方程为2212x y +=，圆2C 的方程为222x y +=．（Ⅱ）若直线AB 的斜率不存在，由12l l ⊥，得22b aAB ==CD =，此时122S ==． 若直线AB 的斜率为0，由12l l ⊥，得AB =，CD 2==，此时122S ==． 若直线AB 的斜率存在且不为0，设1l 的方程为()1y k x =-．设()11,x y A ，()22,x y B ，()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 得()2222124220k x k x k +-+-=，所以2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，()()42221641222880k k k k ∆=-+-=+>．12x AB ==-=== 又2l 的方程为()11y x k=--，即10x ky +-=，得CD ==11CD 22S =AB ⨯==． 因为20k >，S =关于2k 是单调递减函数，(2,S =．综上得，S 的取值范围是2,⎡⎣．。