专题06 四边形的综合问题例1．如图，△APB中，AB＝2 2 ，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．同类题型1.1 如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE 和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________．同类题型1.2 如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④同类题型1.3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝P C．其中正确的有______________．（填序号）同类题型1.4 如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH 交于点O，连接BE，下列结论错误的是（）A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中ABBC＝67，EF＝4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．同类题型2.1 如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E 的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为____________．同类题型2.2 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是____________．同类题型2.3 如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形A2017B2017C2017D2017的周长是______________．例3．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF＝∠BCE；②S△CEF＝S△EAF＋S△CBE；③AF＋BC＞CF；④若BCCD＝32，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）同类题型3.1 如图，在矩形ABCD中，AD＝ 2 AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AED＝∠CED；②AB＝HF，③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤OE＝OD；其中正确结论的序号是____________．同类题型3.2 如图，在矩形ABCD中，BC＝ 2 AB，∠ADC的平分线交边BC 于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交AB边于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：①AD＝DE②DH＝2 2 EH③△AEH∽△CFB④HO＝12AE其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）同类题型3.3 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．24B．14C．13D．23例4．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A 作AE的垂线AP交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝ 6 ，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为 2 ；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝1＋ 6 ．⑤S正方形ABCD＝4＋6．其中正确结论的序号是___________________．同类题型4.1 如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止．点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝（）A．4－π4B．π4C．14D．π－14同类题型4.2 如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD 于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH ＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF＝1；④CE＝12AF；⑤EG2＝FG﹒DG，其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5同类题型4.3 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC 于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是______________．（1）EF＝ 2 OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE＋BF＝ 2 OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝34；（5）OG﹒BD＝AE2＋CF2．同类题型4.4 如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C 运动到点D时，点G移动的路径长为_____________．参考答案例1．如图，△APB中，AB＝2 2 ，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．解：如图，延长EP交BC于点F，∵∠APB＝90°，∠APE＝∠BPC＝60°，∴∠EPC ＝150°，∴∠CPF ＝180°－150°＝30°，∴PF 平分∠BPC ，又∵PB ＝PC ，∴PF ⊥BC ，设Rt △ABP 中，AP ＝a ，BP ＝b ，则CF ＝12CP ＝12 b ，a 2＋b 2 ＝8，∵△APE 和△ABD 都是等边三角形，∴AE ＝AP ，AD ＝AB ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，∴∠EAD ＝∠P AB ，∴△EAD ≌△P AB （SAS ），∴ED ＝PB ＝CP ，同理可得：△APB ≌△DCB （SAS ），∴EP ＝AP ＝CD ，∴四边形CDEP 是平行四边形，∴四边形CDEP 的面积＝EP ×CF ＝a ×12b ＝12 ab ，又∵（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2 ≥0，∴2ab ≤a 2＋b 2 ＝8，∴12 ab ≤2，即四边形PCDE 面积的最大值为2．同类题型1.1 如图，△APB 中，AP ＝4，BP ＝3，在AB 的同侧作正△ABD 、正△APE 和正△BPC ，则四边形PCDE 面积的最大值是___________．解：∵△APE 和△ABD 是等边三角形，∴AE ＝AP ＝4，AB ＝AD ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，∴∠EAD ＝∠P AB ＝60°－∠DAP ，在△EAD 和△P AB 中⎩⎨⎧AE ＝AP∠EAD ＝∠P ABAD ＝AB∴△EAD ≌△P AB （SAS ），∴DE ＝BP ， 同理△DBC ≌△ABP ，∴DC ＝AP ，∵△APE 和△BPC 是等边三角形，∴EP ＝AP ，BP ＝CP ，∴DE ＝CP ＝3，DC ＝PE ＝4，∴四边形PCDE 是平行四边形，当CP ⊥EP 时，四边形PCDE 的面积最大，最大面积是3×4＝12．同类题型1.2 如图，在□ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连接CE 、CF ，EF ，则以下四个结论一定正确的是（ ）①△CDF ≌△EBC ；②∠CDF ＝∠EAF ；③△ECF 是等边三角形；④CG ⊥AE ．A ．只有①②B ．只有①②③C ．只有③④D ．①②③④解：∵△ABE、△ADF是等边三角形∴FD＝AD，BE＝AB∵AD＝BC，AB＝DC∴FD＝BC，BE＝DC∵∠B＝∠D，∠FDA＝∠ABE∴∠CDF＝∠EBC∴△CDF≌△EBC，故①正确；∵∠F AE＝∠F AD＋∠EAB＋∠BAD＝60°＋60°＋（180°－∠CDA）＝300°－∠CDA，∠FDC＝360°－∠FDA－∠ADC＝300°－∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF＝∠BEC，∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，∵CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故③正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．选B．同类题型1.3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝P C．其中正确的有______________．（填序号）解：证明：∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF，∴∠CBE＝∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB，∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，∴③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF＝PC，故④正确．答案为①②③④．同类题型1.4 如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH 交于点O，连接BE，下列结论错误的是（）A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AH∥BG，AD＝BC，∴∠H＝∠HBG，∵∠HBG＝∠HBA，∴∠H＝∠HBA，∴AH＝AB，同理可证BG＝AB，∴AH＝BG，∵AD＝BC，∴DH＝CG，故C正确，∵AH＝AB，∠OAH＝∠OAB，∴OH＝OB，故A正确，∵DF∥AB，∴∠DFH＝∠ABH，∵∠H＝∠ABH，∴∠H＝∠DFH，∴DF＝DH，同理可证EC＝CG，∵DH＝CG，∴DF＝CE，故B正确，无法证明AE＝AB，选D．例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中ABBC＝67，EF＝4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．解：如图乙，H 是CF 与DN 的交点，取CD 的中点G ，连接HG ，，设AB ＝6a cm ，则BC ＝7a cm ，中间菱形的对角线HI 的长度为x cm ， ∵BC ＝7a cm ，MN ＝EF ＝4cm ，∴CN ＝7a ＋42 ，∵GH ∥BC ，∴GH CN ＝DG DC ，∴7a －x 27a ＋42＝12， ∴x ＝3.5a －2…（1）；∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2 ，∴6a ﹒（7a －x ）÷2＝54，∴a （7a －x ）＝18…（2）；由（1）（2），可得a ＝2，x ＝5，∴CD ＝6×2＝12（cm ），CN ＝7a ＋42＝7×2＋42＝9(cm) ，∴DN ＝122＋92 ＝15（cm ），又∵DH ＝DG 2＋GH 2＝62＋(7×2－52)2 ＝7.5（cm ），∴HN ＝15－7.5＝7.5（cm ），∵AM ∥FC ，∴KN HK ＝MN CM ＝49－4＝45， ∴HK ＝54＋5×7.5＝256(cm) ， ∴该菱形的周长为：256×4＝503 （cm ）．同类题型2.1 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4cm ，∠ADC ＝120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为____________．解：延长AB 至M ，使BM ＝AE ，连接FM ，∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝120°∴AB ＝AD ，∠A ＝60°，∵BM ＝AE ，∴AD ＝ME ，∵△DEF 为等边三角形，∴∠DAE ＝∠DFE ＝60°，DE ＝EF ＝FD ，∴∠MEF ＋∠DEA ═120°，∠ADE ＋∠DEA ＝180°－∠A ＝120°，∴∠MEF ＝∠ADE ，∴在△DAE 和△EMF 中，⎩⎨⎧AD ＝ME∠MEF ＝∠ADEDE ＝EF∴△DAE ≌EMF （SAS ），∴AE ＝MF ，∠M ＝∠A ＝60°，又∵BM ＝AE ，∴△BMF 是等边三角形，∴BF ＝AE ，∵AE ＝t ，CF ＝2t ，∴BC ＝CF ＋BF ＝2t ＋t ＝3t ，∵BC ＝4，∴3t ＝4，∴t ＝43 ．同类题型2.2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是____________．解：如图所示：∵MA ′是定值，A ′C 长度取最小值时，即A ′在MC 上时，过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 为AD 中点，∴2MD ＝AD ＝CD ＝2，∠FDM ＝60°，∴∠FMD ＝30°，∴FD ＝12MD ＝12 ，∴FM ＝DM ×cos30°＝32 ，∴MC ＝FM 2＋CF 2＝7 ，∴A ′C ＝MC －MA ′＝7 －1．同类题型2.3 如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A ＝60°．顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1 ；顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1 各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2 ；顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2 各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3 ；按此规律继续下去…，则四边形A 2017B 2017C 2017D 2017 的周长是______________．解：∵菱形ABCD 中，边长为10，∠A ＝60°，顺次连结菱形ABCD 各边中点， ∴△AA 1D 1 是等边三角形，四边形A 2B 2C 2D 2 是菱形，∴A 1D 1 ＝5，C 1D 1＝12AC ＝5 3 ，A 2B 2＝C 2D 2＝C 2B 2＝A 2D 2 ＝5，同理可得出：A 3D 3＝5×12 ，C 3D 3＝12C 1D 1＝12×5 3 ， A 5D 5＝5×（12）2 ，C 5D 5＝12C 3D 3＝（12）2×5 3 ，…∴四边形A 2015B 2015C 2015D 2015 的周长是：5＋5321007 ．例3． 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，EF ⊥EC 交AD 于点F ，连接CF （AD ＞AE ），下列结论：①∠AEF ＝∠BCE ；②S △CEF ＝S △EAF ＋S △CBE ；③AF ＋BC ＞CF ； ④若BC CD ＝ 32 ，则△CEF ≌△CDF ．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）解：延长CB ，FE 交于点G ，∵∠AEF ＋∠BEC ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，∴∠AEF ＝∠BCE ，①正确；在△AEF 和△BEG 中，⎩⎨⎧∠F AE ＝∠GBE ＝90°AE ＝BE ∠AEF ＝∠BEG， ∴△AEF ≌△BEG （ASA ），∴AF ＝BG ，EF ＝EG ，∵CE ⊥EG ，∴S △CEG ＝S △CEF ，CG ＝CF ，∴S △CEF ＝S △EAF ＋S △CBE ，②正确；∴AF ＋BC ＝BG ＋BC ＝CG ＝CF ，③错误； ∵BC CD ＝32 ，∴∠BCE ＝30°，∴∠FCE ＝∠FCD ＝30°，在△CEF 和△CDF 中，⎩⎨⎧∠D ＝∠FEC ＝90°∠DCF ＝∠ECF CF ＝CF， ∴△CEF ≌△CDF （AAS ），④正确．同类题型3.1 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝ 2 AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①AED ＝∠CED ；②AB ＝HF ，③BH ＝HF ；④BC －CF ＝2HE ；⑤OE ＝OD ； 其中正确结论的序号是____________．解：∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ＝45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE= 2 AB ，∵AD= 2 AB ，∴AE ＝AD ，在△ABE 和△AHD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠DAE∠ABE ＝∠AHD ＝90°AE ＝AD， ∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE ＝DH ，∴AB ＝BE ＝AH ＝HD ，∴∠ADE ＝∠AED ＝12 （180°－45°）＝67.5°，∴∠CED ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠AED ＝∠CED ，故①正确；∵∠AHB=12 （180°－45°）＝67.5°，∠OHE ＝∠AHB （对顶角相等）， ∴∠OHE ＝∠AED ，∴OE ＝OH ，∵∠DOH ＝90°－67.5°＝22.5°，∠ODH ＝67.5°－45°＝22.5°， ∴∠DOH ＝∠ODH ，∴OH ＝OD ，∴OE ＝OD ＝OH ，故⑤正确；∵∠EBH ＝90°－67.5°＝22.5°，∴∠EBH ＝∠OHD ，又∵BE ＝DH ，∠AEB ＝∠HDF ＝45°在△BEH 和△HDF 中⎩⎨⎧∠EBH ＝∠OHDBE ＝DH ∠AEB ＝∠HDF∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH ＝HF ，HE ＝DF ，故③正确； 由上述①、②、③可得CD ＝BE 、DF ＝EH ＝CE ，CF ＝CD －DF ， ∴BC －CF ＝（CD ＋HE ）－（CD －HE ）＝2HE ，所以④正确； ∵AB ＝AH ，∠BAE ＝45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故②错误；综上所述，结论正确的是①③④⑤．同类题型3.2 如图，在矩形ABCD中，BC＝ 2 AB，∠ADC的平分线交边BC 于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交AB边于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：①AD＝DE②DH＝2 2 EH③△AEH∽△CFB④HO＝12AE其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）解：在矩形ABCD中，AD＝BC＝2AB＝ 2 CD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∵AD⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AD＝ 2 AB，∴AH＝AB＝CD，∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE＝ 2 CD，∴AD＝DE，∴∠AED＝67.5°，∴∠AEB＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠AED ＝∠AEB ，∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠DAE ＝∠AED ，∴AD ＝DE ，故①正确；设DH ＝1，则AH ＝DH ＝1，AD ＝DE ＝ 2 ，∴HE ＝ 2 ，∴22HE ＝22≠1，故②错误；∵∠AEH ＝67.5°，∴∠EAH ＝22.5°，∵DH ＝CD ，∠EDC ＝45°，∴∠DHC ＝67.5°，∴∠OHA ＝22.5°，∴∠OAH ＝∠OHA ，∴OA ＝OH ，∴∠AEH ＝∠OHE ＝67.5°，∴OH ＝OE ，∴OH ＝12 AE ，故④正确；∵AH ＝DH ，CD ＝CE ，在△AFH 与△CHE 中，⎩⎨⎧∠AHF ＝∠HCE ＝22.5°∠F AH ＝∠HEC ＝45°AH ＝CE，∴△AFH ≌△CHE ，∴∠AHF ＝∠HCE ，∵AO ＝OH ，∴∠HAO ＝∠AHO ，∴∠HAO ＝∠BCF ，∵∠B ＝∠AHE ＝90°，∴△AEH ∽△CFB ，故③正确．答案为：①③④．同类题型3.3 如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是（ ）A ．24B ．14C ．13D ．23解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵点E 是边BC 的中点， ∴BE ＝12BC ＝12 AD ，∴△BEF ∽△DAF ，∴EF AF ＝BE AD ＝12 ，∴EF ＝12 AF ，∴EF ＝13 AE ，∵点E 是边BC 的中点，∴由矩形的对称性得：AE ＝DE ，∴EF ＝13 DE ，设EF ＝x ，则DE ＝3x ，∴DF ＝DE 2－EF 2＝2 2 x ，∴tan ∠BDE ＝EF DF ＝x 22x ＝24； 选A ．例4．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线AP 交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝ 6 ，下列结论： ①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ．⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6．其中正确结论的序号是___________________．解：①∵∠EAB ＋∠BAP ＝90°，∠P AD ＋∠BAP ＝90°，∴∠EAB ＝∠P AD ，又∵AE ＝AP ，AB ＝AD ，∵在△APD 和△AEB 中，⎩⎨⎧AE ＝AP∠EAB ＝∠PADAB ＝AD， ∴△APD ≌△AEB （SAS ）；故此选项成立； ③∵△APD ≌△AEB ，∴∠APD ＝∠AEB ，∵∠AEB ＝∠AEP ＋∠BEP ，∠APD ＝∠AEP ＋∠P AE ，∴∠BEP ＝∠P AE ＝90°，∴EB ⊥ED ；故此选项成立；②过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，∵AE ＝AP ，∠EAP ＝90°，∴∠AEP ＝∠APE ＝45°，又∵③中EB ⊥ED ，BF ⊥AF ，∴∠FEB ＝∠FBE ＝45°，又∵BE ＝BP 2－PE 2 ＝2，∴BF ＝EF ＝ 2 ，故此选项正确；④如图，连接BD ，在Rt △AEP 中，∵AE ＝AP ＝1，∴EP ＝ 2 ，又∵PB ＝ 6 ，∴BE ＝2，∵△APD ≌△AEB ，∴PD ＝BE ＝2，∴S △ABP ＋S △ADP ＝S △ABD －S △BDP ＝12 S 正方形ABCD －12×DP ×BE ＝12×（4＋6）－12×2×2＝62．故此选项不正确．⑤∵EF ＝BF ＝ 2 ，AE ＝1，∴在Rt △ABF 中，AB 2＝（AE ＋EF ）2＋BF 2＝5＋2 2 ， ∴S 正方形ABCD ＝AB 2＝5＋22，故此选项不正确．答案为：①②③．同类题型4.1 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止．点N 是正方形ABCD 内任一点，把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝（ ）A ．4－π4B ．π4C ．14D ．π－14解：根据题意得点M 到正方形各顶点的距离都为1，点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，∴点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．而正方形ABCD 的面积为2×2＝4，4个扇形的面积为4×90π×12360 ＝π， ∴点M 所经过的路线围成的图形的面积为4－π，∴把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝4－π4 ．选：A ．同类题型4.2 如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD 于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH ＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF＝1；④CE＝12AF；⑤EG2＝FG﹒DG，其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5 解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝90°，∵AE平分∠DAC，∴∠F AD＝∠CAF＝22.5°，∵BH＝DF，∴△ABH≌△ADF，∴AH＝AF，∠BAH＝∠F AD＝22.5°，∴∠HAC＝∠F AC，∴HM＝FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF＝FM，∴FH ＝2DF ＝2BH ，故选项①②正确；③在Rt △FMC 中，∠FCM ＝45°，∴△FMC 是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC ＝2 2 ，MC ＝DF ＝2 2 －2，∴FC ＝2－DF ＝2－（22－2）＝4－2 2 ，S △AFC ＝12 CF ﹒AD ≠1，所以选项③不正确；④AF ＝AD 2＋DF 2＝22＋(22－2)2＝24－2 2 ，∵△ADF ∽△CEF ，∴AD CE ＝AF FC ，∴2CE ＝24－224－22， ∴CE ＝4－2 2 ，∴CE ＝12 AF ，故选项④正确；⑤延长CE 和AD 交于N ，如图2，∵AE ⊥CE ，AE 平分∠CAD ，∴CE ＝EN ，∵EG∥DN，∴CG＝DG，在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴EG2＝FG﹒CG，∴EG2＝FG﹒DG，故选项⑤正确；本题正确的结论有4个，故选C．同类题型4.3 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC 于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是______________．（1）EF＝ 2 O E；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE＋BF＝ 2 OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝34；（5）OG﹒BD＝AE2＋CF2．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°，∴∠BOF ＋∠COF ＝90°，∵∠EOF ＝90°，∴∠BOF ＋∠COE ＝90°，∴∠BOE ＝∠COF ，在△BOE 和△COF 中，⎩⎨⎧∠BOE ＝∠COFOB ＝OC ∠OBE ＝∠OCF ，∴△BOE ≌△COF （ASA ），∴OE ＝OF ，BE ＝CF ，∴EF ＝ 2 OE ；故正确；（2）∵S 四边形OEBF ＝S △BOE ＋S △BOE ＝S △BOE ＋S △COF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD，∴S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD ＝1：4；故正确；（3）∴BE ＋BF ＝BF ＋CF ＝BC ＝ 2 OA ；故正确；（4）过点O 作OH ⊥BC ，∵BC ＝1，∴OH ＝12BC ＝12 ，设AE ＝x ，则BE ＝CF ＝1－x ，BF ＝x ，∴错误!，∵a ＝－12 ＜0，∴当x ＝14 时，S △BEF ＋S △COF 最大；即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝14 ；故错误；（5）∵∠EOG ＝∠BOE ，∠OEG ＝∠OBE ＝45°， ∴△OEG ∽△OBE ， ∴OE ：OB ＝OG ：OE ， ∴OG ﹒OB ＝OE 2 ， ∵OB ＝12 BD ，OE ＝22 EF ， ∴OG ﹒BD ＝EF 2 ，∵在△BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2 ， ∴EF 2＝AE 2＋CF 2 ，∴OG ﹒BD ＝AE 2＋CF 2 ．故正确． 故答案为：（1），（2），（3），（5）．同类题型4.4 如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC ＝DB ＝1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D时，点G 移动的路径长为 _____________．解：如图，设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS，∵E为MN的中点，S为KH的中点，∴A，E，S共线，F为QR的中点，S为KH的中点，∴B、F、S共线，由△AME∽△PQF，得∠SAP＝∠FPB，∴ES∥PF，△PNE∽△BRF，得∠EP A＝∠FBP，∴PE∥FS，则四边形PESF为平行四边形，则G为PS的中点，∴G的轨迹为△CSD的中位线，∵CD＝AB－AC－BD＝6－1－1＝4，∴点G移动的路径长12×4＝2．专题02 方程、不等式中的含参问题例1．已知三个非负实数a ，b ，c 满足：3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为__________．同类题型1.1 已知x ＋2y －3z ＝0，2x ＋3y ＋5z ＝0，则x ＋y ＋zx －y ＋z ＝________．同类题型1.2 方程组⎩⎨⎧4x ＋3m ＝28x －3y ＝m的解x ，y 满足x ＞y ，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞ 910 B ．m ＞ 109C ．m ＞ 1910D ．m ＞ 1019例2．关于x 的方程x 2 ＋mx －9＝0和x 2－3x ＋m 2 ＋6m ＝0有公共根，则m 的值为________．同类题型 2.1 已知a 是一元二次方程x 2 －2018x ＋1＝0的一个根，则代数式a 2－2017a ＋ 2018a 2＋1 的值是___．同类题型2.2 已知关于x 的方程（k 2－1）x 2 ＋（2k －1）x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围为_____________．同类题型2.3 已知α、β是方程x 2 －2x －4＝0的两个实数根，则α3 ＋8β＋6的值为（ ） A ．－1B ．2C ．22D ．30例3．已知方程x ＋ 1x ＝a ＋ 1a 的两根分别为a ，1a ，则方程x ＋ 1x －1＝a ＋ 1a －1 的根是（ ）A ．a ，1a －1B ．1a －1，a －1 C ．1a ，a －1D ．a ，aa －1同类题型3.1 若关于x 的方程2x －bx －1 ＝3的解是非负数，则b 的取值范围是________．同类题型3.2 观察分析下列方程：①x ＋ 2x ＝3；②x ＋ 6x ＝5；③x ＋ 12x ＝7．请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程x ＋ n 2＋n x －4 ＝2n ＋5（n 为正整数）的根，你的答案是_________________．同类题型3.3 已知关于x 的方程2x －1－ a ＋1x ＋2＝ 3a(x －1)(x ＋2)只有整数解，则整数a的值为_____________．例4．[x]表示不超过x的最大整数．如，[π]＝3，[2]＝2，[－2.1]＝－3．则下列结论：①[－x]＝－[x]；②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；③当－1＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]的值为1或2；④x＝－2.75是方程4x－2[x]＋5＝0的唯一一个解．其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）．同类题型4.1 设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，（x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，（3.4）＝3．则不等式8≤2x＋[x]＋3{x}＋4（x）≤14的解为（）A．0.5≤x≤2B．0.5＜x＜1.5或1.5＜x＜2C．0.5＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2同类题型4.2规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是___________．（写出所有正确说法的序号）①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝6；②当x ＝－2.1时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝－7； ③方程4[x ]＋3（x ）＋[x ）＝11的解为1＜x ＜1.5；④当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋（x ）＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有两个交点．同类题型4.3 如果关于x 的不等式（a ＋b ）x ＋2a －b ＞0的解集是x ＜ 52 ，那么关于x 的不等式（b －a ）x ＋a ＋2b ≤0的解集是____________．同类题型4.4 若关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋43＞ x 2＋1x －a ＜0解集为x ＜2，则a 的取值范围是___________．同类题型4.5 按如图的程序计算，若开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x 的不同值最多有___________．参考答案例1．已知三个非负实数a ，b ，c 满足：3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为__________．解：由题意可得⎩⎨⎧3a ＋2b ＋c ＝52a ＋b －3c ＝1m ＝3a ＋b －7c，解得a ＝7﹒(m ＋2)3 －3，b ＝7－11﹒(m ＋2)3 ，c ＝m ＋23 ， 由于a ，b ，c 是三个非负实数， ∴a ≥0，b ≥0，c ≥0， ∴－111≥m ≥－57 ． 所以m _(最小值)＝－57 ． 故本题答案为：－57．同类题型1.1 已知x ＋2y －3z ＝0，2x ＋3y ＋5z ＝0，则x ＋y ＋zx －y ＋z＝________．解：由题意得：⎩⎨⎧x ＋2y －3z ＝0①2x ＋3y ＋5z ＝0②，①×2－②得y ＝11z ， 代入①得x ＝－19z ，原式＝x ＋y ＋z x －y ＋z ＝－19z ＋11z ＋z －19z －11z ＋z ＝729．同类题型1.2 方程组⎩⎨⎧4x ＋3m ＝28x －3y ＝m的解x ，y 满足x ＞y ，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞ 910 B ．m ＞ 109 C ．m ＞ 1910 D ．m ＞ 1019解：⎩⎨⎧4x ＋3m ＝2①8x －3y ＝m ②由①得x ＝2－3m 4 ，代入②得，8×2－3m 4 －3y ＝m ，y ＝4－7m3 ． ∵x ＞y ，即2－3m 4＞4－7m 3 ，解得m ＞1019 ． 选D ．例2．关于x 的方程x 2 ＋mx －9＝0和x 2－3x ＋m 2 ＋6m ＝0有公共根，则m 的值为________． 解：设这个公共根为α．则方程x 2 ＋mx －9＝0的两根为α、－m －α；方程x 2－3x ＋m 2 ＋6m ＝0的两根为α、3－α，由根与系数的关系有：α（－m －α）＝－9，α（3－α）＝m 2 ＋6m ， 整理得，α2 ＋mα＝9①，α2－3α＋m 2 ＋6m ＝0②， ②－①得，m 2 ＋6m －3α－mα＝－9， 即（m ＋3）2 －α（m ＋3）＝0， （m ＋3）（m ＋3－α）＝0， 所以m ＋3＝0或m ＋3－α＝0， 解得m ＝－3或α＝m ＋3， 把α＝m ＋3代入①得，（m ＋3）2 ＋m （m ＋3）＝9， m 2＋6m ＋9＋m 2 ＋3m ＝9， m （2m ＋9）＝0， 所以m ＝0或2m ＋9＝0， 解得m ＝0或m ＝－4.5，综上所述，m 的值为－3，0，－4.5．同类题型 2.1 已知a 是一元二次方程x 2 －2018x ＋1＝0的一个根，则代数式a 2－2017a ＋ 2018a 2＋1的值是___． 解：由题意，把根a 代入x 2 －2018x ＋1＝0，可得：a 2 －2018a ＋1＝0， ∴a 2 －2017a －a ＋1＝0，a 2＋1＝2018a ； ∴a 2 －2017a ＝a －1，∴a 2－2017a ＋2018a 2＋1＝a －1＋20182018a ＝a ＋1a －1 ＝a 2＋1a －1＝2018aa －1 ＝2018－1， ＝2017．同类题型2.2 已知关于x 的方程（k 2－1）x 2 ＋（2k －1）x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围为_____________． 解：由题意知，k ≠±1，△＝（2k －1）2－4（k 2 －1）＝5－4k ＞0 ∴k ＜54 且k ≠±1．同类题型2.3 已知α、β是方程x 2 －2x －4＝0的两个实数根，则α3 ＋8β＋6的值为（ ） A ．－1B ．2C ．22D ．30解：∵α、β是方程x 2 －2x －4＝0的两个实数根， ∴α＋β＝2，α2 －2α－4＝0， ∴α2 ＝2α＋4∴α3＋8β＋6＝α﹒α2 ＋8β＋6 ＝α﹒（2α＋4）＋8β＋6 ＝2α2 ＋4α＋8β＋6 ＝2（2α＋4）＋4α＋8β＋6 ＝8α＋8β＋14＝8（α＋β）＋14＝30， 故选D ．例3．已知方程x ＋ 1x ＝a ＋ 1a 的两根分别为a ，1a ，则方程x ＋ 1x －1＝a ＋ 1a －1 的根是（ ） A ．a ，1a －1B ．1a －1，a －1 C ．1a ，a －1 D ．a ，a a －1解：方程x ＋1x －1＝a ＋1a －1 可以写成x －1＋1x －1＝a －1＋1a －1 的形式，∵方程x ＋1x ＝a ＋1a 的两根分别为a ，1a ，∴方程x －1＋1x －1＝a －1＋1a －1 的两根的关系式为x －1＝a －1，x －1＝1a －1，即方程的根为x ＝a 或aa －1， ∴方程x ＋1x －1＝a ＋1a －1 的根是a ，aa －1 ．选D ．同类题型3.1 若关于x 的方程2x －bx －1 ＝3的解是非负数，则b 的取值范围是________．解：去分母得，2x －b ＝3x －3∴x ＝3－b ∵x ≥0 ∴3－b ≥0 解得，b ≤3 又∵x －1≠0 ∴x ≠1即3－b ≠1，b ≠2则b 的取值范围是b ≤3且b ≠2．同类题型3.2 观察分析下列方程：①x ＋ 2x ＝3；②x ＋ 6x ＝5；③x ＋ 12x ＝7．请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程x ＋ n 2＋n x －4 ＝2n ＋5（n 为正整数）的根，你的答案是_________________． 解：x ＋1×2x ＝3，解得：x ＝2或x ＝1； x ＋2×3x ＝5，解得：x ＝2或x ＝3； x ＋3×4x ＝7，解得：x ＝3或x ＝4，得到规律x ＋mnx ＝m ＋n 的解为：x ＝m 或x ＝n ， 所求方程整理得：x －4＋n (n ＋1)x －4 ＝2n ＋1，根据规律得：x －4＝n 或x －4＝n ＋1， 解得：x ＝n ＋4或x ＝n ＋5．同类题型3.3 已知关于x 的方程2x －1－ a ＋1x ＋2＝ 3a(x －1)(x ＋2) 只有整数解，则整数a 的值为_____________．解：方程两边同乘以（x －1）（x ＋2）， 得：2（x ＋2）－（a ＋1）（x －1）＝3a ， 解得：x ＝2a －51－a ＝－2－31－a ，∵方程只有整数解， ∴1－a ＝3或1或－3或－1，当1－a ＝3，即a ＝－2时，x ＝－2－1＝－3，检验，将x ＝－3代入（x －1）（x ＋2）＝4≠0，故x ＝－3是原分式方程的解； 当1－a ＝1，即a ＝0时，x ＝－2－3＝－5，检验，将x ＝－5代入（x －1）（x ＋2）＝18≠0，故x ＝－7是原分式方程的解； 当1－a ＝－3，即a ＝4时，x ＝－2＋1＝－1，检验，将x ＝－1代入（x －1）（x ＋2）＝－2≠0，故x ＝－1是原分式方程的解； 当1－a ＝－1，即a ＝2时，x ＝1，检验，将x ＝1代入（x －1）（x ＋2）＝0，故x ＝1不是原分式方程的解； ∴整数a 的值为：－2，0或4．例4．[x ]表示不超过x 的最大整数．如，[π]＝3，[2]＝2，[－2.1]＝－3．则下列结论：①[－x]＝－[x]；②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；③当－1＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]的值为1或2；④x＝－2.75是方程4x－2[x]＋5＝0的唯一一个解．其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）．解：①当x＝－3.5时，[－3.5]＝－4，－[x]＝－3，不相等，故原来的说法错误；②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1是正确的；③当－1＜x＜0时，[1＋x]＋[1－x]＝0＋1＝1；当x＝0时，[1＋x]＋[1－x]＝1＋1＝2；当0＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]＝1＋0＝1；故当－1＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]的值为1或2是正确的；④x－[x]的范围为0～1，4x－2[x]＋5＝0，－5≤2x＜－7，即－2.5≤x＜－3.5，x＝－2.75或x＝－3.25都是方程4x－2[x]＋5＝0，故原来的说法错误．故答案为：②③．同类题型4.1 设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，（x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，（3.4）＝3．则不等式8≤2x＋[x]＋3{x}＋4（x）≤14的解为（）A．0.5≤x≤2B．0.5＜x＜1.5或1.5＜x＜2C．0.5＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2解：根据题意得：x＞0，若x≥2，则2x≥4，[x]≥2，3{x}≥6，4（x）≥8，不等式不成立．故只需分析0＜x＜2时的情形即可，①0＜x≤0.5时，不等式可化为：8≤2x＋0＋3＋0≤14，解得：2.5≤x≤5.5，不符合不等式；②当0.5＜x≤1时，不等式可化为：8≤2x＋0＋3＋4≤14，解得：0.5≤x≤3，因此0.5＜x≤1，符合不等式；③当1＜x＜1.5时，不等式可化为：8≤2x＋1＋6＋4≤14，解得：－1.5≤x≤1.5，因此1＜x＜1.5，符合不等式；④当1.5＜x＜2时，不等式可化为：8≤2x＋1＋6＋8≤14，解得：－3.5≤x≤－0.5，不符合不等式．故原不等式的解集为：0.5＜x＜1.5．故选C．同类题型4.2规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是___________．（写出所有正确说法的序号）①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝6；②当x＝－2.1时，[x]＋（x）＋[x）＝－7；③方程4[x]＋3（x）＋[x）＝11的解为1＜x＜1.5；④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋（x）＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．解：①当x＝1.7时，[x]＋（x）＋[x）＝[1.7]＋（1.7）＋[1.7） ＝1＋2＋2 ＝5，故①错误； ②当x ＝－2.1时， [x ]＋（x ）＋[x ）＝[－2.1]＋（－2.1）＋[－2.1）＝（－3）＋（－2）＋（－2）＝－7，故②正确； ③4[x ]＋3（x ）＋[x ）＝11， 7[x ]＋3＋[x ）＝11， 7[x ]＋[x ）＝8， 1＜x ＜1.5，故③正确； ④∵－1＜x ＜1时，∴当－1＜x ＜－0.5时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1， 当－0.5＜x ＜0时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1， 当x ＝0时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝0＋0＋0＝0， 当0＜x ＜0.5时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1， 当0.5＜x ＜1时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1，∵y ＝4x ，则x －1＝4x 时，得x ＝－13 ；x ＋1＝4x 时，得x ＝13 ；当x ＝0时，y ＝4x ＝0，∴当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋（x ）＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有三个交点，故④错误， 故答案为：②③．同类题型4.3 如果关于x 的不等式（a ＋b ）x ＋2a －b ＞0的解集是x ＜ 52 ，那么关于x 的不等式（b －a ）x ＋a ＋2b ≤0的解集是____________． 解：∵关于x 的不等式（a ＋b ）x ＋2a －b ＞0的解集是x ＜52 ， ∴x ＜b －2a a ＋b，∴b －2a a ＋b ＝52 ，且a ＋b ＜0， 即b ＝－3a ，a ＋b ＜0， ∴a －3a ＜0，即a ＞0， ∴b －a ＝－4a ＜0，∴关于x 的不等式（b －a ）x ＋a ＋2b ≤0的解集是x ≥－a －2bb －a ，∵－a －2b b －a ＝－a ＋6a －3a －a＝－54 ，∴关于x 的不等式（b －a ）x ＋a ＋2b ≤0的解集是x ≥－54 ．同类题型4.4 若关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋43＞ x 2＋1x －a ＜0解集为x ＜2，则a 的取值范围是___________． 解：由x ＋43＞x2 ＋1，得 2x ＋8＞3x ＋6， 解得x ＜2， 由x －a ＜0， 得x ＜a ，又因关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋43＞x 2＋1x －a ＜0解集为x ＜2，所以a ≥2．同类题型4.5 按如图的程序计算，若开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x 的不同值最多有___________．解：∵最后输出的数为656， ∴5x ＋1＝656，得：x ＝131＞0， ∴5x ＋1＝131，得：x ＝26＞0， ∴5x ＋1＝26，得：x ＝5＞0， ∴5x ＋1＝5，得：x ＝0.8＞0；∴5x ＋1＝0.8，得：x ＝－0.04＜0，不符合题意， 故x 的值可取131，26，5，0.8共4个．专题03 函数的几何综合问题例1．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝33x－33与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l 于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是____________．同类题型1.1 如图，直线l：y＝x＋1交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1＝OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2＝B1A2；过点B2作A3B2⊥x轴，交l于点A3，在x轴正方向上取点B3，使B2B3＝B2A3；…记△OA1B1面积为S1，△B1A2B2面积为S2，△B2A3B3面积为S3，…则S2017等于（）A．24030B．24031C．24032D．24033同类题型1.2 如图，已知直线l：y＝33x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A．（0，128）B．（0，256）C．（0，512）D．（0，1024）同类题型1.3 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝33x＋1交x轴于点B，交y轴于点A，过点A作AB1⊥AB交x轴于点B1，过点B1作B1A1⊥x轴交直线l于点A2…依次作下去，则点B n的横坐标为____________．例2．高速公路上依次有3个标志点A、B、C，甲、乙两车分别从A、C两点同时出发，匀速行驶，甲车从A→B→C，乙车从C→B→A，甲、乙两车离B的距离y1、y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象如图所示．观察图象，给出下列结论：①A、C之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点E的坐标为（7，180），其中正确的有_________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．同类题型2.1 甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度返回A地，甲车以2a千米/时的速度返回A地．设甲、乙两车与A 地相距s（千米），甲车离开A地的时间为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a＝40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t＝3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个同类题型2.2 甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．则下列结论：（1）a＝40，m＝1；（2）乙的速度是80km/h；（3）甲比乙迟74h到达B地；（4）乙车行驶94小时或194小时，两车恰好相距50km．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4。