x＝6＋2cos θ y＝2sin θ
(θ 为参数)，则此圆的半径是(
C
)
A．1
B. 3
C．2
D. 5
解析：由圆的参数方程中各系数的意义知此圆的半径为 2，故选 C.
3．曲线xy＝＝43csions
θ θ
(θ 为参数)的焦点坐标为(
D
)
A．(±3,0)
B．(±4,0)
C．(0，±5)
D．(± 7，0)
θ θ
，得 ρcos θ＝1，从而
ρ＝co1s θ，
于是圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为xy＝＝1tan θ
(－π3≤θ≤π3)．
【拓展演练 2】 (2012·吉 林 省 吉 林 市 第 二 次 模 拟 考 试 ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中，直线 l 的参数方程为：xy＝ ＝1＋2t2 2t (t 为参数)．在 以 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2 2sin(θ＋π4)． (1)将直线 l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标 方程化为直角坐标方程； (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系．
P
的坐标是(12cos
θ，
3 2 sin
θ)，
从而点 P 到直线 l 的距离是
| d＝
23cos
θ－
23sin 2
θ－
3| ＝
3 4[
2sin(θ－π4)＋2]，
由此当 sin(θ－π4)＝－1 时，d 取得最小值，且最小值为
6 4(
2－1)．
二 极坐标与参数方程的综合
【例 2】(2012·辽宁卷)在直角坐标系 xOy 中，圆 C1：x2 ＋y2＝4，圆 C2：(x－2)2＋y2＝4.
高三一轮数学理复习曲线的参数方程及其应用
第74讲 曲线的参数方程及其应用
1．(改编)直线x＝2－
5 5t
y＝1＋2
5
5 t
(t 为参数)的斜率为( C )
1 A.2
B．2
C．－2
D．－12
25 解析：由直线的参数方程得斜率为 k＝－555＝－2，故
选 C.
2 ． (2012·四 川 省 宜 宾 市 调 研 ) 已 知 圆 的 方 程 为
5．(改编)下列在曲线xy＝＝ssiinn
2θ＋1 θ＋cos
θ
(θ 为参数)上的
点是( A )
A．(14，－12)
B．(－12，14)
C．(2,1)
D．(1， 2)
解析：消去参数 θ 得普通方程 y2＝x，易知点(14，－12) 在曲线上，故选 A.
一 参数方程和普通方程的互化
【例 1】将下列参数方程化为普通方程：
【拓展演练 1】 (2012·河南省洛阳市孟津一高、灵宝一高两校联考)已
知直线 l：xy＝＝12＋3t12t
(t
为参数)，曲线
C1：xy＝＝csions
θ θ
(θ
为参数)．
(1)设 l 与 C1 相交于 A，B 两点，求|AB|； (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵 坐标压缩为原来的 23倍，得到曲线 C2.设点 P 是曲线 C2 上 的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值．
x＝cos 2θ (1)y＝sin θ
(θ 为参数)；
x＝
t－
1 t
(2)y＝3t＋1t
(t 为参数，t>0)．
解析：(1)x＝cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2y2， 又 y＝sin θ∈[－1,1]， 所以普通方程为 2y2＝1－x(－1≤y≤1)． (2)x2＝t＋1t －2＝3y－2， 其中 y＝3(t＋1t )≥3·2 t·1t ＝6， 所以普通方程为 x2＝3y－2(y≥6)．
解析：由曲线方程知椭圆的长半轴 a＝4，短半轴 b＝3， 则半焦距 c＝ a2－b2＝ 7，故焦点坐标为(± 7，0)，故选 D.
4．(改编)参数方程xy＝＝eett＋－ee－－tt (t 为参数)表示双曲线，
其离心率为( A )
A. 2 C．2
B. 3 D．3
解析：两个方程平方相减得 x2－y2＝4，表示等轴双曲线， 其离心率为 2.
则圆心
C
到直线
l
的距离
d＝|2×1－51＋1|＝2
5 5<
2，
故直线 l 与圆 C 相交．
三 参数方程的应用
【例 3】(1)两点 P、Q 在椭圆1x62 ＋y42＝1 上，O 是原点．若 OP、OQ 的斜率之积为－14，求证：|OP|2＋|OQ|2 为定值．
(2)椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)与 x 轴正向交于点 A，如果 在这个椭圆上总存在点 P，使 OP⊥AP，O 为原点，求离心 率 e 的取值范围．
解析：(1)证明：设 P(4cos α，2sin α)，Q(4cos β，2sin β)，
因为 kOP·kOQ＝－14，
(2)(方法一)由xy＝＝ρρcsionsθθ ，得圆 C1 与圆 C2 交点的直 角坐标为(1， 3)，(1，－ 3)，
故圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为xy＝＝1t (－ 3 ≤t≤ 3)．
(或参数方程写成xy＝＝1y (－ 3≤y≤ 3))
(方法二)将
x＝1
代入xy＝＝ρρcsions
解析：(1)l 的普通方程为 y＝ 3(x－1)，C1 的普通方程 为 x2＋y2＝1，
联立方程组yx＝2＋y32＝x－1 1 ， 解得 l 与 C1 的交点为 A(1,0)，B(12，－ 23)， 则|AB|＝1.
(2)C2
的参数方程为x＝21cos θ y＝ 23sin θ
(θ l 的参数方程消参后可得直线 l 的普
通方程为 2x－y＋1＝0，
由 ρ＝2 2sin(θ＋π4)，得 ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，
所以 x2＋y2－2x－2y＝0，
即圆 C 的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)由(1)知，圆 C 的圆心 C(1,1)，半径 r＝ 2，
(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分 别写出圆 C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点坐标 (用极坐标表示)；
(2)求出 C1 与 C2 的公共弦的参数方程．
解析：(1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ＝2， 圆 C2 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ， 解ρρ＝＝24cos θ ，得 ρ＝2，θ＝±π3， 故圆 C1 与圆 C2 的交点坐标为(2，π3)，(2，－π3)． 注：极坐标系下点的表示不唯一．