【内容综述】设一元二次方程 宀肚…。

佃弄°）有二实数根可和也，贝U “f 的关系, 为韦达定理。

其逆命题也成立。

韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中 数学竞赛中有着广泛的应用。

本讲重点介绍它在五个方面的应用。

【要点讲解】1. 求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。

★★例1若a , b 为实数，且以+力十l = n , “ + 十1 = （］，求石打的值。

思路注意a , b 为方程Q +覽+1 = 0的二实根；（隐含A 土 0）。

解（1）当a=b 时，（2）当说护■^时，由已知及根的定义可知，a ，b 分别是方程*打"1二D 的两根，由韦 达定理得.b d _ 盘2 +於 _ ©4对'一M)_ [-餌一*1..—4 — ---- ---------- -- -------------------- - ----------------- -- /L? h ■说明此题易漏解a=b 的情况。

根的对称多项式对，工扌 程的系数表达出来。

一般地，设 可「丁为方程宀E = D 的二根，'-卅+对，则有递 推关系。

其中n 为自然数。

由此关系可解一批竞赛题。

附加：本题还有一种最基本方法即分别解出 a ，b 值进而求出所求多项式值，但计算量 较大。

★★★例2若榊3=疏+1 ,池27-1 = 口且聊5|,试求代数式也G思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。

解：因为 宀，由根的定义知m n 为方程*-z = 0的二不等实根，再由韦达定理,这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c称之 b 电等都可以用方的值。

-I-J1 = 1 規=一.+以=强+小晴+沪）5坏-旳知4i （用1尸一 2饷7 - 2伽尸[如+一加用伽+即）]-伽『（K1 +劝L J='[1^ -3（-l ）P 一_彳-1）.1]_（-1『.1彳十1 =332. 构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，贝U 可以利用韦达定理构造以这两个字母为 根的一元二次方程。

★★★★例3设一元二次方程/ -pzq"的二实根为比和心。

（1）试求以i 和为根的一元二次方程;所以，所求方程为快-逍卄护"解之可得由②得小X 2 2x 1 0 , x 2 1 0，其中x 21 0无实数根，舍去。

其余六个方程均为所求。

3. 证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。

★★★例4已知a ，b ，c 为实数，且满足条件：富=1b ,八=必-5，求证a=b 。

证明由已知得"乃，血*+ g 。

根据韦达定理的逆定理知，以a , b 为根的关于x 的实系数一元二次方程为（2）若以J 和0''为根的一元二次方程仍为 解（1）由韦达定理知? 0卫求所有这样的一元二次方程。

（2）由已知条件可得P 三 p(p2-3q)①■ L ©(p,q ) =(0,0) , (1,0) 于是，得以下七个方程,(1,0) , (0,1)m=CI F -K = Q,(2,1) , ( 2,1)或(0,1)。

忙^+片暑+1 = 0 *-2^41 = 0由a ，b 为实数知此方程有实根。

:.A =(-冷_4牡+巧=」以>0。

••• c 20，故c=0,从而山=U 。

这表明①有两个相等实根，即有 a=b 。

说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。

另外在求得c=0后，由恒等式@ +研弋时7处可得,即a=b 。

此方法较第一种烦琐，且需一定的 跳跃性思维。

4 •研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性 等。

关于方程肚2+肚4£ = O C H D)的实根符号判定有下述定理：⑴方程有二正根, abv0, ac>0； ⑵方程有二负根73°，ab>0, ac>0； ⑶方程有异号二根U , acvo ；⑷方程两根均为“ 0”导b=c=0,侵护0;* + 2就+6-农=0的根分别满足下列条件，试求实数 a 的范 围。

解设此方程的二根为Xj -K = -2c?=, 。

⑴方程二根均大于1的条件为j （孔■ 1）+（心 ~ 1） = —2ct — 2 > 0]（工L 一 1）（工2 _ 1） = S — 口一 卜 + 1 > 0,解之得7 a 3⑵方程二根中一个大于1，另一个小于1的条件为★★★例5设一元二次方程 ⑴二根均大于1； ⑵一根大于1,另一根小于 1。

思路设方程二根分别为可， g ，则二根均大于1等价于和力J 同时为正；一根大于1,另一根小于是等价于心T 和比T异号。

4a 2 4(6 a) 0,(xi 1)(x2 1) 6 a ( 2a) 10.解之得。

a 7。

说明此例属于二次方程实根的分布问题，注意命题转换的等价性；解题过程中涉 及二次不等式的解法，请参照后继相关内容。

此例若用二次函数知识求解，则解题过程极 为简便。

5.求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。

★★★例6解方程血"凡齐*4沧“）7。

解：原方程可变形为愀 + T ）^（dx + S ）（6r+ M= 72。

令@工+ 7『=& 血刑血+ 6）7。

贝yfl + f —h) ■ 1 £?(—&)■—12由韦达定理逆定理知，以a , b 为根的一元二次方程是卜2 -$ - 73 = 0解得九■弋，F2 .9。

即a= 8或a=9。

「（张+ 7尸=◎通过［愀珂愀词"求解x 结果相同，且严谨。

..((Sr + 7^ =9 @X + 7)2 =-8强化训练★★ 1.若k 为正整数，且方程（疋-加-弼-1）" 72 = 0有两个不等的正整数根，则k 的值为★★ 2.若r^ + llx + lfi = 0 X +11尸+ 1方=0(工*)★★★ 3.已知可和勺是方程*-上亠D 的二实根，则2才+硏■5工卫=——孑。

此种方法应检验: 做词愀‘円是或否成立 （舍去）。

★★★ 4.已知方程上'+用y-期+1 = 0 （m 为整数）有两个不等的正整数根，求 m 的值。

且宀仁求证：0,盘是方程^* + 1-（^+ 0" -0的实根。

★★★★ 6.已知关于x 的方程H 小亠的二实根鼻和同满足0 +烬2 L 试求k 的值。

参考答案_ 13 =丄提示：原方程即 1^+0^- 12][（^r-l ）x-6]-D ,所以®H- （k-l ）F 知k=2, 3,4, 7。

所以k=2, 3,但k=3时原方程有二相等正整数根， 不合题意。

故k=2。

2. 提示：由x , y 为方程與2 +1闻斗16 = 0的二根，知器+F = T1 , W 于杲庾式-卜=-[R+F F -4 型3. 21提示：由讦741,上：■工汀1,峙+工厂1知,2计4 5边-3孔亿+ 1）2 + 5工2亿+1）=瓯kf 十2工]十1）十5x 孑十5“-+ 1 ++ 1） + 5仗空 + 1） + 5工2=dxi 十4<1十1叱十5=6（工1 + 1）+4X] + 10x2 ■+ 5 =10（巧 + 习）十 L =21★★★★ 5.已知：購和/「为方程 dpW-Q 及方程kB 级加 +”'丁＜ 士孑"+ 0的实根，其中n 为正奇数, 1 由2恥知 k=1, 2, 3,5, 11;由消去m 得(空-L)曲-1)・习。

则卜_ 1 = 1|且严1 M 2。

「E =3, 』r=3。

故用-斗《 + 0)--5。

5.由韦达定理有 卄少-P ，讣 J又』+ 2讨=0 产”捫= D 。

J 宀护“00料护将心少咽代入有卅+ P” -依斗冏―0。

f4-1- -+1y J4 .设二个不等的正整数根为 H|,力1&<0)K+ P= 一用，，由韦达定理，有［叩一用"二式相减得从而序」同理=0宀1-(工+护-0的根。

6 .当时，可知1，所以 14 k 3 12k 2，当时，易证得宀炉。

从而出‘为方程尹-笼"=0的二不同实根。

二起2+02 M3/护三址。

于是4 =佃+ 0『三C? + 0，+ 2BS^= 3+ 2哪r =q k = CX^ 护=(cx^y = E,。

k = L宀一3F + i = 0当4时，方程为 4 。

解得茂=1卫0」取；,兀即能符合题意，故k的值为4。