张喜林制2.2 超几何分布教材知识检索考点知识清单1．-般地，若一个随机变量X 的分布列为,)(Nr n MN r M C C C r X P --==其中},,min{,,,3,2,1,0M n l l r == ,,,,,+∈≤≤N N M n N M N n 则称X 服从超几何分布，n Nrn MN r M C C C r X P --==)(中的N 代表 ，M 代表 ，n 代表 ，r 代表2．对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件次品，从中随机取出的n 件产品中，次品数x 的概率分布如下表所示：则① ，② ，③ ，④ ．要点核心解读1．超几何分布的概念(1)-般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件}{r X =发生的概率为==)(r X P n Nr n MN r M C C C --,,,2,1,0l r =（其中},,min{n M l =且,,,n N M N n ≤≤),,+∈N N M 称该分布列为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．(2)超几何分布这一模型在高考、统考中应用广泛，在使用时要注意以下几点：①可以借助概率分布，观察其中的规律，再把这种规律推广到一般情形，即求出从含有M 件次品的)(M N N ≥件产品中任取n 件，取到次品数X 的概率分布，而不必生搬硬套公式（容易记错）．②要注意解释超几何分布的引入背景．如“在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品……”，这里“任取n 件”等价于从所有的产品中依次不放回地任取n 件，③思考在一般情况下表示次品件数的随机变量x 的取值范围是什么，以得到概率分布列的完整的解析表达式==)(r X P ,,,2,1,0,l r C C C n Nr n MN r M =--其中}.,min{M n l =解题时要标明随机变量的取值范围． 2．超几何分布的应用(1)超几何分布是一种常见的随机变量的分布，要熟记公式，正确应用公式解题．(2)超几何分布主要运用排列组合知识来解决X 可能取值的概率，即有条件的排列组合与无条件的排列组合的比值．(3)在实际生活中，随机变量的概率分布列应用十分广泛，利用它可以解决很多问题，如求某些事件的概率，利用它解决几何概型问题等．具体来说，其典型应用是描述产品抽样中的次品数的分布规律和用来研究学生熟悉的不放回摸球游戏中的某些概率问题．3．几何分布（拓展知识点）超几何分布使用的是不放回抽样，但是在许多实际问题中，也有一些放回抽样的问题，其中比较典型的有产品中首次抽到次品的抽查次数、讨论射击时首次命中目标的射击次数等，这里体现出的就是另一种典型分布——几何分布，下面给出定义：在每次试验中，若事件A 发生的概率为p ，则A 发生的概率为q=l -p ，则事件A 首次发生的试验次数X 是一个随机变量，它的可能取值为1，2，…，k ，…，其分布列为这类分布称为几何分布．我们称X 服从几何分布，并记,),(1p qp k g k -=其中-=1q ,3,2,1,=k p典例分类剖析考点1 超几何分布的应用 命题规律(1)产品抽样中的次品数的分布规律； (2)不放回摸球中的某些概率问题．[例1] 在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； (2)至少取到1件次品的概率．[解析] (1)求随机变量的分布列，首先要确定X 的可能取值，而x=0，1，2，3；最后求出相应的概率,5)(31395ωC C C k X P kk ==.;.3,2,1,0=k 最后用表格表示；(2)求)1(≥X P 的概率就是根据所求分布列，将)3(),2(),1(===X P X P X P 的值相加．[解] (1)由于从100件产品中任取3件的结果数为,3100C 从100件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为,k3955-C C k 那么从100件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的概率为.3,2,1,0,)(31003955===-k C C C k X P kk 所以随机变量X 的分布列是(2)根据随机变量X 的分布列，可得至少取到1件次品的概率)1()1(==≥X P X P P X P +=+)2(≈++==310095353119525310029515)3(C C C C C C C C C X ω.14400.000006.000588.013806.0=++[点拨] 解决此类问题时首先判断随机变量X 是否服从超几何分布，若服从，n ，M ，N 分别等于多少．母题迁移1．设有产品100件，其中有次品5件，正品95件，现从中随机抽取20件，求抽到次品件数ξ的概率分布．[例2] 盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数x 是一个随机变量，求x 的概率分布．[错解] 任取3个用后放回盒中，此时盒中旧球的个数x 的可能取值为4，5，6.,22027)4(3122319===C C C X P ,5527220108)5(3121329==== C C C X P ⋅====552122084)6(1239C C X P所以X 的概率分布表如下：[错解分析] 随机变量X 的取值确定不全，丢掉了3=X 的情况．[正解] 由题意，盒中共有12个球，9个新球，3个旧球，任取3个用后放回盒中，此时盒中旧球的个数X 的可能取值为3，4，5，6．;2201)3(31233===C C X P;22027)4(3122319===C C C X P ;5527220108)5(3121329====C C C X P ⋅====552122084)6(1239C C X P所以X 的概率分布表如下：[方法指要] 求完概率分布后，要注意利用概率分布的性质进行检验．[例3] 某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．[解析] 摸到的红球个数X 服从超几何分布，根据超几何分布的公式即可计算出中奖的概率． [解] 根据题意，摸到的红球个数X 为随机变量，且X 服从参数为5,10,30===n M N 的超几何分布，它的可能取值为0，1，2，3，4，5，则可得至少摸到3个红球的概率为+==+=+==≥--530351030310)5()4()3()3(C C C X P X P X P X P +--530451030410C C C 530551030510C C C --.1912.0≈故中奖的概率约为0.1912．[点拨]要注意中奖的概率是指54,3===X X X 和的概率和，不要只计算3=X 的概率． 母题迁移 2．老师要从10篇课文中随机抽取3篇让学生背诵，规定至少要背出其中的2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布（可用算式表示）； (2)他能及格的概率． 考点2 几何分布 命题规律不放回抽样中第一次抽到次品（或第一次摸到某球）的次数．[例4] -袋中装有1个红球和9个白球，每次从袋，中任取一球，取后放回，直到取到红球为止，求取球次数x 的概率分布．[解] X 的所有可能取值为1,2，…，n ，…．令i A 表示第i 次取到红球，由于各次取球互不影响，且取到红球的概率=p ,1.0于是得)()1(1A P X P ==)2(,1.0==X P ==)(21A A P 1.09.0)()(21⨯=A P A P...09.0，=.)()()()()(321121 A P A P A P A A A A P i X P i i ===-=-)()(1i i A P A P )...1)1)(1(p p p ---（ ⨯=-9.0)1(p p .1.09.01.09.09.09.01⨯=⨯⨯⨯⨯-i所以其概率分布为[点拨] 本题就是一个典型的几何分布问题，母题迁移 3．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为,43遇到红灯（禁止通行）的概率为⋅41假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，X 表示停车时已经通过的路口数，求：(1)X 的概率分布；(2)停车时最多已通过3个路口的概率．优化分层测训学业水平测试1．有20个零件，其中有16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是( )．32024116.C C C A 32024216.C C C B 32031614216.C C C C C +⋅ D ．以上均不对 2．玉树大地震的四川救援队中有一支12人的医疗支队，其中有一对夫妻，现将这支医疗支队平均分为两组开展工作，则这对夫妻恰好分到同一组的概率为( )．612410.C C A 6124102.C C B 6124102.C C C 612610.C C D 3．下列说法：(1)在超几何分布中，只要知道N 、M 和n 就能列出X 的分布列；(2)超几何分布中，X 的取值只能是自然数；(3)超几何分布中，总物品种类只能为2类．其中正确的个数是( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们选修不同课程的概率是 （结果用分数表示） 5．（2010年宜昌模拟题）袋中有7个球，其中4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X 的概率分布及不少于2个红球的概率，高考能力测试（测试时间：60分钟测试满分：100分） 一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）1．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于6123735C C C 的是( )． )2(.=X P A )3(.=X P B )2(.≤X P C )3(.≤X P D2．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示这10个村庄中交通不太方便的村庄数，则下列概率中等于10156847C C C 的是( )． )2(.=ξP A )2(.≤ξP B )4(.=ξP C )4(.≤ξP D3．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么103等于( )． A ．恰有1个是坏的的概率 B ．恰有2个是好的的概率 C.4个全是好的的概率， D ．至多有2个是坏的的概率 4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以107为概率的事件是( )． A ．都不是一等品 B ．恰有1件一等品 C ．至少有l 件一等品 D ．至多有1件一等品5．在超几何分布公式n Nm n MN m M C C C m X P --==)(中，有( )． 0.≤m A N M B ≤. 10.≤≤m C 0)0(.==X P D二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）6．从有3个黑球、5个白球的盒中随机取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是 ．7．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中随机取出2个球，则其中红球个数X 的可能取值为 ；P(X=2)= ．8.某人对一目标进行射击，每次的命中率都是0.25，若要使至少命中1次的概率不小于0.75，则至少射击____次．三、解答题（共60分） 9．（14分）（2010年湖北省部分重点中学第二次联考题）袋中有大小相同的5个球，其中黑球3个，白球2个，甲、乙二人分别从中各取一个，甲先取（不放回）乙后取，规定：两人取到同颜色的球则甲胜，取到不同颜色的球则乙胜．(1)分别求甲、乙取到黑球的概率；(2)甲、乙二人谁胜的概率大？请说明理由． 10.（14分）设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中随机抽取5件，求抽得次品件数ξ的分布列．11.（16分）一产品分为一、二、三级，一批产品中，一级品是二级品的2倍，三级品是二级品的,21从这批产品中随机抽取一件检验质量，其级别为321、、（=ξξ分别表示抽取到一级品、二级品、三级品），求ξ的概率分布表及).1(>ξP12.（16分）（2009年天津高考题）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列 ；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率，参考答案。