2.2椭圆及其标准方程教材知识检索考点知识清单1． ① 叫做椭圆， ② 叫钕椭圆的焦点，③ 叫做椭圆的焦距．2．集合语言叙述为：点集=+=|||||{21MF MF M P ④ |}.|2,21F F a > 3．焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 ⑤ ，焦点1F ⑥ ，焦点2F ⑦ 4．焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 ⑧ ，焦点1F ⑨ ，焦点2F ⑩ 5．椭圆方程的一般式为222.6c b a 、、之间的关系式为 ，a 与c 的关系为7．在两种标准方程中，总有,0>>b a 如果2x 项的分母大，焦点在 轴上；如果2y 项的分母大，焦点在 轴上．8．a 表示椭圆上的点到两焦点距离之和的 ，c 是 的一半，叫做 ．9．平面内动点与两定点21F F 距离之和等于常数>a a （2,0）当2a ||21F F 时，动点的轨迹是椭圆；当2a ||21F F 时，动点的轨迹是一条线段；当2a ||21F F 时，动点的轨迹不存在．要点核心解读一、椭圆的定义[实验] 在平坦的纸面上钉两个大头针，分别位于点、1F ⋅2F 将一条细线两端连接起来做一个圈，细线应当足够长，使得做成的圈的周长p 大于|,|221F F 因而可以将两个大头针围起来，并且还有余地．用铅笔尖在任何一个位置P 将细线圈绷紧，成为一个三角形⋅21F PF 将铅笔尖沿着细线圈移动，移动过程中也始终使细线圈绷紧．观察铅笔尖在移动过程中在纸面上画出的细线形状，如图2 -2 -1所示．观察发现铅笔尖所画曲线就是我们在实验中所观察到的椭圆，铅笔尖的位置P 在移动过程中到两点21F F 、的距离之和||||21PF PF +始终等于|,|21F F p -保持不变，我们根据这个几何性质来定义椭圆．定义：平面上，到两个定点21F F 、的距离之和为固定值（大于||21F F )的点的轨迹是椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为焦距，用集合语言叙述为“点集,2|||||{21a MF MF M P =+=|},|221F F a >其中两定点21F F 、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距”．[注意] (1)只有当||221F F a >时，动点M 的轨迹才是椭圆：而当||221F F a <时，动点M 的轨迹不存在：当||221F F a =时，动点M 的轨迹是线段⋅21F F(2)定义的双向运用：一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上的点一定满足定义的条件（即到两焦点的距离之和为2a ）． 二、椭圆的标准方程1．椭圆标准方程的推导思想首先要建立坐标系．曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单，必须注意坐标系的选择要恰当．怎样选择恰当的坐标系，需要根据具体情况来确定．一般情况下，应注意使已知点的坐标和直线（曲线）的方程尽可能简单．在求椭圆的标准方程时，注意到图形的对称性，不难想到使x 轴经过两个定点,21F F 、并且使原点与线段21F F 的中点重合，这样，两个定点的坐标比较简单，便于推导方程.在求方程时，设椭圆的焦距为),0(2>c c 椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为),0(2>a a 当然a>c ．这是为了使焦点及长轴的两个端点的坐标不出现分数形式，以便使导出的椭圆方程形式简单． 其次，带根式的方程的化简是感到困难的地方．特别是 由M 适合的条件所列出的方程为两个根式的和等于一个非零常数的形式，化简时要进行两次平方，方程中字母超过3个，且次数高、项数多，初中代数中没有做过这样的题目．一般来说，带有根号的方程化简应注意以下两点：(1)方程中有一个根式时，需将它单独留在方程的-边，把其他各项移到另一边；(2)方程中有两个根式时，需将它们分散，放在方程的两边，使其中一边只有一个根式．最后，教材中得出方程)0(12222>>=+b a b y a x 后，还证明了以方程)0(12222>>=+b a by a x 的解为坐标的点),(00y x M 都在椭圆上，这是因为不作这样的证明，有可能得到的方程所表示的曲线含有椭圆以外的点，但在一般情况下，求曲线方程时，只要化简过程中是等价的，都把这个证明省略了．2．椭圆标准方程的把握(1)这里的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴．(2)标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴，焦点在x 轴时，标准方程为);0(122>>=+b a by a x 焦点在y 轴时，标准方程为⋅>>=+)0(12222b a b x a y (3)标准方程中的两个参数a 和b 确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．(4)椭圆的两种标准方程中，如果2x 的分母大，焦点就在x 轴上；如果2y 的分母大，则焦点就在y 轴上，这是椭圆的定位条件．(5)椭圆的方程中，a 、b 、c 三者之间a 最大且满足.222c b a +=[注意] (l)要熟记a 、b 、c 三个量的关系．椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图2 -2 -2帮助记忆，a 、b 、c （都是正数）恰构成一个直角三角形的三条边a 是斜边，所以a>b ，a>c 且,222c b a +=其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．(2)椭圆)0(1,122222222>>=+=+b a bx a y b y a x 的相同点为它们的形状、大小都相同，都有0>>b a和;222c b a +=不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同．(3)方程C B A C By Ax (22=+均不为零且)B A =/表示椭圆的条件为方程C By Ax =+22可化为,122=+C By C Ax 即.122=+BCy A C x 所以只有A 、B 、C 同号且B A =/时，方程表示椭圆． 当B C A C .>时，椭圆的焦点在x 轴上；当BCA C <时，椭圆的焦点在y 轴上， (4)椭圆的焦点总在长轴上，因此可通过标准方程判断焦点的位置，其方法是：看22y x 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上，三、求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：(1)待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a 、b ，即“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：、（m ny mx 122=+⋅=/>)0n m n 且(2)定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”，利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．[警示] 在没明确椭圆焦点位置的情况下，椭圆的标准方程有两个，此时易错地方是考虑问题不全面，求出a 、b 后就想当然地认为椭圆的标准方程是⋅>>=+)0(12222b a ba x γ突破方法是：记住求椭圆标准方程的步骤：两定一写，即定a 、b 值，定焦点位置，然后再写出标准方程，则可有效地防止此类错误的发生．典例分类剖析考点1椭圆的定义 命题规律1．判定到两定点距离之和为定值的动点轨迹的曲线类型． 2．利用椭 圆的定义求曲线方程．3．利用椭圆上任意一点到两焦点距离之和为定值分析解决问题．[例1] 若动点M 到两个定点21F F 、的距离的和为定值m ，则M 的轨迹是( )． A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．以上都不对[解析] 由于m 与||21F F 的大小关系不能确定，因此M 的轨迹有可能是椭圆，也有可能是线段，还有可能不存在．故选D ．[答案]D[误区警示] 在这里容易错误地选A ，究其原因是没有注意到椭圆定义的限制条件.||221F F a >母题迁移．1.下列说法中正确的是( )．A ．已知),0,4()0,4(21F F 、-到21F F 、两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知),0,4()0,4(21F F 、-到21F F 、两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆C ．到)0,4()0,4(21F F 、-两点的距离之和等于点M(5，3)到21F F 、的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．到)0,4()0,4(21F F 、-距离相等的点的轨迹是椭圆[例2] 椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和,2F 点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么||1PF 是||2PF 的( )．A.7倍B.5倍C.4倍 D ．3倍 [解析] 不妨设),0,3(),0,3(21F F -由条件知),23,3(±P 即,23||2=PF 由椭圆定义知==+a PF PF 2||||21=||,341PF ,23||,2372=PF 即.||7||2PF PF l =故选A ．[答案] A[点拨] 由椭田的定义可知，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为定值2a.利用这一性质，可使椭田的有些问题获得简捷的解法.母题迁移 2．(1)（2008年浙江高考题）已知21F F 、为椭圆+252x 192=y 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若,12||||22=+B F A F 则=||AB(2)（2010年上海春季高考题）若椭圆1162522=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离为6，则点P 到另一个焦点2F 的距离是[例3] 在△ABC ，中，BC= 24，AC 、AB 边上的中线长之和等于39，求△ABC 的重心的轨迹方程． [解析] 有一定长线段BC ，两边上的中线长也均与定点B 、C 和△ABC 的重心有关系，因此考虑以BC 的中点为原点建立直角坐标系？[答案] 如图2 -2 -4所示，以线段BC 所在直线为x 轴、线段BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系. 设M 是△ABC 的重心BD 是AC 边上的中线，CE 是AB 边上的中线，由重心的性质知|,|32||BD BM =.||32||CE CM =于是=+=+||32||32||||CE BD MC MB =+|)||(|32CE BD .24||263932=>=⨯BC 根据椭圆的定义知，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，.13,26||||2=∴=+=a MC MB a又.12,24|2=∴==c c c ω.25121322222=-=-=∴c a b 故所求的轨迹方程为).0(12516922=/=+y y x [点拨] 解本题的关键是由三角形中线的性质推导出动点M 到两个定点距离之和为定值．由椭固定义可判定所求的轨迹为椭圆，由椭圆标准方程可知，求重心轨迹方程只需确定a 、b 的值即可．母题迁移 3．如图2—2—5所示，在圆25)1(:22=++y x C 内有一点A(l ，0).Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C 、Q 的连线交于点M ，求M 点的轨迹方程．考点2椭圆的标准方程 命题规律1．确定椭圆的方程所表示曲线的类型．2．由给出定形条件（即确定焦点位置）的椭圆标准方程确定有关参数的取值范围．3．由椭圆的标准方程读出相关信息．[例4] 椭圆13610022=+y x 的焦距是____，焦点坐标是 ；若AB 为过椭圆的一个焦点1F 的一条弦，2F 为另一个焦点，则2ABF ∆的周长是[解析] 比较方程13610022=+y x 与焦点在x 轴上的椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 可知： .36,10022==b a,64222=-=∴b a c,162,8=∴=∴c c∴ 两焦点为⋅-)0,8(),0,8(21F F不妨设1F 为椭圆的左焦点，由图2 -2 -6及椭圆的定义可知，2ABF ∆的周长为||||||22BF AF AB ++|)||(||)||(|2121BF BF AF AF +++=.40422==+=a a a[答案] 40.....)0,8(),0,8(....1621F F -[点拨] 由椭圆的标准方程可以读出有关信息，如a 、b 的值和焦点的位置，进而可以解决有关问题，因此我们应准确把握椭圆的标准方程，并从中读出有关信息． [误区警示] 本题易错的是：误认为.36,100==b a母题迁移 4．(1)椭圆)0(5522>=+k ky x 的一个焦点是(0，2)，那么k=(2)（2010年福建高考题）若点0和点F 分别为椭圆+42x 132=y 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则⋅.的最大值为( )．A.2 B ．3 C ．6 D.8[例5] 当3 <k<9时，指出方程13922=-+-k y k x 所表示的曲线． [答案]09,93>-∴<<k k 且.03>-k(1)若,39->-k k 即 63<<k 时，则方程表示焦点在x 轴上的椭圆； (2)若,39-=-k k 即6=k 时，则方程表示圆;322=+y x(3)若,39-<-k k 即96<<k 时，则方程表示焦点在y 轴上的椭圆．[感悟] 一方面，确定椭圆的标准方程，需要知道定形条件（知道a 、b 的值）和定位条件《焦点在哪个坐标轴上）；反过来，给出了椭圆的标准方程后，也可以从中读出相关信息．[误区警示] 本例易错地方是没有讨论”“6=k 以及焦点在哪个坐标轴上，母题迁移 5．如果方程)0(222>=+k ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是考点3求椭圆标准方程命题规律1．给出所求轨迹为椭圆求其标准方程． 2．由定义判定所求轨迹为椭圆求其方程．3．不能确定所求轨迹为椭圆，用求轨迹方程的常用方法求其方程． [例6] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为（-4，0）和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0).[解析] 求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出适合题意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定出a 和b 的值即可．[答案] (1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴ 设它的标准方程为⋅>>=+)0(12222b a by a x,10)45()45(2=-++=a.5=∴a 又.91625,4222=-=-=∴=c a b c故所求椭圆的方程为.192522=+y x (2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴ 设它的标准方程为⋅>>=+)0(12222b a bx a y由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴.1,4110,104222222b a b a b a故所求椭圆的方程为[规律] 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤如下：(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上还是在y 轴上，还是两个坐标轴上都有可能；(2)设方程：依据上述判断设方程为12222=+b y a x 或12222=+ay b x 或，且0,0(122>>=+n m ny mx)n m ≠(3)寻关系：依据已知条件，建立关于a 、b 、c 或m 、n 的方程组；(4)得方程：解方程组，代入所设方程即为所求．母题迁移 6．求焦点在坐标轴上，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆的标准方程． [例7] 如图2-2 -7所示，设点A 、B 的坐标分别为（-5，0）、(5，0).直线AM 、BM 相交予点M ，且它们的斜率之积是,94-求点M 的轨迹方程，[解析] 设点M 的坐标为(x ，y)，那么直线AM 、BM 的斜率就可以用含x ，y 的式子表示．由于直线AM 、BM 的斜率之积是,94-因此可以建立x 、y 之间的关系式，得出点M 的轨迹方程． [答案] 设点M 的坐标为（x ≥y ），因为点A 的坐标是（-5，O ），所以直线AM 的斜率),5(5-=/+=x x yk AM 同理，直线BM 的斜率⋅=/-=)5(5x x yk BM 由已知有),5(9455±≠-=-⋅+x x y x y 化简，得点M 的轨迹方程为⋅±=/=+)5(191002522x y x [点拨] 动点的轨迹方程就是动点的横坐标x 和纵坐标y 所满足的方程（即关系式），因此求动点的轨迹方程时，首先要找到一个几何等式(如本例中94-=⋅BM AM k k )，再把其中的量用x 、y 表示出来，从而得到关于x 、y 的方程，即为所求的轨迹方程，母题迁移 7．椭圆1922=+y x 上有动点21,,F F P 是椭圆的两个焦点，求21F PF ∆的重心M 的轨迹方程．考点4 椭圆的综合问题 命题规律1．与椭圆焦点三角形（以椭圆上的点与两焦点为顶点的三角形）有关的问题．2．与椭圆有美的最值问题． 3．椭圆的实际应用问题．[例8] 已知P 为椭圆191622=+y x 上的一点，21F F 、是两个焦点，,6021 =∠PF F 求21PF F ∆的面积．[答案] 在椭圆191622=+y x 中，,3,4==b a 所以,7=c 点P 在椭圆上，所以.722||21==c F F .8||||21=+PF PF ①在21F PF ∆中，由余弦定理得.2860cos ||||2||||112221=⋅-+o PF PF PF PF ②由②①-2得,12||||21=⋅PF PF 所以.||||2121PF PF S ⋅=.3360sin = [点拨] (1)解决椭圆焦点三角形有关问题的关键在于充分利用椭圆的定义以及余弦定理、正弦定理．o 般地，仅与21PF F ∠有关的问题，应注意余弦定理的运用；若与21F PF ∠或12F PF ∠有关的问题，则应注意正弦定理的运用．(2)由本例可以得到一般的结论：设，P 是椭圆=+2222by a x )0(1>>b a 上的一点．,21θ=∠PF F则⋅⋅=∆2tan221θb S F PF(3)本例中将||.||21PF PF 作为一个整体来求减少了运算量，这种整体求解、整体代入的方法，值得领悟．母题迁移 8．已知椭圆)0(12:2.2>>=+b a by a x E 的左、右焦点分别为,2F F l 、点P 在椭圆E 上，.221θ=∠PF F(1)求21PF F ∆的面积S ； (2)研究21PF F ∠的变化规律．[例9] 已知l F 为椭圆459522=+y x 的左焦点，P 为椭圆上半部分上任意一点，A(l ，1)为椭圆内一点，求||||1PA PF +的最小值．[答案] 由椭圆方程,459522=+y x 可知,5,922==b a ,42=c 左焦点),0,2(1-F 右焦点),0,2(2F 如图2 -2 -8所示．P 为椭圆上半部分上一点，由椭圆定义有.6||||21=+PF PF而-=-++=+6||||||||||||2211PF PF PA PF PA PF |).||(|2PA PF -在2PAF ∆中，|,||||||,|||222AF PA PF PA PF <->当且仅当2F A P 、、三点共线时，.2||||||22==-AF PA PF 所以当、P 2F A 、三点共线时，||||1PA PF +有最小值为.26-[点拨] 本题的解法充分利用了椭圆的定义以及三角形中两边之差小于第三边的理论，在处理过程中运用了转化的数学思想．母题迁移 9．设P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任一点，1F 为椭圆的一个焦点，求||1PF 的最大值和最小值．[例10] 若实数x 、y 满足,13422=+y x 求y x 2+的取值范围． [答案] 由题意，可设,sin 3,cos 2αα==y x则+=+=+=+αααααsin(4)cos 21sin 23(4sin 32cos 22y x ],4,4[)6-∈π 故所求y x 2+的取值范围为].4,4[-[点拨] 一般地，若设,s i n ,c o s ααb y a x ==则=+2222b y a x .1sin cos 22=+αα因此点)s i n ,c o s (ααb a —定是椭圆12222=+b y a x 上的一点；反过来，对于椭圆12222=+b y a x 上任意一点，一定存在一个α，使得.sin ,cos ααb y a x ==利用这一结论可使椭圆的有些问题转化为三角函数的问题，从而得到简捷的解法．母题迁移 10.椭圆14322=+y x 上点P 到直线--y x 308=距离的最小值为优化分层测训学业水平测试1．已知椭圆191622=+y x 上一点M 到椭圆的一个焦点的距离为2，则点M 到另一个焦点的距离为( )．1.A2.B 4.C 6.D2．若椭圆1222=+ky kx 的一个焦点为（0，-4），则k 的值为( )．321.A 81.B 8.C 32.D3．椭圆125922=+y x 的焦点为AB F F ,21、是过椭圆1F 的弦，则2ABF ∆的周长为．4．若方程13)1(222=+-y x k 是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围为5．已知),0,2(),0,2(N M -若,6||||=+PN PM 则P 点的轨迹方程为____；若,4||||=+PN PM 则P 点的轨迹方程为6．椭圆的右焦点为),0,3(F 与两坐标轴正向的交点为A 、B ，且,3||=AB 求椭圆的标准方程．高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项）1．下列说法中正确的是( )．A ．已知),0,6()0,6(21F F 、-到21F F 、两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆B ．已知),0,6()0,6(21F F 、-到21F F 、两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆C ．到点)0,6()0,6(21F F 、-两点的距离之和等于点M(10，0)到21F F 、的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．到点)0,6()0,6(21F F 、-距离相等的点的轨迹是椭圆2．已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到其中一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为( )． A ．2 B ．3 C.5 D ．73．已知椭圆1422=+y x 上一点P 的横坐标为,3-则点P 的坐标为( )． )21,3.(-A )21,3.(-B 或)21,3(-- )21,3.(--c )3,21.(-D 或)3,21(--4．满足条件5,13==c a 的椭圆的标准方程为( )．1144169.22=+y x A 1144169.22=+x y B 1144169.22=+y x C 或114416922=+x y D ．不确定5．如果方程16222=++a y ax 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )． 3.>a A 2.-<a B 23.-<>a a C 或 263..-<<->a a D 或6．直线1+=kx y 与椭圆1522=+m y x 总有公共点，则m 的取值范围是( )． 1.>m A 1.≥m B 或10<<m 1.≥m C 且5=/m 50.<<m D 且1=/m7．（2008年上海高考题）设P 是椭圆1162522=+y x 上的点．若、1F 2F 是椭圆的两个焦点，则||||21PF PF + 等于( )．4.A5.B 8.C 10.D8．（2009年陕西高考题）,,0>>n m 是“方程122=+ny mx 表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案须填在题中横线上）9．若),2,0(πα∈方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是10.把椭圆191622=+y x 的每个点的横坐标缩短到原来的,41纵坐标缩短到原来的,31则所得曲线方程为11.（2008年浙江高考题）已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若 =+||||22B F A F =||,12AB 则12.（2009年北京高考题）椭圆12922=+y x 的焦点为,,21F F 点P 在椭圆上，若,4||1=PF 则=||2PF 21;PF F ∠的大小为三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.在椭圆13422=+y x 上，是否存在点P ，使P 与椭圆的两个焦点连线互相垂直？若存在，求出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．14.如图2-2 -9所示，已知21,F F 是椭圆13610022=+y x 的两个焦点． (1)求椭圆的焦点坐标；(2)过1F 作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求2ABF ∆的周长．15.船上两根高7.5m 的桅杆相距15m ，一条30m 长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图2 -2 -10所示的方式绷紧，假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点P 到桅杆AB 的距离（提示：建立如图2-2 -10所示的直角坐标系）．16. (2011年全国高考题)如图2-2 -11，已知0为坐标原点，F 为椭圆12:22=+y x C 在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线L 与C 交予A 、B 两点，点P 满足.00=++(1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．。