张喜林制2.8 正态分布教材知识检索考点知识清单1．正态分布是现实中最常见的分布，它有两个重要的参数；均值μ和方差),0(2>σσ通常用 表示X 服从参数为2σμ和的正态分布，其中μ 是总体的 .,σ是总体的 2．正态分布密度函数满足以下性质： (1)函数图像关于直线 对称．)0()2(>σσ的大小决定函数图像的 =+<<-)()3(σμσμX P =+<<-)22(σμσμX P =+<<-)33(σμσμX P要点核心解读1．正态密度曲线正态变量概率密度曲线的函数表达式为,,21.)(22)(R x ex P u x ∈⋅=--σσπ其中σμ,是参数，且.,0R ∈>μσ上式中的参数σμ和分别为正态变量的数学期望和标准差．正态变量概率密度函数的图像叫做正态密度曲线．[注意] (1)由上述函数特点知，随机变量X 落在区间(a ，b)的概率为),()(~)(x d x P b X a P ba⎰<<也就是说，由正态密度曲线，分别过点(a ，0)，(b ，0)的两条垂直x 轴的直线及x 轴所围成的平面图形的面积，就是X 落在区间(a ，6)的概率的近似值，如图2-8 -1所示． （续）(2)曲线与x 轴之间的面积为1． 2．正态分布若X 是一个随机变量，对任给区间)(],,(b x a P b a ≤<恰好是正态密度曲线下方和x 轴上（a ，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为2σμ和的正态分布，简记为).,(~2σμN X[注意] (1)正态分布完全由参数σμ和确定，所以正态分布常记作),,(2σμN 如果随机变量X 服从正态分布，则记作⋅),(~2σμN X 我们把1,0==σμ的正态分布叫做标准正态分布．(2)正态分布是自然界中最常见的一种分布，在理论研究和实际应用中都有非常重要的作用．(3)在实际中，如果一个随机变量是由众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素所引起的，则它服从或近似服从正态分布．(4)参数σμ和可分别用样本的均值（期望）和标准差去估计， 3．正态密度曲线的性质从正态密度曲线图像可以看出，正态密度曲线具有以下性质： (1)曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交，且关于直线μ=x 对称；(2)曲线在μ=x 时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”． 性质(1)说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x 轴）．并且说明了函数具有对称性；性质(2)说明了函数在μ=x 时取最值；性质(3)说明σ越大，总体分布越分散，σ越小，总体分布越集中．4．随机变量取值的概率与面积的关系若随机变量ξ服从正态分布),,(2σμN 那么对于任意实数),(b a b a <、当随机变量ξ在区间（a ，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线b x a x ==,以及x 轴所围成的图形的面积相等，如图2 -8 -3(1)中的阴影部分的面积就是随机变量ξ在区间（a,b]上取值的概率，一般地，当随机变量在区间),(a -∞上取值时，其取值的概率是正态曲线在a x =左侧以及x 轴围成图形的面积，如图2 -8—3(2)．随机变量在),(+∞a 上取值的概率是正态曲线在a x =右侧以及x 轴围成图形的面积，如图2 -8—3(3)．根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解． 5．标准正态分布将正态分布X —N(O ，1)称为标准正态分布，相应的函数表达式为：).,(,21)(22+∞-∞∈=-x ex P x π说明：(1)由于标准正态总体N(O ，1)在研究中占有非常重要的地位，为此专门制作了标准正态分布表（见教材附表1）．在这个表中，对应于0X 的值)(0X Φ是指总体取值小于0X 的概率，即⋅≤=Φ)()(00X X P X (2)由于标准正态曲线关于y 轴对称，表中仅给出了对应于非负值0X 的值).(0X Φ如果,00<X 那么易由图形得⋅-Φ-=Φ)(1)(00X X (3)利用这个表，可求出标准正态总体在任一区间),(21x x 内取值的概率，例如：它在（-1，2）内的取值的概率是：+Φ=--Φ--Φ=-Φ-Φ=)2()]}1([1{)2()1()2(P 9772.01)1(=-Φ.8185.018413.0=-+6．非标准正态分布与标准正态分布的转化(1) -般正态分布),(2σμN 均可化为标准正态分布N(O ，1)来研究，例如，对任意一正态分布),(~2σμN X 来说，只需作变换σμ-=X Z 就可使一般正态分布转化为标准正态分布~Z ⋅)1,0(N(2)对于正态分布),,(2σμN 取值小于等于x 的概率)(x X P ≤等于),(σμ-Φx 即⋅-Φ=≤)()(σμx x X P ≤<X x P 1(),()().122σμσμ-Φ--Φ=x x x 其中μ为正态分布的数学期望，即σμ),(X E =为正态分布的标准差，即⋅=)(X V σ7．三个概率值从正态曲线可以看出，对于固定的σμ和而言，随机变量取值在),(σμσμ+-上取值的概率随着σ的减小而增大．这说明σ越小，X 取值落在区间),(σμσμ+-的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大，理论上已经证明，当),(~2σμN X 时，X 在区间+-μσμ,(σμσ2(),-),2,σμ+)3,3(σμσμ+-内取值的概率分别是,9974.0,9544.0,6826.0即,6826.0)(=+≤<-σμσμX P μσμ≤<-X P 2（ μσ(,9544.0)2P =+=+≤<-)33σμσX .9974.0以上几个概率值在实际生产生活中具有重要的应用，σ3.8原则由于随机变量在),(+∞-∞内取值的概率是1，由上所述，容易推出，它在区间)2,2(σμσμ+-之外取值的概率是4.6%，在区间)3,3(σμσμ+-之外取值的概率是0.3%．于是，随机变量的取值几乎都在距μ=x 三倍标准差之内，这就是正态分布的σ3原则．9．小概率事件及其应用正态总体中的小概率事件：正态总体),(2σμN 在区间-μ（)3,3σμσ+之外取值的概率很小（大约只有0.3%），因此称在区间)3,3(σμσμ+-之外发生的事件为小概率事件．正态总体在)3,3(σμσμ+-以外取值的概率只有0.3%的性质，在实际生产中有比较广泛的应用，我们只要知道了正态分布的平均数μ和标准差,σ利用这个性质，就可以判断哪些情况是异常出现的小概率事件（在生产中一般指生产过程出现了问题，没有正常工作）．著名的质量控制图就是利用这一原理的，举例来说，某条生产线上生产的零件重量在正常的情况下可能并不是每一个都严格相等，往往有一些小的波动，可以看作一个随机变量，而且往往服从正态分布).,(2σμN 那么从上面的分 析知道，零件重量在)3,3(σμσμ+-内取值的概率为99.7%，即零件重量在)3,3(σμσμ+-外取值的概率为0.3%．这表明在大量的重复实验中，平均每1000个零件只有3个不在,3σμ-（)3σμ+范围之内．因此，在质量检查中，零件重量在)3,3(σμσμ+-之外是几乎不可能发生的．而如果这种事情一旦发生了，即零件重量n 满足,3||σμ≥-a 我们就有理由认为这时候生产出来的零件的重量服从正态分布),(2σμN 的假设是不成立的，说明该零件不是在正常状态下生产出来的，生产过程可能出现了异常的情况．比如可能原料、刀具、机器等出了问题，或者可能工艺规程不完善，或者可能工人操作机械精力不集中，没有遵守操作规程，需要停机检查，找出原因，从而避免继续生产废品、次品，保证产品质量，防止造成过大的损失.典例分类剖析考点1 正态分布与正态曲线 命题规律(1)考查正态总体的概率密度函数的性质；(2)考查正态曲线的几何特征，数形结合的思想．[例1] 如图2 -8 -4所示，是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．[解析] 由正态曲线的图像可知，该曲线的对称轴为尤= 20，最大值为,21π因此，,20=μ由σππ2121=可求得σ的值．[解] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线=x 20对称，最大值是,21π所以.20=μ由,2121πσπ=解得.2=σ于是概率密度函数的解析式是∈=--x ex P x ,21)(4)20(2π).,(+∞-∞总体随机变量的期望是,20=μ方差是=2σ.2)2(2=[点拨] 利用图像求正态密度函数的解析式，应抓住图像的实质性两点：一是对称轴,μ=x 一是最值σπ21这两点确定以后，相应参数σμh 便确定了，代入P(x)中便可求出相应的解析式．[例2J 下列函数是正态密度函数的是( )．)0(,21)(.222)(>=-σμαπσσu x ex P A 都是实数2222)(.x e x P B -=ππ42)1(221)(.--=x ex P C π2221)(.x e x P D π=[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能） [解析] 本题考查正态密度函数．可对照,21)(222)(ασπu x ex P --⋅=其中指数部分的盯应与系数的分母处的σ保持一致，系数为正数且指数为负数，选项A 有两处错误，分别是σπ⋅2错为,2πσ指数错为正数．选项C ，从系数可得,2=σ而从指数处可得,2=σ显然不符．选项D 中指数为正，错误．所以正确答案为B ．[答案]B[点拨] 注意函数222)(21)(σσπu x ex P --⋅=均形式特点是解题的关键．[例3] 关于正态密度曲线性质的叙述：①曲线关于直线μ=x 对称，整条曲线在算轴上方；②曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；③曲线在μ=x 时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；④曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大曲线越“矮胖”，反之，曲线越“高瘦”． +其中叙述正确的有( )．A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②③④ [试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 本题考查正态密度曲线的性质．根据曲线关于直线对称，只有当μ=x 时函数才是偶函数，故②错，利用排0=μ除法选B ．[答案] B[点拨] 要正确解题，需熟悉正态密度曲线的特点，正态密度曲线的性质是我们分析正态分布有关问题的依据，母题迁移 1．一台机床生产一种尺寸为10 mm 的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm ）：10.2，10.1,10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1．如果机床生产零件的尺寸工服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式．2．把一正态密度曲线1C 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线2C ，下列说法不正确的是( )．A ．曲线2C 仍是正态密度曲线B ．曲线21,C C 的最高点的纵坐标相等C ．以曲线2C 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线1C 为概率密度曲线的总体的方差大2D ．以曲线2C 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线1C 为概率密度曲线的总体的期望大2 考点2 正态分布的运算 命题规律(1)在标准正态分布下，求随机变量在某区间上的概率： (2)在非标准正态分布下，利用公式=≤)(x X P )(σμ-Φx 及)(21x x x P ≤<)()(12αμσμ-Φ--Φ=x x转化为标准正态分布进行计算．[例4]一正态分布的概率密度函数为偶函数，且该函数的最大值为,21π求总体落在区间（-1.2，0.2]之内的概率．[解析] 首先求出正态分布的概率密度函数，即求总体的平均数和标准差，然后利用对称性，通过查表，求出总体在区间]2.0,2.1(-之内的概率．[解] 正态分布的概率密度函数)(21)(22)(R x ex P u x ∈=--σσπ是偶函数，,0=∴μ且当μ=x 时，P(x)的最大值为σπμ21)(=P 由已知,1,2121=∴=σπσπ即这个正态分布是标准正态分布，即⋅∈=-)(21)(22R x ex p x π.4642.0)2.02.1(=≤<-∴Z P[点拨] 标准正态分布,21)(22x e x -=Φπ现在已有十分完善的数值表可供计算有关的概率时查阅，从上面例题可以看出，同学们要熟练掌握),(0x Z P ≤),(),(210x Z x P x Z P ≤<>|)|(0x Z P ≤等几种形式变形为可查表的方法，为以后学习非标准正态分布的计算作准备．[例5]设),2,1(2N -ξ试求：);31()1(≤<-r P );53()2(≤<ξP ).5()3(≥ξP[解析] 要求随机变量亭在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图像性质以及课本中所给的数据进行转化求值．[解],2,1),2,1(~2==∴σμξN)2121()31()1(+≤-<-=≤<-ξP r P)(σμξσμ+≤<-=P .683.0=),13()53()2(-≤<-=≤<ξξP P )53(≤<∴ξP)]31()53([21≤<--≤<-=ξξP P )]2121()4141([21+≤<--+≤<-=ξξP P )]()22([21σμξσμσμξσμ+≤<--+≤<-=P P )683.0954.0(21-⨯= .136.0≈),3()5()3(-≤=≥ξξP P)]53(1[21)5(≤<--=≥∴ξξP P)]4141(1[21+≤<--=ξP )]22(1[21σμξσμ+≤<--=P .023.0)954.01(21=-= [点拨] 在求随机变量ξ在某一范围内的概率时，可以首先把随机变量ξ的取值转化到区间+-+-μσμσμσμ,2(),(、)2σ以及)3,3(σμσμ+-上，然后利用在),(σμσμ+-上的概率约为0.683，在)2,2(σμσμ+-上的概率约为0.954．在-μ()3,3σμσ+上的概率约为0.997.母题迁移 3．若⋅<<)75(),1,5(~ηηP N 求 考点3 正态分布的应用命题规律(1)人的身高、体重、学生的学习成绩、产品的尺寸等在某范围内的概率计算；(2)已知学生成绩范围，求成绩在此范围内学生人数等．[例6] 某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布),10,70(2N 如果规定低于60分为不及格，那么(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80~ 90分内的学生占多少？[解析] 本题考查正态密度曲线对称性及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律．因为正态密度曲线关于直线μ=x 对称，故本题可利用对称性及特殊值求解． [解] (1)设学生的得分情况为随机变量X ，则),10,70(~2N X 其中.10,70==σμ 成绩在60~ 80分之间的学生人数的概率为,683.0)10701070(=+<<-X P∴ 不及格的人数占.1585.0)683.01(21=-⨯ ,954.0)20702070()2(=+<<-X P∴ 成绩在80—90分内的学生占.1355.0)]8060()9050([21=<<-<<X P X P [点拨] 本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律．(1)求样本的数学平均成绩和标准差（精确到0.01）； (2)若总体服从正态分布，求正态曲线的解析式；(3)若规定，预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛，试估计有多少个学生可以进入复赛．[解] +⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3812721615564601)1(（x .6)39=⨯ ⨯+-<⨯+-⨯+-⨯=12)6621)65(15)64(6[6012222S 22)68(3)67(-⨯+-.5.1])69(32=-⨯+ .22.1≈∴S∴ 样本的数学平均成绩为6分，标准差约为1.22.(2)以22.1,6≈=S x 作为总体数学平均成绩和标准差的估计值，即,22.1,6≈=σμ则总体服从正态分布⋅)22.1,6(2N正态曲线的解析式为2222.12)6(222.11⨯--≈x ey π.7881.0)8.0()22.167()7()3(≈Φ≈-Φ=P .2119.07881.01)7(1=-≈-P .452119.0210≈⨯根据规定，大约有45名学生可以参加复赛．母题迁移 4．某单位招聘2500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10000人报名，假设报名者的成绩ξ服从正态分布，即),,(~2σμξN 且90分以上有359人，60分以下有1151人，那么被录用者中最低分数为多少？考点4小概率事件 命题规律检验产品的某些特征（质量、尺寸等）是否合格，利用σ3原则，即是否在区间)3,3(σμσμ+-内． [例8] 某砖瓦厂生产砖的“抗断强度”ξ服从正态分布)8.0,30(2N ，质检人员从该厂某天生产的1000块砖中随机地抽查一块，测得它的抗断强度为27.5，你认为该厂这天生产的这批砖是否合格． [解析] 判断这天生产的这批砖是否合格，主要是利用27.5是否在区间)8.0330,8.0330(⨯+⨯-内，若在，则说明合格；若不在，则说明不合格．[解] ),8.0,30(~2N -ξξ∴在)8.0330,8.0330(⨯+⨯-内，即ξ在(27.6，32.4)之外取值的概率只有0.003，而).4.32,6.27(5.27∉∴ 这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件． ∴ 据此可认为这批砖不合格． [点拨] 本题解决的是假设检验问题，假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：第一步：提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布);,(2σμN第二步：确定一次试验中的取值ξ是否落入范围,3(σμ-);3σμ+第三步：作出推断：如果),3,3(σμσμξ+-∈接受统计假设；如果),3,3(σμσμξ+-∉由于这是小概率事件，就拒绝统计假设．母题迁移 5．某厂生产的r 型零件的外直径X 服从正态分布),2.0,10(2N 一天从某厂上午、下午生产的T 型零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.52和9.98，试分析该厂这一天的生产状况是否正常．优化分层测训学业水平测试1．若),(21)(22)1(R x ex f x ∈=--π则下列判断正确的是( )．A ．有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，也无最小值D ．无最大值，有最小值2．如图2 -8 -5，当ξ取三个不同值321ξξξ、、的三种正态曲线),0(2σN 的图像，那么321σσσ、、 的大小关系是( )．01.A 321>>>>σσσ 32110.σσσ<<<<B01.321>>>>σσσC 32110.σσσ<=<<D3．已知随机变量ξ服从正态分布84.04)(),,2(2=≤ξσP N ,则=≤0)(ξP （ ）16.0.A 32.0.B 68.0.C 84.0.D4．以)(x Φ表示标准正态总体在区间),(x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),,(2σμN 则概率<-<||μξP )σ等于( )．)()(.σμσμ-Φ-+ΦA )1()1(.-Φ-ΦB )1(.σμ-ΦC )(2.σμ+ΦD 5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布⋅>)0)(,1(2σσN 若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则 ξ在(0，2)内取值的概率为6．设在一次数学考试中，某班学生的分数服从),20,110(~2N ξ且知满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格（不小于90分）的人数和130分以上的人数．高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：120分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．正态分布的概率密度函数R x e x P u x ∈=--,21)(222)(σσπ的正态密度曲线的形状( )．A.由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”B ．由μ确定，μ越大，曲线越“矮胖”C ．由σ确定，σ越大，曲线越“高瘦”D ．由μ确定μ,越大，曲线越“高瘦”2．正态分布密度函数为,,221)(8)1(2R x e x P x ∈=--π则其标准差为( )．1.A2.B 4.C 8.D3．设随机变量X 服从正态分布N(2，2)，则)21(X V 的值为( )． 1.A 2.B 21.C 4.D4．某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布可视为正态分布，如图2 -8 -6，则下列说法中正确的一个是( )．A ．乙科总体的标准差及平均数都居中B ．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同C ．丙科总体的平均数最小D ．甲科总体的标准差最小5．（2008年湖南高考题）设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若)1()1(-<=+>c P c P ξξ，则=c ( )1.A2.B3.C4.D6．（2011年湖北高考题）已知随机变量ξ服从正态分布,2(N ),2σ且,8.0)4(=<ξP 则=<<)20(ξP ( )6.0.A 4.0.B 3.0.C 2.0.D7．设随机变量ξ服从标准正态分布N(O ，1)，已知=-Φ)96.1(,025.0则=<)96.1|(|ξP ( ) 025.0.A 050.0.B 950.0.C 975.0.D8．如果随机变量),1,0(~N ξ则⋅=),(~).......(2σμηNσμξ--.A μσξ-⋅B μσξ+.C )(.μξσ+D二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）9．随机变量X ～N(O ，1)，数值落在),3()3,(+∞--∞ 内的概率为10.设离散型随机变量),1,0(~N X 则=≤)0(X P =<<-)22(X P11. 一批灯泡的使用时间X （单位：小时）服从正态分布),400,10000(2N 则这批灯泡使用时间超过10800小时的概率是三、解答题（共65分）12.（12分）设随机变量ξ服从正态分布：),4,1(~N ξ试求： );20()1(≤-<ξP(2)求常数C ，使⋅>=≤-)(32)(C P C P ζξ参考数据：,9772.0)2(,8413.0)1(,5.0)0(=Φ=Φ=Φ,6915.0)5.0(=Φ.9987.0)3(,9697.0)88.1(=Φ=Φ13.（13分）设某部队战士的身高服从正态分布)5,172(2N （单位：cm)，现在军服厂要裁制10000套军服供应给该部队战士，则适宜身高在167~ 177 cm 范围内战士穿的服装要裁制多少套？14.（13分）某厂生产的圆柱形零件的外直径X 服从正态分布)5.0,4(2N （单位：cm ），质量检查人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7 cm ，该厂生产的这批零件是否合格？15.（13分）某城市从南部某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分钟）服从正态分布);10,50(2N 第二条路线沿环城公路走，路程长，但交通阻塞少，所需时间也服从正态分布),4,60(2N(1)若只有70分钟可用，问应走哪条路线？(2)若只有65分钟可用，问应走哪条路线？16.（14分）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70，100).已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名，可供查阅的（部分）标准正态分布表)()(00x x P x <=Φ(1)试问此次参赛的学生总数约为多少人？(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？单元知识整合2．热点透视本章内容的重点有两个：一是离散型随机变量的分布列，期望与方差；二是正态分布及其应用．(1)离散型随机变量的分布列，期望与方差，离散型随机变量的分布列，期望与方差，这三部分内容往往综合在一起考查，在近几年的高考试题中考查较为突出，几乎每年的每一份试卷上都会有这样的题目．在解答这类问题时，应抓住的关键和核心是分布列，只要分布列确定了，期望和方差就容易解决了，求分布列的方法步骤如下：① 设出恰当的随机变量，确定其所有可能的取值；② 计算随机变量取每一个值时对应事件的概率；③列出表格．本部分的题型主要有以下几种：① 求分布列，计算期望、方差的值．②期望与方差在解决实际问题中的应用，如风险决策，技术水平比较等．③期望、方差与其他数学知识的综合．(2)正态分布及其应用，由于正态分布是现实生产、生活中一种比较常见的分布，所以应用十分广泛，因此在高考中也占有十分重要的地位．本部分内容主要从以下两个方面考查：①正态分布的概念．考查正态分布的定义，正态曲线的形状，密度函数的解析式等，主要以选择题、填空题的形式考查． ②正态分布的应用．正态分布的应用主要就是有关随机变量在某一范围内取值时其概率、百分比、数量的计算，解答这类问题的关键是牢记三个常用概率，即当),(~2σμN X 时，=+≤<-)(σμσμX P)22(,6826.0σμσμ+≤<-X P +≤<-=μσμX P 3(,9544.0,9974.0)3=σ并把实际问题与以上三个取值范围相对应，进行相应的计算．3．思考方法总结类型1事件概率的求法概率计算主要是一些古典概型，以排列、组合为基础的等可能性事件的概率计算，复杂事件通过对结果分类转化为互斥事件有一个发生的概率加法公式，通过过程的分步转化为相互独立事件同时发生的乘法公式计算，有时事件还可转化为独立重复试验，利用n 次独立重复试验发生k 次的概率公式求其概率，有时也可以转化为条件概率来求解．总之，求事件的概率关键是把它分解为若干个小事件，然后利用概率的加法公式（互斥事件的和）、乘法公式（独立事件同时发生）、除法公式（条件概率）、n 次独立重复试验发生k 次的二项分布公式、对立事件公式等求解．[例1]高三某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占,61而且三好学生中女生占一半．现在从该班同学中，任选一名参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率等于多少？[解析] 本题实质求“三好学生是男生”的概率，是个条件概率，依据条件概率计算公式来求．[解] 设事件A:“任选一名同学是女生”；事件B:“任选一名同学是三好学生”． 则所求概率为⋅)|(A B P 依题意得,61)(,316020)(===B P A P ⋅=⨯==∴916132)()()(B P A P B A P 故⋅===613291)()()|(A P B A P A B P 即在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是⋅61 [点拨] 在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的哪一事件的概率，求条件概率最基本的方法是利用公式,)()()|(A P AB P A B P =关键是求出)(A P 和 ⋅)(AB P [例2] 刘备帐下以诸葛亮为首的智囊团有9名谋士（不包括诸葛亮）．假定对某事进行决策时，每名谋士贡献正确意见的百分比为0.7，诸葛亮贡献正确意见的百分比为0.9，现为某事可行与否而个别征求每名谋士的意见，或按多数人的意见作出决策，或采纳诸葛亮的意见，则应按哪种方案作出决策？[解析] 设A 为“按多数人的意见作出的决策是正确的”，k k k C k P -=999)3.0()7.0()(为“9个人中有k 个意见是正确的”，这一事件的概率，则有：)()(991k P A P k ∑==.)3.0()7.0()3.0()7.0(7936694559C C C +⨯+⨯=27)3.0()7.0(⨯999889)7.0(3.0)7.0(C C +⨯+.9.09012.0>≈∴ 故按9个人中多数人的意见作出决策是明智的，其正确的概率为0.9012．[点拨] 由本例说明，“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”这种说法是有一定道理的．同时，它也给了我们这样的一个启示：集体的力量大．当你遇到困难，一个人找不出解决的方案时，就应该让大家一起出谋划策，这样就有可能找到更好的解决办法，类型2 常见的概率分布及其性质应用求离散型随机变量的分布列时，要解决好以下两个问题：一是求出X 的所有取值，二是求出X 取每一个值时的概率，这是难点，也是关键，一般要联系排列、组合知识，古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率等知识进行解决．[例3] 袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X 的概率分布表．[解析] 取球次数X 的所有可能取值为l ，2，3，4，5，分别利用古典概型求概率． ．[解] X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，则第1次取到白球的概率为,51)1(==X P 第2次取到白球的概率为,514154)2(=⨯==X P 同样,51314354)3(=⨯⨯==X P ,5121324354)4(=⨯⨯⨯==X P,511121324354)(=⨯⨯⨯⨯=-x X P 所以X 的概率分布表为：[点拨] 本题在求概率时要注意题中的条件：每次从中任取一球，且每次取出的黑球不再放回．[例4] 设随机变量ξ的概率分布为===k ak k r P （)5().5,4,3,2,1 (1)求常数a 的值；(2)求);53(≥ξP (3)求⋅<-<)107101(ξP [解析] (1)利用分布列性质154321=++++p p p p p 可求出a(2)利用}55,54,53,52,51{5∈=k ξ可求出在每一范围内的概率． [解] ξ的概率分布表为：(1)由,15432=++++a a a a a 得⋅=151a )55()54()53()53()2(=+=+==≥ξξξξP P P P ,54155154153=++= 或 ⋅=+-=≤-=≥54)152151(1)52(1)53(ξξP P (3)因为,107101<<ξ所以⋅=53,52,51ξ 故)53()52()51()107101(=+=+==<<ξξξP s P P P ⋅=++=52153152151 [点拨] 本题集分布列的计算与分布列的性质应用于一体，有利于我们深入了解分布列，由此可见，随机变量的取值并不一定为整数，它的取值一般源于实际问题，并有其特定的含义，另外随机变量取某值时，其所表示的莱一试验结果发生的概率值必须符合性质.由本例可知，利用离散型随机变量分布列可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据离散型随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可得到它们的概率．注意随机变量取不同的值时所表示的随机事件互斥，故可利用概率加法公式求其概率．类型3离散型随机变量的期望与方差的应用由于期望与方差是反映随机变量取值的平均水平和稳定性的两个特征数，所以它们在实际问题中有重要的应用．在一些风险决策，技术水平比较等问题中经常通过比较期望、方差的大小解决问题，另外期望与方差也可能与其他数学知识综合在一起进行考查．[例5] 某商场某品牌的空调每周的销售量ξ是一个随机变量，分布列为12,11,201)(===k k P ξ ，，30...而商场每周的进货量为区间[11，30]中的某一整数，商场每销售一台空调可获利500元；若供大于求，则每台多余的空调需要交保管费用100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调仅获利200元，问此商场周初进货量（含上周余量）应为多少时才能使周平均利润最大？[解析] 把周利润表达成进货量的函数并求周利润的期望的最大值即可．[解] 设商场周初进货量（含上周余量）为x 台，,11[∈x ]30且,N x ∈周利润为随机变量y ，则⎪⎩⎪⎨⎧>+=+-=<-=--=x x x x x x x x x Y ξξξξξξξξ,300200500)(200,500,100600)(100500 又因为,30,,12,11,201)k ( ===k P ξ 所以+⨯+-=∑-=x x Y E x E 500201)100600(201)(111ξ)20300(201301ξξ+∑+=x x -++---<-+⨯=30(1525)11(5)112)1(1130x x x x x x )30(230)1(10)x x x -++⨯+ .5.9502)5.25(1030005101022+--=++-=x x x因为x 为正整数，且],30,11[∈x 所以25=x 或,26=x 即周初进货量（含上周余量）为25台或26台时，周平均利润最大．[点拨] 周初进货量为x 台，周利润为Y 元，要求周平均利润的最大值，就是要求E(Y)的最大值，为此需求出 Y 的取值，而y 又是ξ的函数，需要分供大于求、供不应求两种情况给出Y 的表达式，然后利用函数的相应知识求解．[例6] （2010年黄冈模拟题）最近李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案，第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%（只有这两种可能），且获利的概率为⋅21 第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为⋅51,51,53 第三种方案：李师傅的妻子认为：投入股市、基金风险较大，应将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由，[解析] 若按方案一执行，设收益为x 万元，则其分布列为121)2(214)(=⨯-+⨯=x E （万元）． 若按方案二执行，设收益为h 万元，则其分布列为：151)1(510532)(=⨯-+⨯+⨯=h E （万元）．。