6.已知 是二阶可导且在 处连续，请问 相切于 且曲率相等是 的什么条件
A.充分非必要条件B.充分必要条件
C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件
7.设 是四阶矩阵， 是 的伴随矩阵，若线性方程组 的基础解系中只有2个向量，则 的秩是
;
8.设 是3阶实对称矩阵， 是3阶单位矩阵，若 ，且 ，则二次型 的规范形为
已知函数 ，求
16.（本题满分10分）
求不定积分
(
17.（本题满分10分）
是微分方程 满足条件 的特解.
（1）求
（2）设平面区域 ，求D绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.
18.（本题满分10分）
已知平面区域 满足 ，求
19.（本题满分10分）
的图像与x轴所谓图形的面积，求 ，并求
。
20.（本题满分11分）
23.（本题满分11分）
已知矩阵
（1）求 ，
（2）求可逆矩阵 使得
@
2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题解析（数学二）
9.
10.
11.
12.
13.
14.|
15.
15.解：
当 时， .
当 时， .
当 时， ，
，
.
故 .
~
令 ，得 .
（1）当 单调递减，
当 单调递增，
故 为极小值.
（2）当 单调递增，
当 单调递减，
故 为极大值.
（3）当 单调递减，
&
当 单调递增，
故 为极小值.
16.
17.
18.
'
19.
20.解：
，
带入得 ，解得 .
.
22.解：
（1）当 ，即 时， ，此时两个向量组必然等价，且 .
:
（2）当 时，
此时两个向量组等价， .
（3）当 时， .
此时两个向量组不等价.
23.（1） 与 相似，则 ， ，即 ，解得
已知函数 满足 求 的值，使得在变换 下，上述等式可化为 不含一阶偏导数的等式.
21.（本题满分11分）
已知函数 在 上具有二阶导数，且 ，证明：
（1）存在 ，使得 ；
（2）存在 ，使得 .
22.（本题满分11分）
。
已知向量组（Ⅰ） ， ， ，
（Ⅱ） ， ， ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求 的取值，并将 用 线性表示.
A. B.
C. D.
二、填空题
9.
10.曲线 在 对应点处切线在y轴上的截距为
11.设函数 可导， ，则
12.设函数 的弧长为
13.(
14.已知函数 ，则
14.已知矩阵 ， 表示 中 元的代数余子式，则
三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分10分）
（2） 的特征值与对应的特征向量分别为
， ； ， ； ， .
所以存在 ，使得 .
的特征值与对应的特征向量分别为
， ； ， ； ， .
所以存在 ，使得 .
所以 ，即
其中 .
2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析
一、选择题
1.当 时，若 与 是同阶无穷小，则
..
..
2. 的拐点
A. B.
C. D.
|
3.下列反常积分收敛的是（）
A. B.
C. D.
4.
的值为（ ）
,0,1 ,0,2 ,1,3 ,1,4
5.已知积分区域 ， ， ， ，试比较 的大小
;
A. B.
C. D.