信号与系统习题解第二章1.从本章所讲的各讲中挑出你认为比较新的概念。

2.若物理信号()x t 的频谱存在，记为()X f ，考虑截断信号(),||()20,T T x t t x t ⎧≤⎪=⎨⎪⎩其它，1,||()20,T T t R t ⎧≤⎪=⎨⎪⎩其它在如下情况下的频谱(1)将截断信号()T x t 视为非周期模拟信号求其频谱()T X f ; (2)将截断信号()T x t 视为周期为T 的模拟信号求其频谱()T X n ;(3)将截断信号()T x t 视为)()()(t R t x t x T T =，求其频谱的解析表达式，并由此推出积分变换sin ()()()()()f s TKX f X s dsf s ππ+∞-∞-=-⎰的性质。

由此讨论各种观点下的频谱的表现形式以及内在规律。

解： (1)2222)(()()T T T T j ftj ft f X x t edt x t e dt ππ+∞---∞-==⎰⎰(2)2222()1()jnt TT nn T jn tTT n T x t C eC x t e dtTππ+∞=-∞--==∑⎰(3)2()2()22ˆ()()*()ˆ()()()()()sin ()()()T TTj f s t T T j f s t T X f X f R f X s R f s ds X s R t e dtds X s e dtds f s TX s dsf s ππππ+∞-∞∞+∞---∞-∞+∞---∞-+∞-∞==-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰积分变换sin ()()()()()f s TKX f X s ds f s ππ+∞-∞-=-⎰将信号()x t 的频谱化为截断信号()T x t 的频谱。

当视信号为非周期的模拟信号时，其频谱是模拟的；当视信号为周期的模拟信号时，其频谱是离散的；并且二者有如下关系1()n n C X T T=当视信号为两个信号的乘积时，其频谱为这两个信号频谱的卷积；利用这三种观点求出的频谱，在本质上是一致的。

3.给出帕色伐尔定理的不同表示形式(周期信号与非周期信号)。

解：(1)非周期信号 记()[()],()[()]X f FT x t Y f FT x t ==则()()()()x t y t dt X f Y f df +∞+∞-∞-∞=⎰⎰(2)周期信号指数表示设()T x t 和()T y t 为周期为T 的周期函数且22(1)(2)(),()n n j t j t TTT nT nn n x t Cey t Ceππ+∞+∞=-∞=-∞==∑∑则22(1)(2)222222(1)(2)222(1)(2)22(1)(2)()()11T T nm j t jt TTT T T T nmn m T n m j t j t T T T n m n m T n m j t T T nmn m nnn x t y t dt CeCedtT C e C e dtT T C Ce dt T TCC πππππ+∞+∞--=-∞=-∞+∞+∞-=-∞=-∞-+∞+∞-=-∞=-∞+∞=-∞====∑∑⎰⎰∑∑⎰∑∑⎰∑(3)周期信号正余弦表示设()T x t 和()T y t 为周期为T 的周期函数且(1)(1)(1)01(2)(2)(2)0122()cos sin222()cos sin2T k k k T k k k a kx kx x t a b T T a kx kx y t a b T T ππππ∞=∞==++=++∑∑ 则22(1)(2)(1)(1)(2)(2)002112(1)(2)(1)(2)(1)(2)00(1)(2)(1)(2)(1)(2)00()()2222cos sin cos sin 224222TT T T T T k k k kk k k k k k k k k k k k x t y t dta a kx kx kx kx ab a b dt T T T T a a T T a a b b a a T a a b b ππππ-∞∞-==+∞=-∞=-⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=++=++⎰∑∑⎰∑+∞∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑4.给出图解法的实施步骤、数学证明中的辅助函数及其任意阶广义导函数。

见讲义5.证明以下普通函数的广义极限均为()t δ()10e erf λπ设()f t 是任意实的连续可积函数，则(1)()1()()()21()2 () [,]0,()()()(0)()()()()g t f t dt f t dt f dtf g t f t dt f f t f t dtg t t λλλλλλλλξλξξλλλξδδ+∞-∞--+∞+∞-∞-∞===∈-∴→=→=∴→⎰⎰⎰⎰⎰(2)()1||()()(1)()1|| ()(1) () [,]0,()()()(0)()()()()t g t f t dt f t dt t f dtf g t f t dt f f t f t dtg t t λλλλλλλλλξλλξξλλλξδδ+∞-∞--+∞+∞-∞-∞=-=-=∈-∴→=→=∴→⎰⎰⎰⎰⎰(3)()||1||11()()()2(1)1()2(1)() [,]0,()()()(0)()()()()t t g t f t dt e f t dt e f e dt e f g t f t dt f f t f t dtg t t λλλλλλλλλλξλξξλλλξδδ-+∞--∞----+∞+∞-∞-∞=-=-=∈-∴→=→=∴→⎰⎰⎰⎰⎰(4)()22()()1()()()()1()()() [,]0,()()()(0)()()()()t t g t f t dt e f t dterf f e dterf f g t f t dt f f t f t dtg t t πλλλλπλλλλλλπξλπξξλλλξδδ-+∞-∞---+∞+∞-∞-∞===∈-∴→=→=∴→⎰⎰⎰⎰⎰6.利用傅立叶正反变换可以导出一种非常广义的导数，其定义为()(){2()},()(())defDx t IFT j fX f X f FT x t π==因为傅立叶变换存在的条件相当低，所以很多不一定连续的函数也都存在如此定义的广义导数。

请模仿经典导数，列出该广义导数的性质。

解： 1.()()()()()()Dx y t Dx t Dy t +=+证明：()(){2(()())}{2()}{2()}()()()()Dx y t IFT j f X f Y f IFT j fX f IFT j f Y f Dx t Dy t πππ+=+=++=+2. ()()()()D x t D x t αα=3.()()()()()()()()D xy t x t D y t D x t y t =+证明：()(){2(()*())}D xy t IFT j f X f Y f π=而2(()*())2()()2()()2()()()2()()2()*(())2(())*()j f X f Y f j f X Y f d j X fY f d j X f Y f d j X Y f d j X f fY f j fX f Y f ππτττπτττπττττπττττππ+∞-∞+∞-∞+∞+∞-∞-∞=-=-=--+-=+⎰⎰⎰⎰所以()(){()*(2())(2())*()}(){2()}{2()}()()()()()()()D xy t IFT X f j fY f j fX f Y f x t IFT j fY f IFT j fX f y t x t D y t D x t y t ππππ=+=+=+…… 第三章1. 在一般情况下，按L ∞-范数收敛强于按2L -范数收敛，但在特殊情况下，按2L -范数收敛也能推出按L ∞-范数收敛。

比如令2L σ为所有能量有限且其频谱()X f 满足()||()0X f f X f σ<⎧=⎨⎩其它 的信号(),(,)x t t ∈-∞+∞组成的线性空间(按照通常的加法和数乘)，按内积(,)()()x y x t y t dt +∞-∞=⎰诱导的范数12||||(,)x x x =成为一个Hilbert 空间。

它与有限区间(,)σσ-+上的一切平方可积函数构成的Hilbert 空间2(,)L σσ-+等距同构。

证明2()x t L σ∀∈，当2|()()|0,()n x t x t dt n +∞-∞-→→∞⎰时，必有(,)sup |()()|0,()t n x t x t n ∈-∞+∞-→→∞。

证明： 由于221222|()()||(()())||(()())||()()||()()||()()||()()|j ft n n j ft n n n Schwarts n Paserval equalityn x t x t X f X f e df X f X f e dfX f X f dfX f X f dfX f X f df x t x t dt ππσσσσ+∞-∞+∞-∞+∞-∞+-+-+∞-∞-=-≤-=-=-⎤≤-⎥⎦⎤=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰122()()||n x t x t ⎥⎦=-从而(,)2sup |()()|()()||t n n x t x t x t x t ∈-∞+∞--因此当2|()()|0n x t x t dt +∞-∞-→⎰时，必有(,)sup |()()|0t n x t x t ∈-∞+∞-→。

2. 设()X f 为信号()x t 的频谱，{}()x n ∆为信号()x t 的采样序列，记0()()n nX f X f +∞=-∞=+∆∑，2()()j fn n X f x n e π+∞∆∆=-∞=∆∆∑，证明0()()X f X f ∆=。

证明：由于∑+∞-∞=∆+=n nf X f X )()(0是以∆1为周期的函数，即)()1(00f X f X =∆+，设20()j fm mm X f Ce π+∞-∆=-∞=∑ 为)(0f X Fourier 级数展开式， 其中122102122121221212()212122122()()()()()()(j fm m j fm n j fm n n nj m n n nj m n n j fm C X f e df n X f e df nX f e dfX ed Xe d Xf e dfx m ππππθπθπθθθθ∆∆-∆+∞∆∆-=-∞∆+∞∆∆-=-∞∆+∞+-∆∆∆∆-+=-∞∆∆+∞+∆∆∆-+=-∞∆∆+∞∆-∞=∆⎛⎫=∆+ ⎪∆⎝⎭=∆+∆=∆=∆=∆=∆⎰∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰⎰)∆从而得到220()()()()j fm j fn m n X f x m ex n e X f ππ+∞+∞-∆-∆∆=-∞=-∞=∆∆=∆∆=∑∑3. 设{}()x n ∆为信号()x t 的采样序列，如果再以1μ∆=∆(2μ≥为正整数)抽出子列1{()}x m ∆，证明111111sin()()()()m t m x t x m t m ππ+∞=-∞-∆∆=∆-∆∆∑与sin()()()()n t n x t x n t n ππ+∞=-∞-∆∆=∆-∆∆∑满足 12111|2()()2|()|f x t x t X f df >∆-≤⎰，其中()X f 是()x t 的频谱。