② 若两投影面垂直面相互平行，
则它们具有积聚性的那组投影
必相互平行。
a
b c d
c d
b
b d
a c
e
d
b
ac
e
e f
f e
f h h
f
//
三峡大学
44
2 . 判 例别 判下 断列 下平 列面 两与 平平 面 面是 是否 否平 平行 行。
a )
b ) 举例
平行
不平行
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45
二、相交问题(重点与难点)
三峡大学
22
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距离为10mm。
a
10
m
n
c
b
b
c
n m
a
唯一解！
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23
⒉ 平面上取点
若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。 即：点在线上，则点在面上。
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24
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助 线，然后再在该直线上确定点的位置。
铅垂面(⊥H) 正垂面(⊥V) 侧垂面(⊥W)
水平面(//H) 正平面(//V) 侧平面(//W)
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
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9
1） 投影面垂直面的投影
铅垂面
V PB
c
a
a
W
b
A
a b
H
C PH c
a c
b 投影特性：
1. abc积聚为一条线， 与OX、 OYH的夹角反映、角； 2 .abc、 abc为ABC的类似形；
1’ b’
a
1
b
c’
d
c
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30
例7 已知ABC 给定一平面，试过点C作属于该平面的正平
线，过点A作属于该平面 的水平线。
m a
b
正平线上的点Y坐
标相同，水平线上
k n
的点Z坐标相同， 交点K是既满足Y 坐标又满足Z坐标
的点。 c
b
k
m
n
c
a
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31
6.例在△ 8A：BC内 在确 △定 AKB点C，内使K确点距 定HK面点为1，8mm使，距 KV点距H面为 面为1158mmm。m，距V面为15mm.
平面与平面平行
⒈ 直线与平面平行
定理: 若一直线平行于平面上的某一直线， 则该直线与此平面必平行。
即：将线面// ，转化为线线//
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39
特殊情况：
1. 当直线与特殊⒈位直置平线面与相平平行面时平，行直线的投影平行
于平面的具有积聚性的同面投影，如图。
2.当直线与平面都为特殊情况且平行时，直线与平面 的积聚性投影在同面投影上。
实长且垂直于相应的投影轴。
b
b
a
b
a
a b a b a
a β γ b
a b
●
a(b)
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a b
小结 1
二、直线上的点
⒈ 从属性：点的投影在直线的同名投影上。
⒉ 定比性：点分线段之比在投影中不变。 AB:CB=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”
c
b
a
b
c
a
b
cb
ac
c
a
b
c a
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2
三、两直线的相对位置
2 、 abc、 abc为 ABC的类似形。
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12
类似性
b
b
类似性
是什么位置
的平面？
a
积聚性
γ
a
c c
βc b
a
铅垂面
投影特性：
1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影 轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 2.另两个投影面上的投影有类似性。
投影特征：一斜两类似
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d d
ca
b 利用平行四边形
对边平行
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c
28
3.例判断5点：K是判否在 断平点面上K。是否在平面上（另判断四点是否在同一平面*）
点在面上
点不在面上(*)
点不在面上
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29
例6：已知平面ABCD的边BC//H面，完成其正面 投影。
分析：根据a’d’想办法求b’c’
a’
d’
BC为水平线
b’c’//OX
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26
例3：作出三角形ABC平面内三角形DEF的水平投影。
b’ 1’
e’
d’
2’
a’
f’
a 2
d f
e
b1
求线先找两已知点， 求点先找已知线。
c’
c
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27
例4：AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影
解法一
b
解法二 b
a
k
c a
c
d d
a
k
b 找点B先求线DB， 求线DB先找点K。
K在点A之前
20mm的正平线
上
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33
四、 圆的投影
圆的投影特性：
1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；(实形性)
2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆 的直径φ；(积聚性)
3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的
平行于这个投影面的直径AB的投影（ab）；短轴是与上述直
直线与平面相交 平面与平面相交
⒈ 直线与平面相交(实物)
直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点，且交 点是直线与平面可见与不可见的分界点。
a
⒈ 平行
a
同面投影互相平行(注意投影面平行线)。
b
d
c
c bd
c k b
a
d
⒉ 相交
同面投影相交，交点是两直线的 共有点，且符合点的投影特性。
⒊ 交叉
同面投影可能相交，但“交点” 不符合点的投影特性。所谓“交点” 是两直线上一对重影点的投影。
a
d
ck b
b c 1 3(4)
2
d
a
X
4
b
c
3
a
1(2)
b’
RV PV a’
PH a
b QH
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19
5.已知平面图形的两个投影，求作第三个投影，并判断平面的空间位置。
a)
b)
c)
b
a
c
三角形是水平 面
平面图形是正垂面
投影面平行面:两线一实形 投影面垂直面:一斜两类似
平面图形是侧垂面
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20
三、平面上的直线和点
⒈平面上取任意直线
在平面内取 直线的方法
三峡大学
c b
10
正垂面
V
b
QV
a
A
c
b
c
W B
a
α
b c
a
Q C
H
c a
投影特性：
b
1. abc 积聚为一条线，与OX、 OZ的夹角反映α、 角；
2.abc、abc为 ABC的类似形。
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11
侧垂面
V
S B
b
SW
b
W a
b c β c
α a
c
C
a
A
H
b c
投影特性：
a
1、 abc积聚为一条线， 与OYW 、 OZ 的夹角反映α、β角；
一、各种位置直线的投影特性(三大类七种位置直线)
⒈ 一般位置直线（三斜无实长）三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线（一斜两平行）水平线、正平线、侧平线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的
夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线（一点两垂直）铅垂线、正垂线、侧垂线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映
投影特征：两线一实形
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17
3） 一般位置平面的投影（三类似）
b
a
B
一般位置平面 b
b
a
b
a
c
c
A
a
b
C c
b
c
a
c
a
投影特性
1. abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形；
2.不反映、、 的真实角度。
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18
2.用有积聚性的迹线表示下列平面:
例：用过有直线 积AB聚的性正垂 的面迹P；线过表点C示的下正平列面平Q；面过：直线 过DE直线AB的 正垂的面水P平；面R过。点C的正平面Q；过直线DE的水平面R。
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5
2.迹线表示法
空间平面与投影面的交线叫平面的迹线。 平面P与H面的交线为水平迹线PH，与V面的交线为正面 迹线PV，与W面的交线为侧面迹线PW。
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6
a.一般位置平面的迹线表示法
V
PV
P
PV
H PH b.特殊位置平面的迹线表示法 PV
V
QV
PH QV
PH
PH
H
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7
二、平面的投影
2 .正面投影abc反映 ABC实形。
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15
侧平面
V
c
b
B
b
a
b
W
a
c
A
a
a
a
bC
c
b
b a
Hc
c
投影特性：
1.abc//OYY、 abc //OZ，分别积聚为直线； 2.侧平面投影abc 反映 ABC实形。