1 j2t 1 * Re Em H m e Re Em H m 2 2
代入可得
Sav 2
1 j2t 1 * Re Em H m e Re Em H m dt 0 2 2 1 * = Re Em H m 2
约定不写出时间因子 e j t ，去掉场量的下标和点。 即得麦克斯韦第一方程的复数形式 H =J +j D


同理可得
E = j B
B=0
D=
三、亥姆霍兹方程（波动方程的复数形式）
2 E E 的波动方程 2 E 2 =0 t 2 jt 2 jt 2 其中 E = Re Em e = Re Em e jt j t 2 2 E 2 Re E e Re E me 2 m 2 t t 代入可得 2 E +k 2 E =0 其中 k 2 2 2 2 H +k H =0 同理可得
2 /
◇ 简便记为
1 * Sav = Re E H 2
◇ 意义：在一个电磁场周期内，空间某一点电磁能流密度的大小值和方向。 通过对平均坡印廷矢量在某个有向曲面上做积分，可以得到通过空间某曲面 的电磁能量，也可以计算天线的对空间的辐射能量等等。
6.1 理想介质中的均匀平面波
* * * 1 j2t j2t 1 * E m H m e E m H m e E m H m E m H m 4 4
◇ 注意：
1.用复数形式研究时谐场称为频域问题，以方便计算。 2.复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。
三、坡印廷矢量的复数形式 ◇ 平均坡印廷矢量：一个周期内坡印廷矢量的平均值。
1 T Saቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Sdt T 0 2
其中

2 /
0
E H dt
jt jt S E H Re Em e Re H m e
二、麦克斯韦方程组的复数形式 场量对时间的一阶、二阶导数 jt E jt jt Re Em e Re Em e Re j Em e t t t 2 jt 2 E 2 jt Re 2 Em e Re Em e 2 t t 因此，麦氏第一方程变化为 D jt jt jt Re H m e Re J m e Re j Dm e H =J t 将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换
写为复数的实部形式：
jt x jt Ex Re Exme Re E xm e
jt y E y Re E yme Re E ym e jt
Ez Re Ezme
jt jt jt jt jt Re H m e Re J m e j Dm e H m e J m j Dm e
同理，有
jt jt H ex H x e y H y ez H z Re ex H xm e y H ym ez H zm e Re H m e jt jt B ex Bx e y By ez Bz Re ex Bxm e y Bym ez Bzm e Re Bm e jt jt D ex Dx e y Dy ez Dz Re ex Dxm e y Dym ez Dzm e Re Dm e jt jt J ex J x e y J y ez J z Re ex J xm e y J ym ez J zm e Re J m e
◇ 电磁波的模式：
TEM（横电磁）波：电场和磁场仅在垂直于传播方向的平面上。 TE（横电）波/M波：传播方向上有磁场分量而无电场分量。 TM（横磁）波/E波：传播方向上有电场分量而无磁场分量。
E
H
TEM波
E
E
S
H
TE波
S
H
TM波
S
二、均匀平面波的解 在正弦稳态下，均匀、各向同性的理想介质中的无源区域内， 亥姆霍兹方程 2 E k 2 E 0
E y x, y , z, t E ym x, y , z cos t y
Ex x, y, z, t Exm x, y, z cos t x
Ez x, y, z, t Ezm x, y, z cos t z
2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 2 2 2 k Ex 0 y z x 2 2 2 Ey Ey Ey 2 k 2 Ey 0 即 2 2 y z x 2 E 2 E 2 E 2 z 2z 2 z k 2 E z 0 y z x
0
z
k
真空中 0
1 7 F / m 4 10 H /m 0 9 3610
第六章 均匀平面电磁波
5.6 6.1 6.2 6.4 6.3 时变电磁场的复数表示 理想介质中的均匀平面波 导电媒质中的均匀平面波 均匀平面波的垂直入射 电磁波的极化
内容概要
◇ 掌握正弦电磁场的复数表示法以及亥姆霍兹方程。 ◇ 牢固掌握均匀平面波的概念、表示方法和意义；熟知
波的极化及其种类。 ◇ 深刻理解均匀平面波在无界理想介质中的传播特性，
沿+z方向传播的波 （正向行波）
沿-z方向传播的波 （反向行波）
3.时空特性 将第一项写为瞬时值形式
jkz j t E x z, t Re E e e E cos t kz m m
在研究均匀平面波的时空变量有两种方式： a.时间观察方式是在固定的空间位置观察变量随时间的变化； b.空间观察方式是在不同时刻观察变量随空间的变化。
于角频率 和波数 k 。
◇ 相速 沿+z方向匀速前进的正弦波 可看作固定于波形上的某 一点，在数学上该点对应于
Ex
t 0
t
4
t
2

t kz 常数
相速：波的传播速度。 由下式决定
dz 1 vp dt k
不同时刻 E x 的波形
一、均匀平面波 ◇ 电磁波：变化的电磁场脱离场源后在空间的传播。 ◇ 平面波：等相位面为平面的电磁波。 按等相位面形状分为平面波、柱面波、球面波。
x
z y
◇ 均匀平面波：场矢量E 和H 只沿着传播方向变化，在与波传播方向垂直的平 面内，E、H 的方向、振幅和相位保持不变的波。
◇ 意义：
1.均匀平面波是一种理想情况； 2.各种复杂形式的电磁波可以看成是由许多均匀平面波叠加而成的； 3.远离波源的球面波一小部分平面内的波可以看作均匀平面波来分析。
jt z
Re E zm e jt
j x E E e xm xm j 式中 E ym E ym e y 称为电场强度的复数振幅 Ezm Ezm e j z jt jt 故 E ex Ex e y Ey ez Ez Re ex Exm e y Eym ez Ezm e Re Em e 式中 Em e E e E e x xm y ym z Ezm 称为电场强度的复矢量
* * 1 jt jt 1 jt jt Em e Em e H m e H m e 2 2
* 1 j2t * * -j2t 1 * Em H m e Em H m e Em H m Em H m 4 4
讨论均匀平面波的一个特解：设电场平行于x轴，且只是z的函数，即
E ex Ex z
代入可得
2 Ex 2 k Ex 0 z 2
jkz jkz 上式的通解为 Ex =Em e Em e
◇ 讨论：
1.Em 由边界条件决定。 , Em
2.
jkz jkz Ex =Em e Em e
这时电场可表示为 Ex cos kz Em cos kz z, t Em
波长为
2 k
m
Ex
波数：每 2 空间距离内波形变化的周期数。
k 2

rad/m
O

2
3
kz
◇ 由均匀平面波的表达式 Ex cos t kz 可知，其时空特性分别依赖 z, t Em
三、 平面波的参量
◇ 采用时间观察方式，将注意力集中到空间的一个固定点上，如 z 0 。
这时电场可表示为 Ex cost z, t Em
Ex
周期为 频率为
T f
2

s Hz
O
1 T 2

2
3
t
称为角频率
◇ 采用空间观察方式，可令 t 0 。