2014-2015学年江西省赣州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5.00分）已知集合A={x|y=}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1]B．[0，+∞）C．（0，1） D．[0，1]2．（5.00分）已知角θ满足sinθ﹣2cosθ=0，则=（）A．﹣2 B．0 C．D．23．（5.00分）下列函数中，值域是R+的是（）A．B．C．D．4．（5.00分）已知向量和的夹角为120°，，且，则=________（）A．6 B．7 C．8 D．95．（5.00分）已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x 的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5.00分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c7．（5.00分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．8．（5.00分）（文）设三角形ABC的三个内角为A，B，C，向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C． D．9．（5.00分）已知f（x）=，则f（2014）=（）A．﹣1 B．2 C．0 D．110．（5.00分）若函数f（x）=3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则a的取值范围是（）A．B．或a＜﹣1 C．D．a＜﹣111．（5.00分）已知奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2x，则的值为（）A．B．C．D．412．（5.00分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=1，则AB的长为（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上. 13．（5.00分）已知幂函数在区间（0，+∞）上是减少的，则实数a的取值范围为．14．（5.00分）函数f（x）=ax3﹣sinbx+2015（x∈R），若，则=．15．（5.00分）若是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为（﹣2，2），则在另一组基底下的坐标为．16．（5.00分）若函数f（x）=log a x（其中a为常数且a＞0，a≠1），满足f（）＞f（），则f（1﹣）＞1的解集是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x≤1，或x≥4}，U=R （1）当a=3时，求A∩B，A∪（∁U B）；（2）若A∩B=Φ，求实数a的取值范围．18．（12.00分）已知函数f（x）=﹣2x2+mx﹣3为区间（﹣5，﹣3+n）内的偶函数．（1）求实数m，n的值；（2）求函数f（x）在区间[1，5]上的最小值．19．（12.00分）已知向量=（3，1），=（﹣1，a），a∈R（1）若D为BC中点，=（m，2），求a、m的值；（2）若△ABC是直角三角形，求a的值．20．（12.00分）（1）化简；（2）已知，，求的值．21．（12.00分）已知f（x）=cosx（cosx﹣3）+sinx（sinx﹣3）．（1）若x∈[2π，3π]，求f（x）的单调递减区间；（2）若x∈（，）且f（x）=﹣1，求tan2x的值．22．（12.00分）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．2014-2015学年江西省赣州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5.00分）已知集合A={x|y=}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1]B．[0，+∞）C．（0，1） D．[0，1]【解答】解：由A中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴A=（﹣∞，1]，由B中y=x2≥0，得到B=[0，+∞），则A∩B=[0，1]，故选：D．2．（5.00分）已知角θ满足sinθ﹣2cosθ=0，则=（）A．﹣2 B．0 C．D．2【解答】解：角θ满足sinθ﹣2cosθ=0，则===2．故选：D．3．（5.00分）下列函数中，值域是R+的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A，≥0，值域是[0，+∞），故错；对于B，值域是{x|x＞1}，故错；对于C，，由于x∈N，值域中数是一系列孤立的数，不是（0，+∞），故错；对于D，，值域是R+，故对；故选：D．4．（5.00分）已知向量和的夹角为120°，，且，则=________（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由，可得，∴∵，∴，∴，∴故选：C．5．（5.00分）已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x 的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵ab=1，且a＞0，b＞0∴又所以f（x）与g（x）的底数相同，单调性相同故选：B．6．（5.00分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解析：∵由指、对函数的性质可知：，，∴有a＜b＜c故选：A．7．（5.00分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选：A．8．（5.00分）（文）设三角形ABC的三个内角为A，B，C，向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C． D．【解答】解：∵==1+cos（A+B）；∵A+B=π﹣C，∴；∴；∵0＜C＜π，∴，∴；∴．故选：D．9．（5.00分）已知f（x）=，则f（2014）=（）A．﹣1 B．2 C．0 D．1【解答】解：由f（x）=，则f（2014）=f（2014﹣5×402）=f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=log21=0．10．（5.00分）若函数f（x）=3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则a的取值范围是（）A．B．或a＜﹣1 C．D．a＜﹣1【解答】解：∵函数f（x）=3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，∴f（﹣1）f（1）＜0，即（﹣3a+1﹣2a）（3a+1﹣2a）＜0，化为（5a﹣1）（a+1）＞0．解得a或a＜﹣1．∴a的取值范围是：a或a＜﹣1．故选：B．11．（5.00分）已知奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2x，则的值为（）A．B．C．D．4【解答】解：奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），可得f（x+4）=f（x），函数的周期为4，且当x∈（0，1）时，f（x）=2x，则==f（﹣）=﹣f（）=﹣．故选：A．12．（5.00分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=1，则AB的长为（）A．B．C．D．1【解答】解：如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，∴====，∴．∵，∴．∴AB的长为．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上. 13．（5.00分）已知幂函数在区间（0，+∞）上是减少的，则实数a的取值范围为（0，1）．【解答】解：∵幂函数在区间（0，+∞）上是减少的，∴a2﹣a＜0，解得：0＜a＜1，故答案为：（0，1）．14．（5.00分）函数f（x）=ax3﹣sinbx+2015（x∈R），若，则= 4029．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣sinbx+2015（x∈R），若，可得a（）3﹣sinb+2015=1，可得a（）3﹣sinb=﹣2014．=﹣[a（）3﹣sinb]+2015=2014+2015=4029．故答案为：4029．15．（5.00分）若是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为（﹣2，2），则在另一组基底下的坐标为（0，2）．【解答】解：由条件可得=﹣2+2=（﹣2，2）+（4，2）=（2，4）．设=λ+μ═λ（﹣1，1）+μ（1，2）=（﹣λ+μ，λ+2μ），则由﹣λ+μ=2，λ+2μ=4，解得λ=0、μ=2．∴则在另一组基底下的坐标为（0，2），故答案为（0，2）．16．（5.00分）若函数f（x）=log a x（其中a为常数且a＞0，a≠1），满足f（）＞f（），则f（1﹣）＞1的解集是（1，）．【解答】解：∵满足f（）＞f（），∴log a＞log a，∴log a2＞log a3，∴0＜a＜1，∵f（1﹣）＞1，∴log a（1﹣）＞log a a，∴0＜1﹣＜a，解得x∈（1，）．故答案为：（1，）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x≤1，或x≥4}，U=R （1）当a=3时，求A∩B，A∪（∁U B）；（2）若A∩B=Φ，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）将a=3代入A中的不等式得：﹣1≤x≤5，即A={x|﹣1≤x≤5}，∵B={x|x≤1或x≥4}，U=R，∴A∩B={﹣1≤x≤1或4≤x≤5}，∁U B={x|1＜x＜4}，则A∪（∁U B）={x|﹣1≤x≤5}；（2）∵A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}，且A∩B=∅，∴，解得：a＜1．18．（12.00分）已知函数f（x）=﹣2x2+mx﹣3为区间（﹣5，﹣3+n）内的偶函数．（1）求实数m，n的值；（2）求函数f（x）在区间[1，5]上的最小值．【解答】解：（1）因为函数f（x）=﹣2x2+mx﹣3为区间（﹣5，﹣3+n）内的偶函数所以m=0…（3分）且﹣3+n=5，得n=8…（5分）（2）由（1）知f（x）=﹣2x2﹣3则函数f（x）在[0，+∞）上单调递减…（7分）在（﹣∞，0]上单调递增…（9分）故函数f（x）在[1，5]上单调递减…（10分）所以函数f（x）在区间[1，5]上的最小值为f（x）min=f（5）=﹣53…（12分）19．（12.00分）已知向量=（3，1），=（﹣1，a），a∈R（1）若D为BC中点，=（m，2），求a、m的值；（2）若△ABC是直角三角形，求a的值．【解答】解：（1）由题意知，D为BC中点，∴=（+）=（1，）（2分）∵=（m，2），∴，解得．（7分）（2）由题意分三种情况求解：①当A=90°时，即•=0，则3×（﹣1）+1•a=0，解得a=3（9分）②当B=90°时，∵=﹣=（﹣4，a﹣1）（10分）∴3×（﹣4）+1•（a﹣1）=0，解得a=13（12分）③当C=90°时，即•=0，则﹣1×（﹣4）+a•（a﹣1）=0，解得a无解，综上，a=3或13（14分）20．（12.00分）（1）化简；（2）已知，，求的值．【解答】解：（1）…（1分）=…（2分）=…（3分）=…（4分）=…（5分）=4…（6分）（2）由，两边平方得：…（7分）所以…（8分）因为，所以sinx＜0，cosx＞0故…（9分）所以…（11分）=…（12分）21．（12.00分）已知f（x）=cosx（cosx﹣3）+sinx（sinx﹣3）．（1）若x∈[2π，3π]，求f（x）的单调递减区间；（2）若x∈（，）且f（x）=﹣1，求tan2x的值．【解答】解：f（x）=cosx（cosx﹣3）+sinx（sinx﹣3）．=cos2x﹣3cosx+sin2x﹣3sinx=﹣3（sinx+cosx）+1=﹣3sin（x+）+1∴f（x）=﹣3sin（x+）+1，（1）令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+2kπ≤x≤+2kπ，∵x∈[2π，3π]，∴f（x）的单调递减区间[2π，]，（2）∵x∈（，）且f（x）=﹣1，∴﹣3（sinx+cosx）+1=﹣1，∴sinx+cosx=，∴1+sin2x=，∴sin2x=﹣，cos2x=，∴tan2x=．22．（12.00分）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【解答】解：（1）因为f（x）为（﹣1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，即b=0．又f（）=，所以=，解得a=1．所以f（x）=．（2）任取﹣1＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，因为﹣1＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）f（t﹣1）+f（t）＜0可化为f（t﹣1）＜﹣f（t）．又f（x）为奇函数，所以f（t﹣1）＜f（﹣t），f（x）为（﹣1，1）上的增函数，所以t﹣1＜﹣t①，且﹣1＜t﹣1＜1②，﹣1＜t ＜1③；联立①②③解得，0＜t＜．所以不等式f（t﹣1）+f（t）＜0的解集为．。