任意角与弧度制【知识梳理】1按旋转方向分2. 按角的终边位置(1) 角的终边在第几象限， ___ 则此角称为第几；(2)角的终边在__上，则此角不属于任何一个象限.3. 所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S= ___________________________ ，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与_______________ 的和.【常考题型】题型一、象限角的判断【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在X轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角.(1) - 75°; (2)855 ° ; (3) - 510° .【类题通法】象限角的判断方法(1) 根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角.(2) 根据终边相同的角的概念.把角转化到0°〜360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角.【对点训练】在直角坐标系中，作出下列各角，在0°〜360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)360 ° ; (2)720 ° ; (3)2 012 ° ; (4) - 120° .题型二、终边相同的角的表示【例2】(1)写出与a=- 1 910 °终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一720°＜卩v 360°的元素卩写出来.⑵分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.1终边相同的角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差 360°的整数倍.⑵ 终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90°的整数倍.2•区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；⑵由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角 a ,卩，写出所有与a ,卩终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合.【对点训练】题型三、确定n 及一所在的象限na【例3】 若a 是第二象限角，则 2a , y 分别是第几象限的角?【类题通法】1. n a 所在象限的判断方法确定n a 终边所在的象限，先求出 n a 的范围，再直接转化为终边相同的角即可.2負所在象限的判断方法已知角a 的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角a 的取值范围.【类题通法】a已知角a所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：na(1)用不等式表示出角—的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1 ；被n 除余2；…；被n除余n—1.从而得出结论.⑵作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域•从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是a a根据a终边所在的象限确定的终边所落在的区域.如此，一所在的象限就可以由标号区域n n所在的象限直观地看出.a【对点训练】已知角a为第三象限角，试确定角2 a , ~是第几象限角.题型四轴线角与象限角1. 终边落在x轴正半轴上角的集合___________________________2. 终边落在x轴负半轴上角的集合 ____________________________3. 终边落在y轴正半轴上角的集合 ____________________________4. 终边落在y轴负半轴上角的集合____________________________5.终边落在x轴上角的集合6.终边落在y轴上角的集合7.终边落在坐标轴上角的集合8.与终边关于原点对称(互为反向延长线)，与的关系9.与终边关于X轴对称,与的关系10. 与终边关于y轴对称，与的关系_____________________________11. 第一象限角的范围：___________________________12. 第二象限角的范围：___________________________13. 第三象限角的范围：___________________________14. 第四象限角的范围：___________________________【知识梳理】1. 角度制与弧度制(1)角度制.①定义：用度作为单位来度量角的单位制.②1度的角：周角的__________ 作为一个单位.(2)弧度制.① 定义：以 ______ 作为单位来度量角的单位制.② 1弧度的角：长度等于 __________ 的弧所对的圆心角.2. 任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个 __________ ，负角的弧度数是一个 ___________ ，零角的弧度数是 0.3. 角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角a 所对弧的长为I ,那么，角a 的弧度数的绝对值是| a | = p4. 弧度与角度的互化角度化弧度弧度化角度360 ° = rad 2 n rad =180 ° = radn rad =1 °=rad ~ 0.017 45 rad 1 rad =~ 57.30 °5. 一些特殊角的度数与弧度数的对应表度 0° 30 ° 45 ° 60 °90 ° 120° 135 °150 °180 °弧度nnnn2n 3n 5 n— —— ----— n64323 46•扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为 弧长为, a 为其圆心角，则a 为度数a 为弧度数扇形的弧长 I = I =扇形的面积S =S ==【常考题型】题型一、角度与弧度的换算2 n 【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72 ° ;(2) — 300 °; (3)2 ; (4)—-.【类题通法】角度与弧度互化技巧抓住关系式n rad = 180 °是关键，由它可以得到:【对点训练】3 nn已知 a 1 =— 570°, a 2 = 750 ° , 卩 1=, 卩 2=- —.(1)将a 1, a 2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角;⑵将卩1,卩2用角度表示出来，并在一 720 °〜0°范围内，找出与它们有相同终边的所有在进行角度与弧度的换算时,=弧度数，弧度数X角.题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用【例2】(1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2，则扇形的面积为__________________________ .⑵已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度? 面积是多少？【类题通法】弧度制下涉及扇形问题的攻略1 1 2(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S= q lr = 2I a | r2⑵涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是a为弧度.【对点训练】已知扇形的周长是30 cm当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？题型三、用弧度制表示角的集合【例3】用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.用弧度制表示角应关注的三点(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算.注意单位要统⑵表示角的集合时，可先写出一周范围(如一n〜n, 0〜2n )内的角，再加上2k n, k €乙⑶终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x =a + k n, k € Z};终边在相互垂直的两n直线上的角的集合可以合并为xx=%+k•p, k€Z .在进行区间的合并时，一定要做到准确无误.【对点训练】以弧度为单位，写出终边落在直线y=—x上的角的集合.其他重要例题1. 在下列各组中，终边不相同的一组是( )A . 600和3000 B. 230°和950° C. 1050°和30° D. 1000°和80°2. 下列各角中，与60°角终边相同的角是()A. 60B. 600C. 1380D. 3003. A 2k (2k 1) ,k z ,B 4 4，则A B ______________4. ________________________________________________________ 若角a = 2 014° ,则与角a 具有相同终边的最小正角为__________________________________________________ ,最大负角为_____________ 半期考试补救例1已知函数f x x2 2x 2,(1 )若x R，求函数的最值；(2)若x 1,3，求函数的最值；(3)若x [ 2,3]，求函数的最值；(4)若x a, a 2 ,a R，求函数的最小值；(5) x a, a 2 , a R，求函数的最大值。
练习：(1)已知k R，求函数y x2 2kx 3在区间1,2上的最大值。
(2)已知k R，求二次函数y kx2 2kx 1, x 3,2的最值。