由
称为 冲量矩
角动量的增量
这就是质点的 角动量定理 的积分形式
例1 圆锥摆如图，摆线长l，小球质量m，速率为v, 垂直纸面向外，取悬挂点O为参考点。 求:摆球所受力矩和摆球角动量。 T
l

O
解：摆球受张力和重力
张力对O点力矩为零？
摆球所受重力矩大小
L
M m glsin
方向⊙ 方向如图
v
2
120 0 900
P1 P2 P3 0
m1 , v
水平方向： m1v m2 v cos600 m3v cos300 0 竖直方向： m v sin 600 m v sin 300 0 3 2
联立求解可得三块物体的质量比为：
m3 , v
无外力作用下，两个作惯性运动的质点发生弹性碰撞 碰 撞 前
m1
01
m2
02
图中
1
= 2 = =
1
2
01 02
而且普遍满足：
（ 碰 撞 后
m1
1 ） (积总是大小相等 方向相反。 经典力学中，物体质量保 持恒定，上式可写成
1
02
2
2
（ 2 ） 1） 2 可见，质量与速度乘积的大小和方向 及其变化，是反映物质运动和相互作用普 遍规律的一个重要的物理量。
t2 t1
p x Fx dt p y F y dt
t1 t2
p2
pz Fz dt
t1
t2
随堂练习一
应用动量定理求解平均阻力
例3如图所示，在光滑的平面上，质量为 m 的质点以角 速度 沿半径为 R的圆周匀速运动. 试分别用积分法和 动量定理，求出 从 0 到 / 2的过程中合外力的冲量. v2 解 用积分法求解如下： 加速度a 0, an 2 R m R F (t ) t t 2 I F ( t ) dt mR ( cos i sin j )dt t t o R 2 d
取小于
的转向
大小
方向 垂直于
乘
所决定的
平面， 指向右螺旋
叉
的旋进方向。
角动量 又称 动量矩
例： 水平面上质点做匀速圆周运动 质点对圆心的角动量：
L O
v r a m
L r p r mv L = rmv 方向如图
动量不断改变， 但对圆心角动量大小和方向不变。
注意:
加速飞行中的火箭
火箭速度微分式
多级火箭与质量比
神七 使用了……
随堂练习二
续练习二
随堂练习三
例4 一个原来静止在光滑水平面上的物体，突然列成了三块， 且以相同的速率沿三个方向在水平面上运动，各方向之间的 夹角如图所示.求三块物体的质量比. m ,v
解 设三块物体的速率均为 ，由于原来静止， 而且在列解过程中不受外力的作用，所以它们的 动量守恒. 于是有：
逆风行舟予备简例
动量定理简例
坚壁竖立在水平上。
逆风行舟动量分析
[例2]一装沙车以v =3m/s的速率从沙斗下面通过。每秒钟落入车厢 的沙为 m 500kg ，如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵 引力？(车与轨道的摩擦不计) 解： 设m为t 时刻已落入车厢的沙的质量 以m和dm 为研究系统 t 时刻水平总动量为 mv dm 0 mv
dm dx
m l
l dm o x m dx
x
质元受阻力矩：
m l 1 1 l 2 M阻 dM阻 0 gxdx gl mgl 2 2
细杆受的阻力矩
dM阻 dmgx
质点的角动量
惯性系中某 给定参考点
质点的动量
质点对参考点O 的角动量
生活中的动量与角动量
安全气囊 船行“八面风”
冲击摆
旋 转 的 星 云
跳马腾空
力学(Mechanics)
第三章 动量与角动量
§3.1 冲量与质点的动量定理 §3.2 质点系的动量定理 §3.3 动量守恒定理
§3.4 质点的角动量定理
§3.5 角动量守恒定律
§3.6 质点系角动量定理与守恒
质量与动量概念提出
冲量概念
力在时间上的积累，即冲量impulse ，用 I 表示。 恒力的冲量
(t1 → t2)： F (t t ) F t I 2 1 z
变力的冲量
t2 t
元冲量： dI F dt t (t → t )： I t Fdt
2
1 2

F
F (t ) o R
m v1
课前练习
四
1.质点动量定理的微分形式及其文字表述：
或
质点动量的元增量等于它获得的元冲量。 2.质点动量定理的积分形式及其文字表述：
t t0 p p0
0
质点动量的增量等于它获得的冲量。
第 i 个质点 受系统内其它质点作用的合力：
对各质点应用质点的动量定理
第 i 个质点 受系统外部作用的合力：
应用质点的角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律
开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
天上的立法者——开普勒 约翰．开普勒（1571-1630），德国近代著名的 天文学家、数学家、物理学家和哲学家。他以数学 的和谐性探索宇宙。继哥白尼之后第一个捍卫太阳 中心说，被后世的科学史家称为“天上的立法者”。 1571年12月27日，出生在德国一个贫民家庭。四 岁时患上了天花和猩红热，视力衰弱，一只手半残。 他用古希腊人已经发现的五个正多面体，跟当时巳知 的六颗行星的轨道套迭，从而解释了太阳系中包括地 球在内恰好有六颗行星以及它们的轨道大小的原因。 他把这些结论整理成书，名为《宇宙的秘密》。该设 想虽带有神秘色彩，但却也是一个大胆的探索。 对火星轨道的研究是开普勒重新研究天体运动的起点。用正圆编制火 星的运行表，发现火星老是出轨。在进行了无数次试验后，他找到了与事 实较符合的方案。可是，依照这个方法来预测卫星的位置，却跟第谷的数
mg
O
摆球角动量大小 选另一参考点
L mvl
O ???
质点的角动量守恒定律
根据质点的 角动量定理
若 即
则
常矢量 当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 为
为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 零，即质点对该点的角动量
称为
守恒。
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕 太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
F
v 2 gh 2 9.80 2 6.26m/s
2mv 2 0.58 6.26 2 F 3.82 10 N t 0.019
t2
平均冲力
F
F ( t )dt t 2 t1
直 角 坐 标 系 中
t1
p1
p
p2 p1 t 2 t1
大小 例题
张力 通过 点 力矩为零
重力 的力矩 等于合外力矩 大小为 除了在通过平衡位置 的一瞬 间，角动量的时间变化率为零外， 其它位置均不为零。
若忽略其它天体的作用力，太阳 系中某一行星所受的合外力总是指 向太阳。若以太阳为参考点，则
合外力矩大小
角动量的大小不随时间变化
质点角动量定理也可用积分形式表达
质点动量定理 的积分形式为 t t0 p p0
0
质点动量的增量等于它获得的冲量。
平均冲力
F
t
t2
1
F dt
F
t 2 t1
p t
F
o
t
t
[例1]已知：一篮球质量m = 0.58kg，从h=2.0m的高度下落，到 达地面后，以同样速率反弹，接触地面时间 t = 0.019s。 求：篮球对地的平均冲力 解： 篮球到达地面的速率
2
2
1
1
dt I mR ( i j )
0

mR
( cos i sin j )dt
v2
用动量定理求解如下：
t1
t2 I F ( t ) dt P2 P1
m(v2 v1 ) mR ( i j )
思路： 分析 由 则
两平行矢量的叉乘积为零
得
质点 对参考点 的
角动量的时间变化率
位置 等于 矢量
所受的 叉乘 合外力
而
续4
大小
方向
是力矩的矢量表达：
即 力矩
垂直于 所决定 的平面，由右螺旋法 则定指向。
的
得
质点
对给定参考点
角动量的时间变化率 称为质点的
所受的合外力矩
角动量定理
的微分形式
如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用 代数法求合力矩。

F1
F2
O x t 1
y
1
质点的动量定理 theorem of momentum of particle
differential form
由力的定义
得
根据力与作用时间的乘积 称为 力的 冲量
的定义
质点动量定理 的微分形式为
或
质点动量的元增量等于它获得的元冲量。 integral form
由质点系的动量定理
微分形式 积分形式
或
或
若
则
定律说明
火箭飞行原理 ―神州”号飞船升空
变质量系统、火箭飞行原理
低速:（v << c）情况下的两类变质量问题： ▲ 粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） ▲ 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射）