2018-2019学年安徽省合肥市六校联盟高一（上）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.已知集合M={-1，0，1}，N={y|y=x2-1，x∈M}，则M∩N等于（）
A. 0，
B.
C.
D.
2.已知向量=（1，m），=（2，-4），若 ∥，则实数m=（）
A. 2
B.
C.
D.
3.已知cos（π-α）=-，则sin（α+）=（）
A. B. C. D.
4.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为10的图形运动一周，O，P两点间距离y与
点P走过的路程x的函数关系如图，则点P所走的图形是（）
A. B. C. D.
5.已知a=log 1.2，b=（）-0.8，c=1.2，则a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
6.设函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），已知函数f（x）的图象相邻的两个对称中心的距离
是2π，且当x=时，f（x）取得最大值，则下列结论正确的是（）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数在上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点对称
7.设cos2019°=a，则（）
A. ∈
B. ∈
C. ∈
D. ∈
8.已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，则log（）=（）
A. B. C. 2 D.
9.函数f（x）=1-cos x-log4|x|的所有零点之和等于（）
A. 0
B. 8
C. 14
D. 18
10.已知函数f（x）=，则方程f（f（a））=1的a的个数是（）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11.计算：（）-2+8-（lg5+lg20）=______．
12.若幂函数y=（k-2）x m-1（k，m∈R）的图象过点（，），则k+m=______．
13.已知函数f（x）=sin x•cos x+cos2x-在x=θ时取得最大值，则cos（4θ+）=______．
14.平行四边形ABCD中，E为BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=______．
15.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）
=10x-10，则f（lg2019）═______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
16.已知函数f（x）=2x-．
（1）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于x的不等式f（log2x）＜f（1）．
＞
17.已知函数
（1）若a=1，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在[-7，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
18.已知，，是共面的三个向量，其中=（1，2），||=，||=2且与反向．
（1）求|-|；
（2）若+2与2-3垂直，求•（+）的值．
19.已知函数f（x）=2sin（2x+）．
（1）写出由函数y=sin x的图象，经过怎样的变换得到f（x）的图象；
（2）若方程f（x）-a=0在[0，]上有解，求实数a的取值范围．
20.如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、M在单位圆上，且B（，），
M（-，），∠BOM=α．
（1）求tanα的值；
（2）若OC为∠AOB的平分线，点P在劣弧上运动，且EP∥OC交OA于点E，EPQF为扇形OAB的
内接矩形，记∠POC=θ，求角θ为何值时，矩形EPQF的面积最大？并求出这个最大面积．
答案和解析
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】6
12.【答案】2
13.【答案】0
14.【答案】1
15.【答案】-
16.【答案】解：（1）∵f（-x）=2-x-2x=-（2x-）=-f（x），则函数f（x）是奇函数，则当x≥0时，设0≤x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=--+=-+
=（-），
∵0≤x1＜x2，
∴1≤＜，即-＜0，＞1，
则f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）在R上是增函数．
（2）∵f（x）在R上是增函数，
∴不等式f（log2x）＜f（1）等价为不等式log2x＜1，
即0＜x＜2．
即不等式的解集为（0，2）．
【解析】
（1）先判断函数的奇偶性，然后利用函数单调性的定义进行证明即可
（2）利用函数单调性的性质将不等式进行转化求解即可
本题考查函数的单调性的判定以及应用，关键是分析证明函数f（x）的单调性．利用函数单调性的定义是解决本题的关键．
＞
17.【答案】解：（1）若a=1，则
当x＞1时，由得，x=2；…………………（2分）
当x≤1时，由x2+2x=0得，x=0或x=-2…………………（4分）
所以，f（x）的零点为-2，0，2…………………（6分）
（2）显然，函数在[1，+∞）上递增，且g（1）=-2；
函数h（x）=x2+2ax-3a+3在[-a，1]上递增，且h（1）=4-a．
故若函数f（x）在[-7，+∞）上为增函数，
则，，
∴a≥7．…………………（10分）
故a的取值范围为[7，+∞）．……………（12分）
【解析】
（1）利用分段函数，分段求解函数的零点即可．
（2）利用函数的单调性，列出不等式组，求解即可．
本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．
18.【答案】解：∵ =（1，2），||=2且与反向，
∴ =λ，λ＜0，
∴||=|λ|，
∴2=|λ|，
解得λ=-2，
∴ =-2（1，2）=（-2，-4），
∴ -=（-3，-6）
∴|-|==3
（2）∵ +2与2-3垂直，
∴（+2）•（2-3）=2-6+•=0，
∴ •=6×3-2×5=8，
∴ •（+）=•+•=8+（1，2）×（-3，-6）=8-3-12=-7
【解析】
（1）先求出向量的C的坐标，再根据向量的坐标运算和向量模即可求出，
（2）根据向量的垂直求出•=8，再根据向量的数量积即可求出．
本题考查了向量的模的运算向量的数量积和向量的坐标运算，属于基础题
19.【答案】（本题满分为10分）
解：（1）把函数y=sin x的图象向左平移的单位，可得函数y=sin（x+）的图象，
再把所得图象上点的横坐标变为原来的倍，可得函数y═sin（2x+）的图象
再把所得图象上点的纵坐标变为原来的2倍，可得函数f（x）═2sin（2x+）的图象．…（5分）（2）∵x∈[0，]，可得：2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[-，1]，
∵方程f（x）=a在x∈[0，]上有解，
∴实数a的取值范围为：[-，1]；…（10分）
【解析】
（1）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
（2）利用三角函数的图象与性质即可求出a的取值范围；
本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的减区间，属于中档题．
20.【答案】解：（1）由题意知，tan∠BOA==，
tan∠MOA==-2，
又∠BOM=α，
∴tanα=tan（∠MOA-∠BOA）==；
（2）由条件得∠AOB=，∠AOC=，
且CP=sinθ，
EP=cosθ-=cosθ-sinθ，
∴矩形EPQF的面积为
S（θ）=2CP•EP
=2sinθ•（cosθ-sinθ）
=2sinθcosθ-2sin2θ
=sin2θ-•（1-cos2θ）
=2sin（2θ+）-，
当2θ+=，即θ=时，矩形EPQF的面积取得最大值，为2-．
【解析】
（1）由题意知tan∠BOA和tan∠MOA的值，利用两角差的正切公式计算tanα的值；
（2）用θ的三角函数值表示出CP、EP的值，求出矩形EPQF的面积，计算它的最大值以及对应θ的值．
本题考查了三角函数的运算与性质的应用问题，也考查了矩形的面积计算问题和两角和与差的运算问题，是中档题．。