第六章习题解答．已知约束优化问题：122)(x?(x?2)1?xminf()?2120??xtg(x)?xs???T)(k2?1x?-0.254）区间的随机数0.562和出发，沿由（-1 1 试从第k次的2110?2?x)?x?xg(212迭代点)k?1(x。
并作图画出目标函数所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。
解] 1）确定本次迭代的随机方向：[T??0.2540.562??T0.412S???0.911??R2222??0.254?0.254?0.5620.562??(1)k)?(k?Sx?x?计算新的迭代点。
步长α用公式：2)取为搜索到约束边界R上的最大步长。
到第二个约束边界上的步长可取为2，则：k?1k?S??1?2?0?x.?911?0.x82211R1k?k?x)?1.176412(2?x?S??2??0.222R0.822??1?k?X即：??1.176??该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。
2．已知约束优化问题：2minf(x)?4x?x?122122?x?25?0sg(x)?x?t2110??x?g(x)120??x?g(x)23??????TTT000312x,x?13?4,x?为复合形的初始顶点，用复合形法进行试以213两次迭代计算。
[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：??00??5x??f2111??00?f13x??422??00????xf3393300为最坏点。
x为最好点，x经判断，各顶点均为可行点，其中，230x后的复合形的中心点：2）计算去掉最坏点?00????xx?????????????ic32132L??????????1i?2?i1?x3.?1（取反233532.2??????????11射系数3）计算反射点）R2.540.552.5??????????1000?????)???(x1.3?x?xx??????????2cRc2213.3??????????11经判断x为可行点，其目标函数值f??20.69RR0010，xx和xx，由）去掉最坏点构成新的复合形，在新的复合形中4R12310x为最好点，x为最坏点，进行新的一轮迭代。
1R 5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：30.551.775????????11????x?????????c33.33.152????????6）计算新一轮迭代的反射点得：1.77521.48251.775??????????2110???)??1.3???x?(x?xx??????????1cRc3.155.9453.151 ??????????21经判断x为可行点，其目标函数值f??41.413，完成第二次迭代。
RR ??T xx?x度的梯的适时约束点，并已的3．设已知在二维空间中点知该21????TT50?f?g???1?11.?，目标函数的梯度，试用简化方法确定一个适用的可行方向。
kkk计算适用的可行方向：)?f(xP?f(x)/Pd??按公式6-32 [解]??Tkk1?0.?f(x)?5x点的目标函数梯度为：k x Jn? J=1：点处起作用约束的梯度G 为一个阶的矩阵，题中：n=2，??Tk1?(x1)???G?g1P为：梯度投影矩阵??????????1?????TT???01?1?G??GP?I?GG1?11?50.0?1.5??101????????????50.0??0111.5???????????则：适用可行方向为：0.5?0.5?0.50.5?0.5?0.5?0.707??????????k??d???????????707.10.5?0.5010.5?0.5??????????4．已知约束优化问题：43)(22xx)?xminf(x)?(x?x?43121230?x?g?s?t??Tk1/2?x1/40点的梯度投影方向。
试求在kkk计算适用的可行方向：110?x?g?220?x?g?33x)/P?f?d?P?f(x()按公式6-32 [解]??Tkk1?1250.f?(x)?25?0.x点的目标函数梯度为：k x J?n：，J=1 点处起作用约束的梯度G为一个阶的矩阵，题中：n=3??Tk0?1??g(x0)?G1为：梯度投影矩阵P1?0001?1100???????????????????????1?????TT0100000?1?1??0G?PI?G1G000G?????????????????????10010000??????????则：适用可行方向为：000?0.1250000?0.125????????????????????k0.25125.?2430.00?d?0100 ????????????????????11?100100?97.0??????????5．用内点法求下列问题的最优解：221?x?2f(x)?xx?min121t?x?0sg?3?212????))?rxln(g(x,r)?f(x，然后用解析法求解。
）（提示：可构造惩罚函数u1u? [解] 构造内点惩罚函数：2???22?)x?rln(3??x?x?2x?x(x,r)?f()?r1ln(gx)2u2111?u x的极值等于零：令惩罚函数对2?2x???d10????)3?x(2x??r)/(dx??221?x1得：r?86?36x?246?36?8r?x舍去负根后，得24??T3为解最题该3?时，?0x，问的优rx?1。
当26．用外点法求下列问题的最优解：minf(x)?x?x212?x?g?x0ts?211g??x?012[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型：subroutine ffx(n,x,fx)dimension x(n)fx=x(1)+x(2)endsubroutine ggx(n,kg,x,gx)dimension x(n),gx(kg)gx(1)=x(1)*x(1)-x(2)gx(2)=-x(1)endsubroutine hhx(n,kh,x,hx)domension x(n),hx(kh)hx(1)=0.0end然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：============== PRIMARY DATA ==============N= 2 KG= 2 KH= 0X : .1000000E+01 .2000000E+01GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01X : .1000000E+01 .2000000E+01FX: .3000000E+01GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01PEN = .5000000E+01R = .1000000E+01 C = .2000000E+00 T0= .1000000E-01EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05=============== OPTIMUM SOLUTION ==============IRC= 21 ITE= 54 ILI= 117 NPE= 3759 NFX= 0 NGR= 0R= .1048577E-13 PEN= .4229850E-06X : .9493056E-07 .7203758E-07FX: .1669681E-06GX: -.7203757E-07 -.9493056E-077．用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：minf(x)?x?x12s?tg(x)??lnx?0110???x1xh()?x221将上述问题按规定写成如下的数学模型：[解]subroutine ffx(n,x,fx)dimension x(n)fx=x(2)-x(1)endsubroutine ggx(n,kg,x,gx)dimension x(n),gx(kg)gx(1)=-log(x(1))]gx(2)=-x(1)gx(3)=-x(2)endsubroutine hhx(n,kh,x,hx)domension x(n),hx(kh)hx(1)=x(1)+x(2)-1end然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：============== PRIMARY DATA ==============N= 2 KG= 3 KH= 1X : .2000000E+01 .1000000E+01FX: -.1000000E+01GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01X : .2000000E+01 .1000000E+01GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01HX: .2000000E+01PEN = .5942695E+01R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05=============== OPTIMUM SOLUTION ==============IRC= 29 ITE= 143 ILI= 143 NPE= 1190 NFX= 0 NGR= 172 R= .7205765E-11 PEN= -.9999720E+00X : .1000006E+01 .3777877E-05FX: -.1000012E+01GX: -.5960447E-05 -.1000006E+01 .6222123E-05HX: -.2616589E-06。