第6章协整和误差修正模型本章介绍含有非平稳变量结构方程或VAR的估计。

在一维模型中，我们已经看到，可以通过差分去掉一个随机趋势，得到的平稳序列，再用Box-Jenkins方法来估计模型。

在多维情况下，并不这样直接处理。

通常，整变量的线性组合是平稳的，这些变量称为协整的。

许多经济模型都有这种关系。

本章主要内容：1．介绍协整的基本概念，及在经济模型中的应用。

非平稳变量之间的均衡关系意味着它们的随机趋势是相联系的。

均衡关系意味着这些变量不能相互独立运动。

随机趋势之间的这种联系保证了这些变量是协整的。

2．考虑了协整变量的动态路径，由于协整变量的趋势是相互联系的，这些变量的动态路径反映了偏离均衡的偏差的联系。

详细分析了变量的变化与偏离均衡的偏差之间的联系。

3．讨论了协整检验的几种方法。

6.1整变量的线性组合考虑一个简单的货币需求模型：1）居民持有实际货币余额，使名义货币需求与价格水平成比例；2）当实际收入及交易次数的增加，居民希望持有更多的货币余额；3）利率是持有货币的机会成本，货币需求与利率负相关。

因而，方程设定形式（采用对数形式）如下：0123t t t t t m p y r e ββββ=++++ （6.1.1） 这里： t m =货币需求，t p =价格水平t y =实际收入t r =利率t e =平稳扰动项i β=待估计的参数在货币市场是均衡的条件下，可以得到货币供给、价格水平、实际收入和短期利率的时间序列数据，且要求1231,0,0βββ=><。

当然，在研究中需要检验这些限制。

货币需求的任何偏差{}t e 必须是暂时的。

如果{}t e 有随机趋势，偏离货币市场均衡的偏差不能消失。

所以，这里的关键假设是{}t e 是平稳的。

许多研究者认为，实际GDP 、货币供给、价格水平、利率都是I(1)变量。

每个变量都没有返回到长期水平的趋势。

但（6.1.1）说明：对这些非平稳变量，存在线性组合是平稳的。

协整的概念由Engle 和Granger(1987)引出。

考虑一组具有长期均衡关系11220t t n nt x x x βββ+++=的经济变量。

令β和t x 表示向量12(,,,)n βββ和12(,,,)t t nt x x x '，当0t x β=，则系统处在长期均衡。

偏离长期均衡的偏差（均衡误差）是t e ，使t t e x β=要使均衡有意义，均衡误差过程必须是平稳的。

经济理论学家和计量经济学家使用“均衡”概念的方式是不同。

经济理论学家通常使用“均衡”这个概念—需求和供给相等。

计量经济学家使用“均衡”这个概念—非平稳变量之间的长期关系。

在协整理论中，并不要求长期关系是由市场力量或居民行为规则而产生。

Engle 和Granger 认为均衡关系是具有相同趋势变量中的一种简单的导出型关系。

Engle 和Granger （1987）给出下面定义：向量12(,,,)t t t nt x x x x '=是(,)d b 阶协整的（表示为),(~b d CI x t ）如果1．t x 的所有元素的阶为d 。

2．存在向量12(,,,)n ββββ=使线性组合1122t t t n nt x x x x ββββ=+++是()d b -阶单整（b>0），向量β被称为协整向量。

在（6.1.1）中，如果货币供给、价格水平、实际收入、利率都是I(1)的且线性组合0123t t t t t m p y r e ββββ----=是平稳的，那么变量是阶为（1，1）协整的。

协整向量是0123(1,,,,)βββββ=----偏离货币市场的偏差是t e ，由于t e 是平稳的，这种偏离是暂时的。

关于定义，有下面4点需要注意：1．协整的概念涉及到非平稳变量的线性组合，理论上，整变量之间可能存在非线性长期关系。

但是，目前计量经济方法刚开始研究非线性协整关系的检验。

还须注意，协整向量不是唯一的。

2．如果t x 有n 个非平稳分量，那么它最多可能有(n-1)个线性独立的协整向量。

显然，如果t x 只包含两个变量，那么至多有一个独立的协整向量。

独立的协整向量个数被称为协整秩。

例如，假设货币供给按照逆周期原则：当名义GDP 很高时，减少货币供给，当名义GDP 很低时增加货币供给。

这个原则可表示为： 011()t t t t m y p e γγ=-++0111t t t y p e γγγ=--+这里1{}t e =货币供给逆周期原则中的平稳误差。

这时货币需求函数存在两个协整向量。

令β是52⨯阶0123011110βββββγγγ----⎛⎫= ⎪-⎝⎭有两个线性组合是平稳的，t x 的协整向量秩是2。

6.2 协整和公共趋势Stock 和Watson （1988）认为协整变量具有公共的随机趋势。

这为理解协整关系提供了一个有用的方式。

设向量t x 只包含两个变量(,)t t t x y z '=，不考虑周期和季节因素，我们可以设每个变量是随机游动加不规则元素:t yt yty e μ=+t zt zt z e μ=+这里：it μ=随机游动，表示变量i ),(z y i = 中的趋势it e =变量i 中平稳（不规则）元素如果{}t y 和{}t z 是（1，1）阶协整，存在非零值12,ββ使线性组合12t t y z ββ+是平稳的，注意，1212()()t t yt yt zz zt y z e e βββμβμ+=+++1212()()yt zt yt zt e e βμβμββ=+++由于12t t y z ββ+是平稳的，所以没有趋势，那么趋势部分（12)yt zt βμβμ+一定为零，又因为第2个括号是平稳的，{}t y 和{}t z 是CI(1,1)的充分必要条件是120yt zt βμβμ+=要保证上式成立，当且仅当21(/)yt zt μββμ=-。

即两个随机趋势至多只差常数倍。

也即是说，如果两个I(1)随机过程{}t y 和{}t z 是（1，1）阶协整的，那么它们一定有相同的随机趋势。

6.3 协整和误差修正协整变量间的关键特征是它们的时间路经受偏离长期均衡的程度的影响。

如果系统偏离长期均衡，它们中至少有一个变量的运动方式对偏离均衡的程度有反应。

例如，利率期限结构理论说明了长期利率，短期利率的一种长期关系。

如果长期利率、短期利率之间的差相对于长期均衡关系较大，短期利率相对于长期利率最终要上升。

短期动态一定受偏离长期关系的偏差所影响。

这里所说的动态模型是指误差修正模型。

在一个误差修正模型中，短期动态受偏离长期均衡的偏差所影响。

若假设长、短期利率都是I(1)的，可以应用到利率期限结构的误差修正模型是11(),0st s Lt st st s r r r αβεα--∆=-+>。

（6.3.1）11(),0Lt L Lt st Lt L r r r αβεα--∆=--+>。

（6.3.2）这里，,st Lt εε是可以相关的白噪声扰动，Lt r 和st r 是长、短期利率，,,s L ααβ是参数。

短期、长期利率的变化受随机冲击（,st Lt εε）的影响，也受前一期偏离长期均衡的偏差所影响。

如果这个偏差是正的11(0)Lt st r r β--->，短期利率将上升，长期利率下降。

当Lt st r r β=时，达到长期均衡。

由假设，st r ∆是平稳的，使得（6.3.1）左边是平稳的，右边也一定是I(0)的。

又st ε是平稳的，所以，11Lt st r r β---一定是平稳的。

所以，两个利率一定是协整的，协整向量是(1,)β-。

当然，同理可说明（6.3.2）。

这里需要注意的是误差修正表示要求两个变量是CI(1.1)阶协整。

在方程中，还可引入利率变化的滞后项，形成更一般的模型：10111112()()()st s Lt st st i Lt i st r a r r a i r a i r αβε----∆=+-+∆+∆+∑∑（6.3.3） ∑∑+∆+∆+--=∆----Lt i Lt i st st Lt L Lt r i a r i a r r a r εβα)()()(22211120（6.3.4）方程（6.3.3）、（6.3.4）类似于VAR 模型。

这个两变量的误差修正模型是二维VAR 模型且加入了误差修正项11()s Lt st r r αβ---和11()L Lt st r r αβ----。

参数,s L αα解释成调整速度。

s α越大，对前期偏离长期均衡的偏离的反应越大。

较小的s α值意味着短期利率对上期的均衡误差反应不大。

要想{}st r ∆不受长期利率Lt r 的影响，s α和所有12()a i 必须为零。

当然，（6.3.3）,(6.3.4)中至少有一个调整系数不为零。

如果s α和L α都为零，方程中没有长期均衡关系式，则模型不是误差修正模型或者说不是协整的。

这些结果也可被容易推广到n 个变量模型。

如果12(,,,)t t t nt x x x x '=可被表示成如下形式：011122t t t t p t p t x x x x x πππππε----∆=++∆+∆++∆+ （6.3.5）则说t x 有一个误差修正表示。

这里0π=截距向量，元素为0i πi π=具有元素()jk i π的系数矩阵π=具有元素jk π的系数矩阵（非零矩阵）t ε=具有元素it ε的向量令所有t x 中的变量都是I(1)，如果这些变量有误差修正表示，那么I(1)变量的一个线性组合一定是平稳的。

由（6.3.5）有10t t i t i t x x x πππε--=∆--∆-∑由于等式右边是平稳的，所以左边也一定是平稳的。

π的每行都是t x 的协整向量。

方程（6.3.5）的关键特征是存在矩阵π。

有两点需要注意:1．如果π的所有元素都为零，那么（6.3.5）就是传统的一阶差分形式的VAR 。

这时没有误差修正表示，因为t x ∆并不受前一期偏离长期均衡的偏差所影响。

2．如果有一个或更多的jk π不为零，那么t x ∆受前期偏离均衡的偏差的影响。

因此，如果t x 有误差修正表示，估计t x 作为一阶差分形式的VAR 是不恰当的。

协整和误差修正之间的关系—Granger 表示定理Granger 表示定理：对于任何一组I(1)变量，误差修正和协整是等价的表示。

下面通过考察二维VAR 模型的性质，分析协整和误差修正之间的关系111121t t t yt y a y a z ε--=++ （6.3.6）211221t t t zt z a y a z ε--=++ （6.3.7）或 111121212211t t yt t t zt y y a a z z a a εε--∆-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∆-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 这里yt ε和zt ε可以是相关的白噪声扰动。