寻找二面角的平面角的方法面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点•对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法.我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型.1.1二面角的相关概念新教材⑴在二面角中给出的定义如下：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的平面角中去研究•教材如下给出了二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指在二面角:的棱上任取一点 0,分别在两个半平面内作射线AO _ I, BO _丨，则.AOB为二面角〉-丨- 一：的平面角•2.二面角的求解方法对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决•定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角三、“算”：计算出该平面角由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍•2.1定位二面角的平面角，求解二面角二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1 在60的二面角:-a -■的两个面内，分别有A和B两点•已知A和B到棱的距离分别为2和4,且线段AB =10,试求：(1 )直线AB与棱a所构成的角的正弦值; (2)直线AB与平面〉所构成的角的正弦值.分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60角在哪儿•如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半.根据题意，在平面1内作AD — a ；在平面〉内作BE —〉, CD/EB ,连结B CAC•可以证明CD— a,则由二面角的平面角的定义，可知∙ADC为二面角：-a-'EI巳22i23BG =iT 蔦;的平面角•以下求解略∙例1 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求二面角 A-BD-CI 的大小为 例2(2006年江苏试题)如图2(1),在正三角形 ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 上的点，满足 AE : EB=CF : FA=CP : BP=I : 2•如图 2(2),将厶 AEF 折起 到厶A1EF 的位置，使二面角 AI-EF-B 成直二面角，连 接 A1B 、A1P.(I )与(∏ )略；(川)求二面角B-AIP-F 的余弦值 tan ∠ COC i = . 2分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称 和谐性 若取BP 的中点Q ,连接EQ ,则在正三角形 ABC 中，很容易证得△ BEQPEQ ^△ PEF ^△ AEF ,那么在图 2(2)中，有 A i Q=A i F 作 FM 丄 A i P 于 M ,连接 QH 、QF ,则易得△ A i QP ^^ A i FP , △ QMP ◎△ FMP ,所以∠ PMQ= ∠ PMF=90o ,∠ QMF 为二面角 B-A I P-F 的平面角，使题解取得了突破性的进展 .设正三角形的边长为 3,依次可求得 2 ； 5"7A i P= .5 , QM=FM=—,在△ QMF 中，由余弦定理得 cos ∠ QMF= - - O _820II 广东高考理i8.(本小题满分I3分)如图5.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为I 的菱形， 且∠ DAB=60 , PA =PD = ,PB =2, E,F 分别是 BC,PC 的中点. (I)证明：AD —平面DEF; (2)求二面角P-AD-B 的余弦值.解：(2)由(I )知/PGB 为二面角P - AD - B 的平面角, 在 Rt PGA 中，PG222 (I )27“2 -(2八4在 PGB 中，CoS PGB HPG 2BG 2- PB 22PG BG.2i 7例 2 在如图 3 所示的三棱锥 P-ABC 中，AB=AC=PB=PC=2,BC=、2 ,PA= ■ 2 .求二面角 P-BC-A 的大小.解：作 BC 中点 D,连接 PD,AD.因 PB=PC=AB=A )C 知 PQBC,AdBC, 又有面 PBC 与面 ABC 共棱可得∠ PDA 为二面角P-BC-A 的平面角.而 AB=2,BC=2 . 2 ,易知 AD=PD= 2 ,在 RT?PAD 中，CoS PDA =PD 2AD 2-PA 22PD AD所以二面角P-BC-A 的大小为60图3分析与略解：所求二面角的棱为 AB ,不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察 能力反映的是思维的深刻性作A i E⊥ AB i 于AB i 于E,则可证 A i E 丄平面 AB i B.过E 作EF 丄AB 交AB 于F,连接 A i F,则得 A i F 丄AB , ∙∙∙∠ A i FE 就是所求二面角的平面角•依次可求得 ABI =BI B=転 A I B= √3 , A i E=乎,AI F 吟，则在 Rt△ AI EF中, sin∠ A I F E=A|=普例2.（2009山东卷理）如图，在直四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD , AB=4, BC=CD=2, AA I =2, E 、E 1、F 分别是棱 AD 、AA I 、AB 的中点。

（1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1 ； （2） 求二面角B-FC I -C 的余弦值。

证（1）略解（2）因为AB=4, BC=CD=2,、F 是棱AB 的中点，所以BF=BC=CF,△ BCF 为正三角形，取CF 的中点O,则OB 丄CF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CC i 丄平面ABCD,所以CC i 丄BO,所以OB 丄平 面CC i FM O 在平面CC i F 内作OP 丄C i F,垂足为P 连接BP,则∠ OPB第3页共15页二、根据三垂线定理找出二面角的平面角此法最基本的一个模型为：如图3 ,设锐二面角〉J - '，过面〉内一点P 作PA 丄〉于A ,作AB ⊥于B ,连接PB ,由三垂线定理得 PB ⊥,则∠PBA 为二面角〉J - 1的平面角，故称此法为三垂线法.例2如图，在平面：内有一条直线AC与平面〉成30 ,AC与棱BD 成45 ,求平面〉与平面：的二面角的大小.分析：找二面角的平面角，可过 A 作AF _ BD ； AE _平面〉，连结FE .由三垂 线定理可证BD _ EF ,则一 AFE 为二面角的平面角.总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足.应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作” 、“连”’“证”即“作AF 丄BD ” “连结EF ” “证明例3（2006年陕西试题）如图4,平面〉丄平面1 ,〉∩ '■ =l , A ∈ ：■ , B ∈ 直线I 上的射影为 A ι,点B 在I 的射影为B i ,已知AB=2 , AA ι=1 , BB i = 2,（I ）略；（∏ ）二面角A i -AB — B i 的大小.[,点A 在 A iB,B i为二面角B-FC I -C 的一个平面角，在厶BCF 为正三角形中，OBi3,在Rt △ CC i F 中，△ OPFs^ CC i F,τOPOF2=22,在 Rt△ OPFCG 一GF '面角B-FC ι-C 的余弦值为练习2 （2008天津）如图，在四棱锥 P- ABCD 中，底面ABCD 是矩形• 已知 AB =3, AD =2, PA =2, PD =2、2,. PAB = 60 . （I ）证明AD _平面PAB ;（∏）求异面直线 PC 与AD 所成的角的大小； （川）求二面角 P-BD-A 的大小.分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题， 在证明AD 丄平面PAB 后，容易发现平面 PABL 平面ABCD 点P 就是二面角P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点P 作棱BD 的垂线，再作平面 ABCD 勺垂线，于是可形成垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。

J 39（答案：二面角 P- BD- A 的大小为arctan ----- ）4例3在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 1为面A 1B 1C 1D 1中心，求二面角 O 1-AC 1-D 1的大小. 解：在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中 B 1D 1 — A1C 1,且 A 1C 1 — B 1D 1, B 1D 1 —面 A 1B 1C 1D 1,故 B 1D 1- AC 1, B 1 D 1 _ A 1C 1又 A 1C 1, AC^-面 AC 1A 1,可知 B ∙J D ∙∣ — AC 1A过D 1作D 1M _ AG 于M ,连接O 1 M 则由三垂线（逆）定理可知D 1MO 1为二面角O 1-AC 1-D 1的平面角.不妨令AA^= 2 ,*于是，有 D 1M = 2.6 , OO 12 , OM-,可得 33CoS D 1MO 1 =°M=1D 1M2所以二面角 O 1 - AC 1 -D 1的大小为60三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的 两条交线所构成的角，即为二面角的平面角CoSEOPB =OP BP14,所以二Pn图5B例3如图 1 ,已知P 为—CD -：内的一点，PA_:•于A 点，PB —'于B 点，如果∙ APB = n ,试PA . : = PA _ CD求二面角I-CD- L的平面角•分析：PB- U PB- CD因此只要把平面PAB 与平面〉、：的交线画出来即可•证明∙ AEB 为:-CD^的平面角，■ AEB =18O - n （如图 2） •注意：这种类型的题，如果过A 作AE 一 CD ,垂足为E ,连结EB ,我们还必须证明EB 一 CD ,及AEBP 为 平面图形，这样做起来比较麻烦.例4已知斜三棱柱ABC -A I B I C I中，平面AB I与平面AC I构成的二面角的平面角为30 ,平面AB I与平 面BC I构成的二面角为70 •试求平面AC I与平面BC I构成的二面角的大小.分析：作三棱柱的直截面，可得△ DEF ,其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两 两构成的二面角的平面角.总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别 为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角.例4空间的点P 到二面角〉-丨- 一：的面〉、■-及棱I 的距离分别 为4、3、2- 39,求二面角. -I--的大小.3分析与略解：如图 5 ,分别作PA 丄〉于A , PB⊥ ［于B ,则易知 I 丄平面PAB ,设I ∩平面PAB=C ,连接PC,贝U I ⊥ PC.2%/39213分别在 Rt△ PAC> Rt△ PBC 中，PC=, PA=4, PB=3 ,贝U AC=—3 3因为P 、A 、C 、B 四点共圆，且 PC 为直径，设PC=2R,二面角〉-丨-：的大小为 X 分别在△ PAB、△ ABC 中，由余弦定理得2 2 2 2 2AB =AC +BC -2 ∙ AC ∙ BCCoSh =PA +PB -2 ∙ PA ∙ PBeoS （ ）,1则可解得CoST=,r =120O, 二面角二-I -F 的大小为120o.2例5如图7,在正三棱柱 ABC -A i B i C i 中，截面A i EC —侧面AC i ,若AA i — Ai B i ,求平面A i EC 与平面A l BQ i 所成二面角（锐角）的大小 •解：设A i C AC i =G .因为面A i C i G 与面AC i 重合，由题意面A iB i=CD -平面PABB222A 1C 1G _面A 1EC ,而A 1为面A 1EC 与面A 1B 1C 1相交于棱上一点且 A 1 面AC I G ,所以面A 1C 1G 为所求二面角的一垂面，.GA 1C 1为所求二面角的平面角•在正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，AA 1 =A 1B 1,可知.GA 1C 1 = 45 故所求二面角的大小为 45 . 四、平移平面法（无棱的一种） 例5如图，正方体ABCD -A I B lG D I 中，E 为AA I 的中点，H 为CC I 上的点，且CH : C I H 二1：2 .设正方体的棱长为a ,求平面D I EH 与底面A I B I C I D I构成的锐角的正切. 分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点 D I,在这种情况下，寻找二面角 的平面角较困难.根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果 能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面 角的平面角•有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了. 如图，过点E 作EM 〃 A l D I与D I D 相交于M 点，过M 点作MN 一 C I D I ,与D I H 相交于N 点.可证平面 EMN〃平面^B I C I D I •这样，求平面D I EH 与平面^B I C I D I的二面角的平面角就转化 为求平面D I EH 与平面EMN 的二面角的平面角.显然EN 为这两个平面的交线，过点M 作MF 一 EN , F 为垂足，连结D IF ,可证D IF-EN .则.D IFM 为本题要寻找的二面角. 例6 （本题关键在利用平移棱的垂线进行解题） 在正三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点， AB 1 _ BC 1,求二面角 D- BC 1 -C 的大小• 解：作AE _ BC 于E 且交BD 于F,则Al 平面BB 1C 1C , 连接B 1E , C 1B ,并记它们的交点为O 连接OF,由 AAOE OB 1 BE EF=EF,知 OF//B 1A . B 1C 1 FA 图8因此由 AB 1-BC 1 知 OF-BC 1QE.BC I ,而 BB 1E =×z CBC 1 =90 - BEO ,RT? BB 1E -RTP BCC 1, BB 1 BCBE CC 1BE B 1B故有BB 1二 BC BE 二BC2 2 2B 1E =B 1B BE叵（匹）2=%C 24可得.EOF = . EB 1A = 45故二面角D - BC 1 -C 的大小为45 . 例7 在棱长为1的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，试求面B*D 与平面ABB 1A 1所成二面角的大小• 解：取A 1D 1中点F 连FD,FB; 取AD 中点K 连接A*,BK,A 応.显然,DE 応F 为平行四边形.因为 A?K//FD,KB 〃DE,知平面 AXB// 平面 DEBFO 取A?3中点0,连接OK,OA, 由 A?K=BK,AA=BA 知， OK_A?3,0A_A?3故∠ AoK 为二面角的平面角. OA 2 =OB 2 =1,0K 2 = BK 2 _OB 2 =32 4 .6 可得 cos _AOK =3 C 1故平面B 1ED 与平面ABB 1A 1所成二面角的大小为 46arccos . 3五、找垂面，作垂线 例6如图，正方体ABCD - A I B I C I D I中，M 为棱AD 的中点，求平面B IC I CB 和平面BC I M 所构成的锐二面角的正切. 分析：平面AC 与二面角M - BC I -C 的一个面B I C垂直，与另一个平面 B 1MBC I 相交，过M 点作MP 一 BC ,垂足为P ,过P 作PN 一 BC ,交BC I于N 点，连结MN ,由三垂线定理可 证MN 一 BG ,则.MNP 为二面角M -BC I -C的平面角. 总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线•根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角. 再如图，要找：-a-所构成的二面角的平面角，可找平面一 一，且：=b, 一“，过b上任何一点A 作AB-I ,垂足为B ,过B 作BC _〉，垂足为C ,连结AC ,可证∙ A C B为'-a- -的平面角.六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角 1 •三线合一1可过A 作AM〃DE ,平面ADE 与平面ABC的交线即为AM .过A 作AN 丄DE 于N ,过A 作AF 丄BC于F .可证AN — AM , AF _ AM ,则NAF 为面ADE 与面ABC 的夹角.如图，DE 与BC 不平行且相交.根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点.延长 ED、CB 相交于G 点，连结AG .AG即为平面ADE与平面ABC的交线，通过一些 关系可证∙CAE为平面ADE 与平面ABC的夹角.通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了.只要我们勤 动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问例 7 如图，空间四边形 ABCD 中，AB=AD= 3 , BC=CD= 4, BD = 2, A C = 5 .试求 A - BD -C面角的余弦值•分析：如图1, AB=AD , BC=CD ,则厶ABD 和厶BDC为等腰三角形.过A 作AE _ BD ,垂足为E ,连结CE .根据三线合一，且E 为BD 中点，可证CE 一BD2 .全等三角形 例8如图，已知空间四边形ABCD, A B =BC BD =：8 , AC =：6 .试求A-BD-C的余弦值. B分析：过A 作AE 一 BD ,垂足为E ,连结CE•根据已知条件，△ AED 和△CED 全等，可证CE —BD ,则.AEC 为二面角A- BD-C 的平面角. 3 .二面角的棱蜕化成一点 例9如图，四棱锥A-BCED 中，DB 和EC 与面ABC 垂直，△ ABC为正三角形. (1) 若BC =EC =BD 时，求面ADE 与面ABC 的夹角； (2) 若 BC =E C =2BD 时，求面ADE 与面A BC 的夹角. 分析：如图，面ADE 与面ABC 的交线蜕化成一点，但面ADE 与面ABC 与面DC 相交.如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况： (1)交线为一点；(2) 一条交线；(3)三条交线互相平行.在图1中，两条交线BC 与DE互相平行，所以肯定有过 A 且平行于DE的一条交线.例4. （2008北京理）如图，在三棱锥 P-ABC 中，AC =BC =：2 , Z ACB =90：,AP=BPrAB , PC _ AC . (I)求证：PC _ AB ;(∏)求二面角 B - AP -C 的大小;题就会迎刃而解.七、面积法（不作二面角求法）CO 如图i ,设二面角 C-BD-C i 的大小为 二，则在 Rt △ COC i 中，cos-C i O -CO BD 2 _________ 1 C i o BD2-S CB D ,在某些情S'.C i BD况下用此法特别方便•6,平面〉夕卜的△ A i B i C i 在〉内的射影是边长为 i 的正三角形 求厶A iB iC i 所在的平面与平面：■所成锐二面角的大小• 问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在 BB i 、 例5如图BB i =3， CC i =4，分析与略解: BD=CE=AA 1,则厶 A i B i C i ^△ A i DE ,可求得 A i B=. 2 , A i C i = ∙.. 5 , B i C i = 2 ,所以等腰△A iB iC i 的面积为i5 4又正△ ABC 的面积为•设所求二面角的大小为J5V ,贝U COSV =-C i,且ABC A i AA 1=2 ， BCC iB 图6H 工 M1第11页共i5页图5分析：本题要求二面角 B —AP —C 的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面 对原图形与射影图形并分别求出 S 原与S 射 于是得到下面解法。