B
2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等
β
B
p
于P到棱的距离的一半，则这个二
面角的度数是多少？ 60º
O
Aα
ι
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一、二面角的定义
α
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
二、二面角的平面角
小 1、定义 2、求二面角的平面角方法
ι αβ
γP
B A
结
①点P在棱上—定义法 ②点P在一个半平面上 —三垂线定理法
③点P在二面角内 —垂面法
β
ι
α
β
pβ
B
p
p
A
B
B
ι
α
A
O
ι
α
A
面积为S射
常见的图形
cos = S 射 S
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例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别
在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º
∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。
解：在PB上取不同于P 的一点O，
在α内过O作OC⊥AB交PM于C，
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例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5， PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
解：过PA、PB的平面PAB与
棱ι 交于O点 ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ∵PB⊥β ∴PB⊥ι
βB
ιO
P Aα
∴ι⊥平面PAB
∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
又∵PA=5，PB=8，AB=7 由余弦定理得 cosP 1
2
∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º
∴这二面角的度数为120º
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例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是
底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二
面角P-A2B-C的正切值。
解：取AB 的中点为E，连PE，OE
P
∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º
C Mα
在β内作OD⊥AB交PN于D，
APO
B
连CD，可得
∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
D Nβ
∴CO=a， DO=a， PC
又∵∠MPN=60º
a ， P2D
a 2 C
∴CD=PC a 2
∴∠COD=90º 因此，二面角的度数为90º
P aO
∴OE∥BC且 OE OE⊥AB ，因此
BC12 PE⊥AB
E
A
B
∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
在Rt△PBE中，BE ，12 PB=1，PE
3 2
在Rt△POE中， OE ，22PO ∴ tan PEO 2
1 2
O
C P
2
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
2 2
E
O
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例4、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面 AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。
每个半平面叫做二面角的
面
α
二面角的范围：
ι
β
00 1800
记作 l
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二面角的平面角
一个平面垂直于二面角
的棱，并与两半平
面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B 垂足为P，则∠APB叫做二面
γ
角 的平面角
ι
β
P
B
A
α
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讲解例题
—定义法 点P在棱上
战二胜面自角 己，战胜别人！
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教学目的： 1. 掌握二面角 的概念。 2.掌握二面角的一般作法。 3.熟练掌握二面角的求解方法。 4.能在复杂图形中找到二面角。 5.提高空间想象能力和综合解题 能力
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一、二面角的定义
从空间一直线出发的
两个半平面所组成的
图形叫做二面角这。条直线叫做二面角的棱，
△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为△A1B1C1，故这两个 平面所成二面角的余弦值为
S A1B1C1
S AB1E
2 3
M
D1
C1
A1
B1
E
D A
C B
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练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
α
常见的图形 ι β
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p
B
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垂面法 点P在二面角内
β
B
O
ι
讲解例题
常见的图形
p
α
A
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三垂线定理法
点P在一个半平面上
β p
α
B
A
ι
讲解例题
常见的图形
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面积法
讲解例题
A
M
三 角 形 ABC 在 平 面
B
C
N 内 的 射 影 为 BCO
O
三 角 形 ABC 的 面 积
N 为S，三角形BCO的