因此，可用x'，z'坐标直接画出三个视图。
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4.2.1.2 正轴测图
★正轴测有等轴测、正二测和正三测三种。 •当观察平面与三个坐标轴之间的夹角都 相等时为等轴测； •当观察平面与两个坐标轴之间的夹角相 等时为正二测； •当观察平面与三个坐标轴之间的夹角都不
相等时为正三测。
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4.2.1.1 三视图
• 三视图：正视图、侧视图和俯视图
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4.2.1.1 三视图
• 三视图包括主视图、侧视图和俯视图三种， 观察平面分别与Y轴、X轴和Z轴垂直。
• 把三维空间的图形在三个方向上所看到的棱 线分别投影到三个坐标面上。再经过适当变 换放置到同一平面上。
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4.2 三维图形投影变换
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1
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• 通常图形输出设备（显示器，绘图仪等） 都是二维的，所以要将三维坐标系下图形 上各点的坐标转化为某一平面坐标系下的 二维坐标。
• 投影变换:把三维物体变为二维图形表示的 过程称为投影变换。
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3
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4
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• 设三维点为（x, y, z），则正向投影点为(x’, y’, z’ )
1 0 0 0
TH
0
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0 1
1 0
0 0
Tr
0 0
0
cos( 2) sin(2)
0
sin(2)
cos(
2
)
0
0 0 1
1 0 0 0
Tt
0
0
1 0
0 1
0
0
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0
0
n
1
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平面几何投影分为透视投影和平行投影
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平行投影
• 根据投影线方向与投影平面的夹角，平行 投影分为两类：正投影和斜投影。
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4.3.1 正投影
•正投影又可分为：三视图和正轴测。
•当观察平面与某一坐标轴垂直时，得到的投 影为三视图；否则，得到的投影为正轴测图。
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1、主视图(V)面
•将三维物体向xoz面（又称V 面）作垂直投影（即正平行 投影），得到主视图。
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• 设三维点为(x, y, z),则正向投影点为(x’,y’,z’ )
1 0 0 0
(x'
y'
z'
1)(x
x' x
y
z
1)000
0 0 0
0 1 0
0 10
最常用的是第二种方式
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1、正轴测投影变换矩阵
第二种方式的正轴测投影过程为： ①将三维实体绕Z轴逆时针转α角； ②将三维实体绕X轴顺时针转β角； ③向XOZ平面（V面）作正投影。
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co ssin00 1 0 0 0 1000
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1 0
0 1
k
0 1 0 0
0 0 1 0
0
0
0
1
0 0 0 0
1
0
0
0
0 0 1 0
k
0
0
1
点的侧面(W)投影变换为：
x 'y 'z '1 x y z 1 T W y k 0 z 1
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注意：由上述我们可以看出,三个视图中y’均 为0,这是由于变换后三个视图均落在X’O’Z’平 面上的缘故。
cos
2
0 0
0
0
0
0 1 0
0
0 0 1
0 0 0 0
TW
0
0
1 0
0 1
0
0
0
0
0
1
1 0 0 0
Tt
0 0
1
0
0
0 1 0
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k
0
0
1
20
0
T
0
0
0
0 1 0 0
0 0 1 0
0
0
cos sin
2
0
1
2 0
0
sin 2
cos
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3、侧视图(W面)
侧视图是将三维物体往yoz面(侧面W）
作垂直投影。
0 0 0 0
(1) 侧视图的投影变换
TW
(2)使W面绕z轴逆时针旋转90°
(3)使W面沿负x方向平移一段距离-k
0
0 0
1 0 0
0 1 0
0
0 1
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Tr
csoisn2 2
sin 2
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正轴测投影方式： 先将三维实体分别绕两个坐标轴旋转一定的 角度，然后再向由这两个坐标轴所决定的坐 标平面作正投影。 正轴测投影有三种方式：
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一、先将三维实体绕X 轴和Y 轴分别旋转一定 的角度，然后再向XOY平面（H 面）作正投影 二、先将三维实体绕X 轴和Z 轴分别旋转一定 的角度,然后再向XOZ平面(V 面)作正投影； 三、先将三维实体绕Y 轴和Z 轴分别旋转一定 的角度,然后再向YOZ平面 (W 面)作正投影。
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1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0
T
0Leabharlann 1000
cos(
2
)
sin(
2
)
0
0
1
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
1
0
sin(
2
)
0
c
os(
2
)
0
0 0
1
0
0 0
1 n
0
1
1 0 0 0
0
0
1
0
0 0 0 0
0
0
n
1
点在H面上投影的坐标变换为：
x 'y 'z '1 x y z 1 T x 0 y n 1
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三视图
计算步骤：
(1) 确定三维物体上各点的位置坐标
(2) 引入齐次坐标表示位置坐标
(3) 将所作变换用矩阵表示，通过矩阵运算求 得三维物体上各点(x,y,z)经变换后的相应点 (x’,y’)（xoy平面）或(y’,z’ ) (yoz平面）
(4) 由变换后的所有二维点绘出三维物体投影
后的三视图。
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投影平面
三维场景生成步骤类似于照相机拍摄一张照 片的过程，s1、s2、s3可为任意指定平面
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• 指定一个投影面，再取景物面片上的一条 线段AB，把线段投影到投影面上,如图:
• 投影中心、观察平面、投影线：
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•透视投影:物体位置沿收敛于一点的直线变 换到观察平面,投影中心到观察平面之间的 距离是有限的。 •平行投影:物体位置沿平行线变换到观察平 面上,投影中心到观察平面之间的距离是无 限的。
y '
0
z ' 0
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2、 俯视图(H)面
• 三维物体向xoy面（又称H面)作
垂直投影得到俯视图， (1) 投影变换 (2)使H面绕x轴顺时针旋转90°
1 0 0 0
TH
0
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0 1
(3)使H面沿z方向平移一段距离-n
三
维
型
体
及
其
三
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