• （0 0 1 0） 表示z轴方向无穷远点
• （0 0 0 1） 表示坐标原点 • 这4个向量将构成四维齐次空间的单位矩阵
2 齐次坐标变换矩阵
• 齐次变换矩阵提供一个三维空间中包括平移、旋转、透 视、投影、反射、错切和比例等变换在内的统一表达式， 使得物体的变换可在统一的矩阵形式下进行。 旋转、错切等 透视变换
0 1 y0
0 Sy 0 0 0 1
y1
1
0 0 1
平移
x2
y2
1 x1
y1
1 1 0 x0
0 1 y0
0 0 1
比例
S x 1 0 0 0 Sy 0 0 0 1
1 T2 0 x0
课 题：二维几何变换 目的要求：掌握平移、旋转、缩放、错切、反射等二 维坐标变换及其矩阵表示以及仿射变换、齐次 坐标等的概念。 教学重点：二维几何变换 教学难点：齐次坐标矩阵表示 教学课时：2课时 教学方法：讲授法、演示法
4.1 窗口视图变换
1.窗口和视图区 • • • 用户坐标系（world coordinate system，简称WC）： 用户用来定义设计对象的坐标系，是实数型的二维空间。 设备坐标系（device coordinate system，简称DC）： 计算机图形系统的工作空间，是自然数型的二维空间。 窗口区（window） ： 在用户坐标系中任意的一个子区域。一般为矩形区域， 可以用其左下角点和右上角点的坐标来表示。 • 视图区（viewport）： 设备坐标系的一个子空间。对于显示器而言，显示屏幕 是设备输出图形的最大区域，任何小于或等于屏幕域的区域 都可定义为视图区。一般也为矩形区域。
（2）对称于Y轴 当变换对称于Y轴时，则坐标点P(x,y)经对称变换 后，新坐标点P’(x’,y’）的表达式为：
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
其中变换矩阵：
对称Y轴变换的几何表示见下图
（3）对称于原点 当图形对X轴和Y轴都进行对称变换时，即为对于坐 标原点的对称变换。变换前后点坐标之间的关系为：
4.2.0 几何变换的基本描述
1 齐次坐标
• 为了能用矩阵的形式统一描述图形变换，在图形学 中常采用齐次坐标的形式来描述空间的点。 • 在n维空间中的一个问题，在n+1维空间中相应地 也有一个问题，而在n+1维空间中却常常比n维空
间中较易获得结果。
• 二维点(x, y)的齐次表示是(hx, hy, h)，这里h是任 何一个非零因子，有时叫做比例因子。
赋予相同值时，就产生保持图形相对比例一致的 变换, sx 和sy 值不等时产生X轴方向和Y轴方向大 小不等的比例变换。sx和sy都指定为1时，图形大 小不改变。
实际上，相对于坐标原点图形的比例变换， 相当于每一点相对于坐标原点的变换，因此，它 不但改变图形的大小，而且改变图形的位置。
下图是一图形比例变换的例子：
式中d为错切系数。若d ＞0，则沿+Y方向错切， 若d＜0，则沿-Y方向错 切。右图说明了矩形 ABCD经错切变换后结果 为A’B’C’D’。
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
其中变换矩阵:
除了沿X轴方向和沿Y轴方向的错切变换外，还可以使 用沿平行于X轴方向的轴线或沿平行于Y轴方向的轴线以及 任一轴线的错切变换。对于这些变换，可以通过先平移、 旋转轴线，转化为沿X轴方向或沿Y轴方向的错切变换。 错切变换不仅改变图形的形状，而且改变图形的方位， 还可能使图形发生畸变。
0 1 y0
0 0 1
x3
y3
1 x2
y2
T T1ST2
平移
1 1 0 x0 0 1 y0 0 0 1
则有
x' x1 y ' 1 x4 y1 1T1ST2 x1 y4 1 y1 1T
x4
y4
1 x3
上面讨论的五种变换（平移、旋转、缩放、对称、 错切）给出的都是点变换的公式，图形的变换实际上都 可以通过点变换完成。例如直线段的变换可通过变换两 个端点，并重画新端点间的线而得到。多边形的变换可 通过变换每个顶点，并用新的顶点来生成多边形而实现。 曲线的变换可通过变换控制点并重画线来完成。 符合形式：
公式的推导可参考右图
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
其中变换矩阵
上面是点P(x,y)以坐标原点为中心的旋转变换，还可 以任意点P0(x0, y0）为中心做旋转变换。其变换公式为：
其中变换矩阵:
旋转变换只能改变图形的方位，而图形的大小和形 状不变。旋转变换的几何表示见下图。
3 二维缩放变换 一个图形中的坐标点P(x,y），若在X轴方向相对 于坐标原点变化一个比例系数sx ，在Y轴方向相对于坐 标原点变化一个比例系数sy，则新坐标点P(x’, y’）的表
v yt v yb w yt w yb
c
wxl v xl
w yb v yb
b
d
有
xv axw b
（5-5） （5-6）
yv cy w d
4.2
二维几何变换
• 在计算机绘图中，经常要进行从一个几何图形到另一
个几何图形的变换。例如，将图形向某一方向平移一 段距离；将图形旋转一定的角度；将图形放大或缩小 等等。我们把这种变换过程称为几何变换。 • 变换的目的：为使要显示的对象在合适的位置，以合 适的大小和方向显示出来。
写成齐次坐标矩阵形式为：
4. 对称变换 对称变换是产生图形镜象的一种变换，也称镜象或反 射变换。将图形绕对称轴旋转就可以生成镜象图形。 （1）对称于X轴 当变换对称于X轴时，则坐标点P(x,y)经对称变换后， 新坐标点P’(x’,y’）的表达式为：
写成齐次坐标矩阵形式为：
其中变换矩阵：
对称X轴变换的几何表示见下图
达式为：
这一变换称为相对于坐标原点的缩放变换, sx 和sy分别表示点P(x,y）沿X轴方向和Y轴方向相对坐 标原点的缩放系数。缩放变换改变图形的大小。 变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
其中变换矩阵：
缩放系数sx和sy可赋予任何正数值。当值小于 1时缩小图形，值大于1则放大图形。当sx 和sy 被
写成齐次坐标矩阵形式为：
其中变换矩阵：
对称原点变换的几何表示见下图
5.错切变换 错切变换是图形位于某坐标轴上的点不动，其它点 沿平行于此轴方向移动变形的变换。常用的错切变换有 两种：改变x坐标值和改变y坐标值。 （1）沿X轴方向关于Y的错切 变换前和变换后y坐标不变，而x坐标根据y坐标值呈 线性变化。变换前后点的坐标之间的关系为：
二维图形几何变换有五种基本变换形式：平移、
旋转、缩放、对称、错切。 有两种不同的变换方法：一种是图形不动，而坐 标系变动，即变换前与变换后的图形是针对不同坐标 系而言的，称之为坐标模式变换；另一种是坐标系不 动，而图形改变，即变换前与变换后的坐标值是针对 同一坐标系而言的，称之为图形模式变换。实际应用 中，后一种图形变换更有实际意义，下面讨论的图形 变换是属于后一种变换。
yv v yb y w w yb

v xr v xl wxr wxl
v yt v yb w yt w yb
Yu
（4-1）
V yt
(x v , y v)

（4-2）
V yb Ou V xl V xr Xu
窗口与视图区的对应关系
由式（4-1）和式（4-2）可分别解得：
xv
yv
式中c为错切系数。若c＞0，则沿+X方向错切，若 c＜0，则沿-X方向错切。
矩形ABCD经错切变换后变为A’B’C’D’的结果。
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
其中变换矩阵:
（2）沿Y轴方向关于X的错切 变换前和变换后x坐标不变，而y坐标根据x坐标值 呈线性变化。变换前后点的坐标之间的关系为：
y3
任意点比例变换示意图
平移变换
比例变换
3 矩阵级联
• 一个变换是由一个单一的数学实体 —— 矩阵来描
述和标识。 • 两个变换的结合用矩阵的级联（相乘）而产生一 个具有两者功效的单一变换。 – 例如变换T是平移，而变换R是旋转，则变换
的结合允许决定一个变换A=TR，其功效是先
平移然后旋转变换。
4.2.1 基本二维几何变换
平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和 形状。下图是一平移变换的例子。
可以用矩阵形式来表示二维平移变换方程。图形变 换通常使用齐次坐标矩阵来表示。平移变换方程的齐次 坐标矩阵表示式为：
其中
称为变换矩阵。
2 二维旋转变换 若图形中的坐标点P(x,y)绕坐标原点逆时针旋转 一个角度θ , 则新坐标点P(x’,y’）的表达式为：
二维图形的显示流程图
2.窗口到视图区的变换 窗口区与视图区间的映射关系： 窗口区中的任一点(x w , y w) 与视图区中的任一点(x v , y v) 存 在如下对应关系：
Yw
W yt
窗口
(x w , y w)
W yb Ow W xl 视图区 W xr Xw
xv v xl xw wxl
的坐标变换称为二维仿射变换。变换的坐标x’和y’都是 原始坐标x和y的线性函数。参数aij 是由变换类型确定的 常数。仿射变换具有平行线转换成平行线和有限点映射 到有限点的一般特性。
4.2.2 复合变换（级联）
所谓二维图形的复合变换，就是在XY平面内，对一 个已定义的图形，按一定顺序进行多次变换而得到新的 图形。 一般把上面讨论的几种变换称为基本的图形变换， 绝大部分复杂的图形变换都可以通过这些基本变换的适 当组合来实现。利用前面所提供的矩阵表示，就可通过 计算单个变换的矩阵乘积，将任意顺序变换的矩阵建立 为复合变换矩阵。
• 在几何造型中，可用图形变换改变物体间的相对位置， 可用透视变换和投影变换产生同一三维景物在各种不 同视点位置和视线方向下的不同影像。