1 TS 1
等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该 输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信 号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。
第三节 反馈系统的稳态误差
稳态误差是对系统精度的一种衡量，它表达了系统实际 输出值与希望输出值之间的最终偏差，系统对典型输入信 号（包括扰动信号）作用下的稳态误差要求是最基本的要 求。 本节主要内容：是研究具有 不同结构或不同传递函数 的系统在不同的输入信号作用下产生的稳态误差，以及系 统静特性不稳定或参数变化对系统稳态响应的影响，相应 的如何降低系统的稳态误差。
1 2 At r (t ) 2 0 t0 t0
（3.3）
当A =1时，则称为单位抛物线信号，如图3-3所示
图3-3 单位抛物线信号
图3-4 脉冲信号
（四）脉冲信号
单位脉冲信号的表达式为：
其图形如图3-4所示。是一宽度为 ，高度为1／ 的矩形脉冲，当 趋于零时就得理想的单位脉冲信号(亦 t) ) 称 ( 函数 。
ess lim e(t ) T
t
t
四、匀加速函数作用下一阶系统的响应过程
输入 r (t ) t 2 时，输出C(S)为： 2 1 1 A B C D C ( s) ( s) R( s) ( ) 3 3 2 TS 1 S S S S S1 T 1 T T2 T2 3 2 S S S S1 T 对上式取拉氏反变换得：
R(s)
下面分别就不同的典 型输入信号，分析该系 统的时域响应。
（ c） 等 效 方 块 图
图3-6 一阶系统
C(s)
一、单位阶跃函数作用下一阶系统的响应过程
当系统输入信号 r (t ) 1(t ) 时，系统的响应过程 c(t ) 称单 位阶跃响应，其拉氏变换式为：
对上式取拉氏反变 换，得：
1 1 1 1 C ( s) ( s) R( s) TS 1 S S TS 1
1 T c(t ) e T
如图3-8
t
t0
一阶系统的脉冲响应
图3-8 一阶系统的脉冲响应
三、单位斜坡函数作用下一阶系统的响应过程
设输入为单位斜坡函数，即 r (t ) t ，则输出的拉氏变换为：
1 1 1 T T2 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 TS 1 S 1 TS S S
图3-23 不同典型信号作用下的稳态误差
一、 稳态误差的概念
如图3-21所示，对于单位反馈 系统，误差定义为：
R(s) E(s) G(s) C(s)
( s ) E ( s ) R( s ) C ( s )
如图3-22所示，对于非单位反馈 系统，误差定义为： R(s) 1 E (S ) R( s ) C ( S ) H ( s)
第三章
线性系统的时域分析
主要内容：
第一节 第二节 第三节 典型输入信号 一阶系统的时域分析 线性系统的稳定性和稳定判据
第一节 典型输入信号
（一）阶跃信号 阶跃信号的表达式为：
A r (t ) 0
t 0 t 0
(3.1)
1所示。
表3-1一阶系统对典型输入信号的响应
输入信号 时域 输入信号 频域 输出响应
1 T e T
t
传递函数
(t )
1
1 S 1 S2
(t 0)
t T
1(t) t
1 2 t 2
1 e

t0
t T
t T Te
t 0
t
1 S3
1 2 2 t Tt T (1 e T ) t 0 2
一阶系统的时域分析
+
r(t)
R
凡以一阶微分方程作为运 动方程的控制系统统称为一阶 系统。如图3-6（a） 一阶系统的传递函数为：
C ( s) 1 (s) R( s) TS 1 R(s)
+
i(t) C
c(t)
（ a） 电 路 图 I(s)
C(s)
其方框图如 图3-6（b）、（c）
（b）方框图
t 1 2 2 c(t ) t Tt T (1 e T ) 2 1
1
(t 0)
一阶系统跟踪匀加速输入的跟踪误差为：
e(t ) r (t ) c(t ) Tt
1 t T 2 (1 e T )
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
图3-21单位反馈系统
(s)
B(s)
G(s)
C(s)
1 E ( s) (s) H (s)
H(s)
图3-22非单位反馈系统
误差信号e(t)与输入信号r(t)之间的传递函数为：
( s)
1 R( s ) 1 G ( s ) H ( s )
根据终值定理，稳定系统的稳态误差为： sR ( s) 1 ess lim e(t ) lim sE ( s) lim t s 0 s 0 1 G ( s ) H ( S ) H ( S ) 由上式可知，稳态误差与输入信号和系统的参数、结构有关。 图3-23(a),(b),(c),示出某一系统在不同典型输入信号作用下的 响应曲线：
t T
c(t)
1
c(t)=1-e
c(t ) 1 e
t0
由上式绘出一阶 0.632 系统的单位阶跃响应 如图3-7所示。
0
98.2%
63.2%
86.5%
99.3% 5T
95%
T
2T
3T
4T
t
图3-7 一阶系统的单位阶跃响应
二、理想单位脉冲函数作用下一阶系统的响应过程
当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输出 量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即 1 C (s) TS 1 一阶系统的脉冲响应为：
1 r (t ) 0
0t t 0及t
(3.4)
(t )dt 1

(3.5)
（五）正弦信号 正弦信号的表达式为 :
A sin t r (t ) 0
其中A为幅值， 为角频率。
t 0 t 0
（3.6）

图3-5 正弦信号
第二节
对上式求拉氏反变换， 得系统响应过程为：
r(t) c(t)
1 t T
c(t ) t T (1 e
1 t T
) t T Te
t T
一阶系统跟踪单位斜坡信 号的稳态误差为： 1
c(t)
e(t ) r (t ) c(t ) T (1 e
)
0
图3-9 一阶系统单位斜坡响应
图3-1 阶跃信号
图3-2 斜坡信号
（二）斜坡信号 斜坡信号在t =0时为零，并随时间线性增加，所以也叫 等速度信号。它等于阶跃信号对时间的积分，而它对时间 的导数就是阶跃信号。斜坡信号的表达式为：
At r (t ) 0
t 0 t 0
(3.2)
（三）抛物线信号 抛物线信号也叫匀加速信号，它可以通过对斜坡信号 的积分而得。抛物线信号的表达式为：