Y
Y — 固体棒的杨氏模量
— 固体棒的密度
c. 固体媒质中传播的横波速率由下式给出：
ut
G
G— 固体的切变弹性模量
— 固体密度
d. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出
ul
B
B— 流体的容变弹性模量
— 流体的密度
e. 稀薄大气中的纵波波速为
ul
RT M
p
— 气体摩尔热容比
M— 气体摩尔质量 R — 气体摩尔常数
x) u
]
对波动方程的各种形式，应着重从
物理意义上去理解和把握.
从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
（5) u 实际上是振动相位的传播速度。
t1 时刻x1 处的振动状态经Δt 时间传播到x1+Δx 处，则
(t1
x1 u
)
(t1
t
x1
u
x
)
可得到
u x t
（6）注意：方程中各量的单位要统一。
y A
u
P
x
O
x
A
yP yO (t Δt) Acosωt Δt φ
A cos
t
x u
由于 P为波传播方向上任一点，因此上 述方程能描述波传播方向上任一点的振动，
具有一般意义，即为沿 x 轴正方向传播的平
面简谐波的波函数，又称波动方程.
利用 2π 2πν 和 uT
T 可得波动方程的几种不同形式：
｛ 条件
波源：作机械振动的物体 弹性介质：承担传播振动的物质
二. 横波和纵波
横波：介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波； 如柔绳上传播的波。
纵波：介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波； 如空气中传播的声波。
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
t 0
tT 4
y
A
cos
t
x u
A
cos
2π
t T
x
A cost
2πx
波函数 y Acos[(t x) ]
u
质点的振动速度，加速度
v y Asin[(t x) ]
t
u
a
2 t
y
2
2
A cos[ (t
x) u
]
二 波函数的物理含义
1 x一定，t 变化
令 2π x
y Acost 2πx
一 平面简谐波的波函数
设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
yO Acost
y A
u
P
x
O
x
A
yO Acost
yO表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
考察波线上P点(坐标x), P点比O点的振
动落后t x , P 点在 t 时刻的位移是O点在
t Δt时刻的u 位移，由此得
的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离 。 波长反映了波的空间周期性。
周期（T）: 波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了
波的时间周期性。
频率（）: 单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率
与周期的关系为 1
T
波速（u）: 振动状态在媒质中的传播速度。波速与波长、周
期和频率的关系为 u
振波动动曲曲线线
三. 波面和波线
波面 在波传播过程中，任一时刻媒质中 振动相位相同的点联结成的面。
波线 沿波的传播方向作的有方向的线。 波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。
z 波面
波波线面 波面
波线
波线
x
y
球面波
柱面波
注意 在各向同性均匀媒质中，波线⊥波面。
四.波长 周期 频率和波速
波长（）: 同一波线上相邻两个相位差为 2 的质点之间
§12.2 平面简谐波
简谐波 介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中 各质点作同频率的谐振动。
平面简谐波 波面为平面的简谐波
说明
简谐波是一种最简单、最基本的 波，研究简谐波的波动规律是研 究更复杂波的基础。
平面简谐波
本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、 各向同性、均匀无限大媒质中传播的平面简谐波。
例 1：频率3000 Hz的声波，在某种媒质中的波速
u=1560 m/s，沿直线传播，经波线上A点后，再经Δx＝ 0.13 m传到B点。求：
（1）B点振动比A点落后多少时间？Δx相当
于多少个波长？
（2）声波在A、B两点振动的位相差是多少
（3）设质点振动的振幅为1 mm，问：振动速 度是否等于传播速度？
y
则 y Acost O
t
表示x点处质点的振动方程（ y — t 的关系）
y(x,t) y(x,t T ) （波具有时间的周期性）
2 t 一定 x 变化y Fra bibliotekcost 2πx
令 t C（定值）
则
y
A cos
2πx
该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点
的位移, 即t 时刻的波形（y — x的关系）
例2 如图，已知A 点的振动方程为： 在下列情况下试求波函数：
(1) 以 A 为原点； (2) 以 B 为原点；
1
yA
A cos[4π(t
)] 8
x1
BA
x
(3) 若 u 沿 x 轴负向，以上两种情况又如何？
T
说明 (1) 波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与
波源振动的周期和频率相同 。
(2) 波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度； 其大小 主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。
例如：
a. 拉紧的绳子或弦线中横波的波速为：
ut
T
T — 张力
— 线密度
b. 均匀细棒中，纵波的波速为：
ul
y
o
x
3 x、 t 都变
方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
yu
O
x
4 沿 x轴方向传播的波动方程
如图，设 O 点振动方程为
yO Acost
P点振动比O点超前了 Δt x u
y
u
A
P
x
O
x
A
故P点的振动方程（波动方程）为：
y
yo (t
t)
A cos[ (t
第十二章
机械波
常英立
2009.11
本章目录 12-1 机械波的几个概念 12-2 平面简谐波的波函数 12-3 波的能量 能流密度 12-4 惠更斯原理 波的衍射和干涉
中国国家管弦乐团在联合国总部的演出
§12.1 机械波的产生和传播
一. 机械波的产生
机械波: 机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地 传播出去，就形成机械波。
tT 2
t 3T 4
t T
t 5T 4
横波
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
t 0
tT 4
tT t 32T
4
t T
t 5T 4
t 3T 2
纵波
结论
(1) 波动中各质点并不随波前进； yy
u
(2) 各个质点的相位依次落后,波
t
动是相位的传播；
x
(3) 波动曲线与振动曲线不同。